Autor Tema: Derivadas direccionales y parciales

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09 Junio, 2021, 06:09 am
Respuesta #20

ingmarov

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Hola y gracias.

Entonces sería:

se pide la pendiente del fondo en el punto donde está situado el barco hacia la dirección norte; o sea, la derivada direccional de la función \( D \) en la dirección \( \vec{PQ} \), siendo \( P=(1,0.5) \) y \( Q=(0,1) \). Para ello,

\( \vec{\nabla D(P)}·\vec{Q}=\vec{\nabla D(1,0.5)}·(0,1) \)                                          Vector gradiente de la función \( D \) evaluado en el punto \( P \) hacia el norte.

\( D_x(x,y)=60x\rightarrow{}D_x(1,0.5)=60·1=60 \)                          Derivada parcial x de la función \( D \) evaluada en el punto \( P \).
\( D_y(x,y)=25\pi cos(\displaystyle\frac{\pi.y}{2})\rightarrow{}D_y(1,0.5)=55.5 \)                      Derivada parcial y de la función \( D \) evaluada en el punto \( P \).
 
\( \vec{\nabla D(P)}=<D_x,D_y>=<60,55.5> \) ó \( <60\hat{i},55.5\hat{j}> \)          Vector gradiente de la función \( D \) evaluada en el punto \( P \).

Calcular el vector unitario \( \overrightarrow{U} \) en la dirección \( \overrightarrow{PQ} \):
  \( \overrightarrow{PQ}=(60,55.5)-(0,1)=(60,54.5) \)                                   Dirección \( \overrightarrow{PQ} \).
  \( \left\|{\overrightarrow{PQ}}\right\|=\sqrt[ ]{60^2+(54.5)^2}=81 \)
O sea,
  \( \overrightarrow{U}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{PQ}}{\left\|{\overrightarrow{PQ}}\right\|}=\displaystyle\frac{(60,54.5)}{81}=(0.74,0.67) \)

Por último, calcular la derivada direccional de la función \( D \) en la dirección \( \overrightarrow{PQ} \) (hacia el norte):
  \( D_UD(\overrightarrow{PQ})=\vec{\nabla D(P)}·\vec{U}=(60,54.5)·(0.74,0.67)=44.4+36.51=80.9 \)

Por tanto, la derivada direccional en la dirección del vector \( \overrightarrow{PQ} \) vale \( 80.9 \):
  \( D_UD=80.9 \)

Saludos.

El gradiente lo tienes bien.

Te ayudo

Para calcular la pendiente (derivada direccional) en la dirección norte desde el barco se calcula así:

\[ D_{(0,1)}D(1,0.5)=(60,55.5)\cdot (0,1)=55.5 \] Y esta es la derivada en el punto (1,0.5) en la dirección norte. Quiere decir que si estuvieses parado en el punto donde está situado el barco y caminas hacia el norte por cada paso que des hacia el norte debes subir 55.5 pasos hacia arriba. Claramente, cada paso puede tener una longitud pequeñísima (infinitesimal).

Ahora la derivada direccional en el punto donde está el barco hacia el sudoeste \( ({-}\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2},{-}\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2}) \)

\[ D_{({-}\frac{\sqrt[ ]{2}}{2},{-}\frac{\sqrt[ ]{2}}{2})}D(1,0.5)=(60,55.5)\cdot ({-}\dfrac{\sqrt[ ]{2}}{2},{-}\dfrac{\sqrt[ ]{2}}{2})\approx -30\sqrt{2}-39.24444=-81.67 \]



6) Por definición la dirección del máximo cambio se produce en la dirección del gradiente. ¿Cuál es la pendiente (derivada direccional) en dirección del vector gradiente?
Ya conoces el vector gradiente, pero este vector no tiene módulo 1 (ese vector no es unitario), para encontrar el vector unitario que apunte en la misma dirección de un vector conocido simplemente debes multiplicar el vector conocido por el inverso de su módulo \[ \hat{v}=\dfrac{1}{|\vec{v}|}\cdot \vec{v} \].

Cuando tengas ese vector unitario calcula la derivada direccional en dirección de ese vector unitario, el procedimiento es el mismo que el inciso anterior.

Inténtalo antes de ver el spoiler

Spoiler
Verás que la derivada en  direccion del vector gradiente es igual al módulo del vector gradiente (evaluado en el punto P).

