Hola,
En UTF 4
Supongamos que \( c^4=a^4+b^4 \) , para \( a,b,c \) enteros, coprimos entre sí -y- \( a \) par.
Si aplicamos al caso las soluciones del UTF2. Como: \( (c^2)^2=(a^2)^2+(b^2)^2 \) . Tendremos que: \( c^2=p^2+q^2 \) , \( a^2=2pq \) -y- \( b^2=p^2-q^2 \) , para \( (p,q)=1 \) -y- \( p\not\equiv{q} \) mod \( 2 \) . Y como \( a^2=2pq \) , entonces: \( p=p_1^2 \) -y- \( q=2q_1^2 \) , si \( q \) es par. Así: \( a=2p_1q_1 \) . De la misma manera, como \( b^2=p^2-q^2\,=\,(p+q)(p-q) \) -y- \( p+q \) , \( p-q \) son coprimos y cuadrados. Entonces: \( b=b_1b_2 \) , para \( b_1=\sqrt{p+q} \) -y- \( b_2=\sqrt{p-q} \) .
Conocemos que: \( (a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \) -y- \( (a+b)^4=a^4+b^4+2ab(2a^2+3ab+2b^2) \) . Luego: \( (a+b)^4-c^4=2ab(2a^2+3ab+2b^2) \) \( \Rightarrow \) \( ((a+b)^2+c^2)((a+b)^2-c^2)=2ab(2a^2+3ab+2b^2) \) -y- \( (a^2+b^2+2ab+c^2)(a^2+b^2+2ab-c^2)=2ab(2a^2+3ab+2b^2) \) .
Si sustituimos en el lado izquierdo de la igualdad las soluciones que conocemos, tendremos: \( (2pq+p^2-q^2+2ab+p^2+q^2)(2pq+p^2-q^2+2ab-p^2-q^2)=2ab(2a^2+3ab+2b^2) \) \( \Rightarrow \) \( (2p(p+q)+2ab)(2q(p-q)+2ab)=2ab(2a^2+3ab+2b^2) \) . Pero el \( 2ab \) del lado derecho no divide a ninguno de los factores: \( 2p(p+q)+2ab \) -y- \( 2q(p-q)+2ab \) del lado izquierdo. Puesto que \( \sqrt{p-q} \) , de: \( b=\sqrt{(p+q)(p-q)} \) , no divide ni á \( 2p \) , ni á \( p+q \) , del primer factor y \( p_1 \) , de: \( a=2p_1q_1 \) , no divide ni á \( 2q \) , ni á \( p-q \) del segundo factor. Lo que es una contradicción.
En UTF 3
Supongamos que \( a^3+b^3+c^3=0 \) , para \( a,b,c \) enteros y coprimos entre sí.
Si \( 3 \) no divide á \( a,b,c \) . Entonces, puesto que \( (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^3=\{0,1,-1\} \) , tendremos que \( a^3+b^3+c^3\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) . Lo que no puede ser.
Establezcamos pues, por ejemplo, que \( 3 \) , como mínimo, divide á \( c \) .
Tendremos: \( -c^3=a^3+b^3 \) -y- \( -c^3=(a+b)((a+b)^2-3ab) \) . Donde como: \( a+b \) -y- \( (a+b)^2-3ab \) son coprimos salvo por el primo \( 3 \) : \( a+b=3^{3k-1}c_1^3 \) -y- \( (a+b)^2-3ab=3c_2^3 \) , para: \( c=3^kc_1c_2 \) -y- \( (c_1,c_2)=1 \) ; \( k\in{\mathbb{N}} \) .
Conocemos que: \( (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \) -y- \( (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b) \) . Luego: \( (a+b)^3-c^3=3ab(a+b) \) -y- \( (a+b-c)((a+b-c)^2+3(a+b)c)=3ab(a+b) \) .
