Autor Tema: Continuidad valor esperado

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23 Febrero, 2021, 04:14 pm
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HugoGB

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Hola. ¿Me peguntaba si el valor esperado de una variable aleatoria es un mapeo continuo? Y en caso de que lo sea, ¿cómo podríamos probarlo? No encuentro nada de bibliografía sobre la continuidad del operador esperanza.

Es decir, cuando nosotros metemos una variable aleatoria, el operador nos devuelve un número real. ¿Ese mapeo es continuo?

PD.: No sé hasta qué punto tiene sentido la pregunta que me estoy haciendo. Si me podéis aclarar os lo agradezco.

Gracias.

23 Febrero, 2021, 06:46 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
Hola. ¿Me peguntaba si el valor esperado de una variable aleatoria es un mapeo continuo? Y en caso de que lo sea, ¿cómo podríamos probarlo? No encuentro nada de bibliografía sobre la continuidad del operador esperanza.
Es decir, cuando nosotros metemos una variable aleatoria, el operador nos devuelve un número real. ¿Ese mapeo es continuo?
PD.: No sé hasta qué punto tiene sentido la pregunta que me estoy haciendo. Si me podéis aclarar os lo agradezco.

Es que habría que definir una topología en el conjunto de las variables aleatorias. Al ser la esperanza \( E[\xi] \) una constante no sería un tema relevante. También pudiera ocurrir que la esperanza no existiera. Por ejemplo, para

        \( p\left(\xi=\dfrac{(-1)^k2^k}{k}\right)=\dfrac{1}{2^k}\quad (k=1,2,\ldots) \),

tenemos, \( \sum_{k=1}^{+\infty}1/2^k=1 \) y es por tanto una variable aleatoria (discreta). Entonces \( \sum_{k=1}^{+\infty}p_kx_k=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k}=-\log 2 \), pero la serie en valor absoluto es \( \sum_{k=1}^{+\infty}1/k \) (divergente). La serie que define \( E[\xi \)] no es absolutamente convergente, por tanto no existe \( E[\xi] \).

04 Octubre, 2021, 07:00 am
Respuesta #2

Masacroso

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Ya sé que el tema es algo antiguo pero ya que lo he visto de casualidad me gustaría añadir algo: el funcional \( E \) es lineal, entonces en el espacio de Banach \( L^1(P) \) de todas las funciones integrables en un espacio de medida \( (\Omega ,\mathscr{F},P) \) el funcional \( E \) sería trivialmente acotado y por tanto continuo.