Esto se puede ver fácilmente porque si haces el producto punto de un vector por si mismo obtienes \[ \vec{v}\cdot\vec{v}=|\vec{v}|^2 \]   el módulo del vector elevado al cuadrado

Entonces  \[ \vec{v}\cdot \hat{v}=\vec{v}\cdot \dfrac{1}{|\vec{v}|}\cdot \vec{v}= \dfrac{1}{|\vec{v}|}\cdot (\vec{v}\cdot \vec{v})=\dfrac{|\vec{v}|^2}{|\vec{v}|}=|\vec{v}| \]
[cerrar]


7)  Requiere un vector \[ \vec{w} \] que apunte en una dirección tal que \[ \nabla D\cdot \vec{w}=0 \]
Para que el producto punto entre dos vectores sea nulo debe pasar que los vectores sea perpendicular.
Y ¿Cómo encuentro un vector perpendicular a uno conocido?
Te pongo un ejemplo con otro vector (te toca utilizar el vector gradiente)
Veamos \[ \vec{u}=(11,7) \]   buscamos un vector  \[ \vec{v}=(a,b) \] tal que

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \]

Entonces    \[ (11,7)\cdot(a,b)=11a+7b=0\quad\Rightarrow\quad 11a=-{\color{red}7}b \], Lo más fácil y lo que se hace para que se cumpla esa igualdad es hacer \( a={\color{red}7} \)  (mira el 7 al lado derecho la la igualdad).  Luego para que se cumpla la igualdad debemos hacer \[ b=-11 \]




8) Necesitas encontrar un vector normal a la superficie submarina en el punto donde está el barco. Puedes aprovechar el producto cruz de vectores. necesitas un par de vectores que sean linealmente independientes que sean paralelos a la superficie, luego hacer el producto cruz de estos vectores y el vector resultante será un vector normal a la superficie y que puede ser normal al plano tangente.

Otra forma, te dejo una imagen. En la figura u es un vector unitario en dirección del gradiente, como podrás entender el vector en rojo debe ser paralelo a la superficie submarina. Puedes calcular el ángulo \( \alpha \) y cualquier vector forme con el vector u, un ángulo de \[ \alpha +90^{\circ} \] será normal a la superficie.




Saludos

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

09 Junio, 2021, 06:01 pm
Respuesta #21

mgranadosgg

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11 Junio, 2021, 05:07 pm
Respuesta #22

mgranadosgg

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Hola y gracias.

Entonces el apartado 6) Hallar la dirección de máximo cambio de profundidad en el punto posición del barco. ¿Cuál es ese cambio máximo?

Es:

El vector gradiente de la función \( D \) es el vector formado por sus derivadas parciales:

\( \overrightarrow{\nabla D}=(D_x,D_y)=(60x,25\pi cos(\displaystyle\frac{\pi y}{2}))\longrightarrow{}\overrightarrow{\nabla D(P)}=(60(1),25\pi cos(\displaystyle\frac{\pi (0.5)}{2})=(60,55.5) \)

Por tanto, la dirección de máximo cambio de profundidad en \( P \) es \( (60,55.5) \)

Saludos.

11 Junio, 2021, 05:11 pm
Respuesta #23

mgranadosgg

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El apartado 7) ¿En qué dirección es nula la pendiente del fondo en ese punto?

Es:

\( \overline{\nabla D(P)}·\overrightarrow{v}=0\rightarrow{}60a+55.5b=0\rightarrow{}a=55.5 y b=-60 \)

Por tanto, un vector perpendicular u ortogonal es: \( (55.5,-60) \).

Conclusión: en la dirección \( (55.5,-60) \) es nula la pendiente del fondo en el punto \( P \).

Saludos.

11 Junio, 2021, 05:16 pm
Respuesta #24

mgranadosgg

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El apartado 8) Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie del fondo en el punto donde se encuentra situado el barco.

Es:

El plano tangente a una superficie en un punto es:

\( a(x-x_0)+b(y-y_0)=0 \)

Como

  - El punto \( P=(1,0.5) \)
  - El vector gradiente en \( P \) es: \overrightarrow{\nabla D(P)=(60,55.5)}

Entonces:

  \( 60(x-1)+55.5(y-0.5)=0\rightarrow{}x=-0.925+1.46 \)

https://www.geogebra.org/3d


Saludos.