Pero el \( a+b \) del lado derecho de la igualdad no divide a ninguno de los factores del lado izquierdo. Puesto que: \( a+b=3^{3k-1}c_1^3 \) no divide á \( c=3^kc_1c_2 \) de: \( a+b-c \) . Lo que es una contradicción.
En UTF 5
Supongamos que \( a^5+b^5+c^5=0 \) , para \( a,b,c \) enteros y coprimos entre sí.
Si \( 5 \) no divide á \( a,b,c \) . Tenemos que: \( a^5+b^5+c^5\equiv{0} \) mod \( 5 \) . Pero si ninguna de las variables es congruente con otra, esto no se cumple: Basta con probar: \( 1+2+3\,\,,\,\,2+3+4 \) , etc. De esta manera, podemos considerar, sin perder generalidad, que: \( a^5\equiv{b^5} \) mod \( 5 \) . Luego: \( -c^5\equiv{2b^5} \) mod \( 5 \) . Por lo que: \( (-(c^5+2b^5))^2\equiv{0} \) mod \( 5 \) -y- \( c^{10}+4b^{10}\equiv{-4c^5b^5} \) mod \( 5 \) . Pero los residuos módulo 5 distintos de cero son: \( 1,4 \) . Y si sustituimos estos valores a la izquierda en la congruencia, nos dará siempre que: \( 0\equiv{-4c^5b^5} \) ; lo que viola las condiciones iniciales.
Establezcamos pues, por ejemplo, que \( 5 \) , como mínimo, divide á \( c \) .
Tendremos: \( -c^5=a^5+b^5 \) -y- \( -c^5=(a+b)[(a+b)^4-5ab((a+b)^2-ab)] \) . Donde como: \( a+b \) -y- \( (a+b)^4-5ab((a+b)^2-ab) \) son coprimos salvo por el primo \( 5 \) : \( a+b=5^{5k-1}c_1^5 \) -y- \( (a+b)^4-5ab((a+b)^2-ab)=5c_2^5 \) , para: \( c=5^kc_1c_2 \) -y- \( (c_1,c_2)=1 \) ; \( k\in{\mathbb{N}} \) .
Conocemos que: \( (a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5 \) -y- \( (a+b)^5=a^5+b^5+5ab(a^3+b^3+2ab(a+b)) \) . Luego: \( (a+b)^5-c^5=5ab(a^3+b^3+2ab(a+b)) \) -y- \( (a+b-c)[(a+b-c)^4+5(a+b)c((a+b-c)^2+(a+b)c)]=5ab(a^3+b^3+2ab(a+b)) \) \( \Rightarrow \) \( (a+b-c)[(a+b-c)^4+5(a+b)c((a+b-c)^2+(a+b)c)]=5ab((a+b)(a^2-ab+b^2)+2ab(a+b)) \) .
Pero el \( a+b \) que podemos sacar como factor común del lado derecho de la igualdad no divide a ninguno de los factores del lado izquierdo. Puesto que: \( a+b=5^{5k-1}c_1^5 \) no divide á \( c=5^kc_1c_2 \) de: \( a+b-c \) . Lo que es una contradicción.
En UTF p
Lo mismo ocurrirá, conjeturo, con todos los exponentes primos del Caso 2 de Sophie Germain. Puesto que dado: \( a^p+b^p+c^p=0 \) , -y- que toda adición de dos potencias impares puede escribirse como: \( a^p+b^p=(a+b)((a+b)^{p-1}-pab\,.\,.k\,.\,.\,) \) . Y como el primer factor (\( a+b \)) es coprimo con el segundo salvo, en su caso, por el primo del exponente que debe dividir a una de las variables. Y que en todos los casos siempre tendremos que para: \( (a+b)^p \) entonces: \( ((a+b)^p-c^p=(a+b-c)\,\,etc.)\,=\,\,etc. \) y siempre podré sacar como factor común del lado derecho de esta última igualdad á \( a+b \) . Entonces llegaremos a la misma conclusión de los casos UTF3 y UTF5.
Un saludo,