11 Junio, 2021, 11:52 pm
Respuesta #25

delmar

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Hola

Hola y gracias.

Entonces el apartado 6) Hallar la dirección de máximo cambio de profundidad en el punto posición del barco. ¿Cuál es ese cambio máximo?

Es:

El vector gradiente de la función \( D \) es el vector formado por sus derivadas parciales:

\( \overrightarrow{\nabla D}=(D_x,D_y)=(60x,25\pi cos(\displaystyle\frac{\pi y}{2}))\longrightarrow{}\overrightarrow{\nabla D(P)}=(60(1),25\pi cos(\displaystyle\frac{\pi (0.5)}{2})=(60,55.5) \)

Por tanto, la dirección de máximo cambio de profundidad en \( P \) es \( (60,55.5) \)

Saludos.

La dirección geométrica de un vector esta determinada por el vector unitario del vector, es decir la dirección será \( \displaystyle\frac{(60,55.5)}{\left\|{(60,55.5)}\right\|} \) en consecuencia el cambio máximo será : \( (60,55.5)\cdot{\displaystyle\frac{(60,55.5)}{\left\|{(60,55.5)}\right\|}} \)

El apartado 7) ¿En qué dirección es nula la pendiente del fondo en ese punto?

Es:

\( \overline{\nabla D(P)}·\overrightarrow{v}=0\rightarrow{}60a+55.5b=0\rightarrow{}a=55.5 y b=-60 \)

Por tanto, un vector perpendicular u ortogonal es: \( (55.5,-60) \).

Conclusión: en la dirección \( (55.5,-60) \) es nula la pendiente del fondo en el punto \( P \).

Saludos.

Llegas bien a la ecuación \( 60a+55.5b=0 \) Ec. 1 pero hay que considerar otra ecuación adicional, por que la dirección esta determinada por un vector unitario esto implica cumplir la ecuación \( a^2+b^2=1 \) Ec. 2

Los (a,b) que cumplan las Ec. 1 y 2 son las direcciones en que es nulo el cambio de profundidad por unidad de desplazamiento.
El apartado 8) Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie del fondo en el punto donde se encuentra situado el barco.

Es:

El plano tangente a una superficie en un punto es:

\( a(x-x_0)+b(y-y_0)=0 \)

Como

  - El punto \( P=(1,0.5) \)
  - El vector gradiente en \( P \) es: \overrightarrow{\nabla D(P)=(60,55.5)}

Entonces:

  \( 60(x-1)+55.5(y-0.5)=0\rightarrow{}x=-0.925+1.46 \)

https://www.geogebra.org/3d


Saludos.

En este caso la superficie parametrizada es :

\( \phi:D\subset{R^2}\rightarrow{R^3} \)

\(  \ \ \ (x,y)\rightarrow{\phi(x,y)=(x,y,250+30x^2+50sen(\displaystyle\frac{\pi y}{2}))} \)

En esas circunstancias el vector normal es \( \vec{N(x,y)}=\phi_x(x,y) \ X \ \phi_y(x,y) \)

Donde :

\( \phi_x(x,y)=(1,0,60x) \)

\( \phi_y(x,y)=(0,1,25 \pi cos(\displaystyle\frac{\pi y}{2})) \)

Obviamente el vector normal en P es \( N(1,0.5) \)

Los puntos del plano tangente en (1,0.5) cumplen :

\( (x-1,y-0.5,z-315.355)\cdot{N(1,0.5)}=0 \)


Saludos

13 Junio, 2021, 06:27 pm
Respuesta #26

mgranadosgg

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Hola

Hola y gracias.

Entonces el apartado 6) Hallar la dirección de máximo cambio de profundidad en el punto posición del barco. ¿Cuál es ese cambio máximo?

Es:

El vector gradiente de la función \( D \) es el vector formado por sus derivadas parciales:

\( \overrightarrow{\nabla D}=(D_x,D_y)=(60x,25\pi cos(\displaystyle\frac{\pi y}{2}))\longrightarrow{}\overrightarrow{\nabla D(P)}=(60(1),25\pi cos(\displaystyle\frac{\pi (0.5)}{2})=(60,55.5) \)

Por tanto, la dirección de máximo cambio de profundidad en \( P \) es \( (60,55.5) \)

Saludos.

La dirección geométrica de un vector esta determinada por el vector unitario del vector, es decir la dirección será \( \displaystyle\frac{(60,55.5)}{\left\|{(60,55.5)}\right\|} \) en consecuencia el cambio máximo será : \( (60,55.5)\cdot{\displaystyle\frac{(60,55.5)}{\left\|{(60,55.5)}\right\|}} \)

El apartado 7) ¿En qué dirección es nula la pendiente del fondo en ese punto?

Es:

\( \overline{\nabla D(P)}·\overrightarrow{v}=0\rightarrow{}60a+55.5b=0\rightarrow{}a=55.5 y b=-60 \)

Por tanto, un vector perpendicular u ortogonal es: \( (55.5,-60) \).

Conclusión: en la dirección \( (55.5,-60) \) es nula la pendiente del fondo en el punto \( P \).

Saludos.

Llegas bien a la ecuación \( 60a+55.5b=0 \) Ec. 1 pero hay que considerar otra ecuación adicional, por que la dirección esta determinada por un vector unitario esto implica cumplir la ecuación \( a^2+b^2=1 \) Ec. 2

Los (a,b) que cumplan las Ec. 1 y 2 son las direcciones en que es nulo el cambio de profundidad por unidad de desplazamiento.
El apartado 8) Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie del fondo en el punto donde se encuentra situado el barco.

Es:

El plano tangente a una superficie en un punto es:

\( a(x-x_0)+b(y-y_0)=0 \)

Como

  - El punto \( P=(1,0.5) \)
  - El vector gradiente en \( P \) es: \overrightarrow{\nabla D(P)=(60,55.5)}

Entonces:

  \( 60(x-1)+55.5(y-0.5)=0\rightarrow{}x=-0.925+1.46 \)

https://www.geogebra.org/3d


Saludos.

En este caso la superficie parametrizada es :

\( \phi:D\subset{R^2}\rightarrow{R^3} \)

\(  \ \ \ (x,y)\rightarrow{\phi(x,y)=(x,y,250+30x^2+50sen(\displaystyle\frac{\pi y}{2}))} \)

En esas circunstancias el vector normal es \( \vec{N(x,y)}=\phi_x(x,y) \ X \ \phi_y(x,y) \)

Donde :

\( \phi_x(x,y)=(1,0,60x) \)

\( \phi_y(x,y)=(0,1,25 \pi cos(\displaystyle\frac{\pi y}{2})) \)

Obviamente el vector normal en P es \( N(1,0.5) \)

Los puntos del plano tangente en (1,0.5) cumplen :

\( (x-1,y-0.5,z-315.355)\cdot{N(1,0.5)}=0 \)


Saludos

Hola y gracias.

Entonces el apartado 7) será:

Resolver el sistema lineal de ecuaciones por sustitución:

  \( \begin{pmatrix}60a+55.5b=0\\{a^2+b^2=1}\\ \end{pmatrix}\rightarrow{}\begin{pmatrix}a=-\displaystyle\frac{37b}{40}\\{(-\displaystyle\frac{37b}{40})^2+b^2=1\rightarrow{}b=\pm{}\displaystyle\frac{40\sqrt[ ]{2969}}{2969}}\\ \end{pmatrix} \)

Sustituyendo el valor de \( b \) en \( 60a+55.5b=0 \), da:

  \( 60a+55.5b=0\rightarrow{}\begin{pmatrix}\frac{40\sqrt[ ]{2969}}{2969}\\{-\frac{40\sqrt[ ]{2969}}{2969}}\end{pmatrix}\rightarrow{}\begin{pmatrix}-\frac{37\sqrt[ ]{2969}}{2969}\\{\frac{37\sqrt[ ]{2969}}{2969}}\end{pmatrix} \)

por lo tanto, las soluciones del S.L.E.:

  \( \begin{pmatrix}{a=-\frac{37\sqrt[ ]{2969}}{2969},}&{b=\frac{40\sqrt[ ]{2969}}{2969}}\\{a=\frac{37\sqrt[ ]{2969}}{2969},}&{b=-\frac{40\sqrt[ ]{2969}}{2969}}\end{pmatrix} \)

¿va bien?

Saludos.