Autor Tema: Relación de orden

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16 Febrero, 2021, 12:15 am
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LenaChazz

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Buenas noches.

Hace un tiempo que leo este rincón aunque esta es la primera vez que escribo en él. Pido disculpas si infrinjo alguna de las normas del mismo, será totalmente accidental.
Ha ocurrido lo siguiente, en cierta asignatura de primero de Matemáticas de cierta universidad española a distancia se ha llevado a cabo una corrección de una pregunta de examen final que está causando bastante controversia, y aunque no es la primera vez que ocurre y probablemente no será la última, y a pesar de que a mí no me afecta porque no ha caído en mi examen, algunos compañeros dependen de ella para aprobar o subir nota. La pregunta constaba de cuatro relaciones definidas en \( \mathbb N \) y una de ellas rezaba:

\( nRm \) si y solo si \( \exists{k\in{\mathbb N}} \) tal que \( m^2-n^2=k \)

La pregunta era señalar las relaciones que eran de orden y esta concretamente, se ha corregido como "no es una relación de orden". Todos los que conozco hemos pensado que sí era efectivamente de orden, sobre todo teniendo en cuenta que otra relación era:

\( nRm \) si y solo si \( \exists{k\in{\mathbb N}} \) tal que \( m^2=k+n^2 \),

y esta sí es de orden, pero el profesor ha respondido que la primera es la relación vacía pues la resta no está definida en \( \mathbb N \).
Mi duda es, ¿es realmente la relación problemática una relación de orden o no?, ¿y qué sentido tiene definir una relación de orden que en realidad no se puede definir?

Muchas gracias.

16 Febrero, 2021, 12:30 am
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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pero el profesor ha respondido que la primera es la relación vacía pues la resta no está definida en \( \mathbb N \).

Eso es una memez. La afirmación \( \exists k\in \mathbb N \) tal que \( 3^2-2^2=k \) es cierta (basta tomar \( k = 5 \)), luego se cumple que \( 2R3 \) y la relación no es vacía.

Similarmente, si queremos ver si se cumple \( 3R2 \) tenemos que ver si se cumple \( \exists k\in \mathbb N \) tal que \( 2^2-3^2 = k \), pero como \( 2^2-3^2=-5\notin\mathbb N \), concluimos que no se cumple, luego no \( 3R 2 \).

La resta sí que está definida en \( \mathbb N^2 \), sin perjuicio de que el resultado no sea necesariamente un número natural, pero ¿y eso qué más da?.

Según ese criterio, habría que decir que

\( S=\{(m, n)\in \mathbb N\times \mathbb N\mid \sqrt m = n\} \)

es el conjunto vacío, porque la raíz cuadrada no está definida en \( \mathbb N \).

¿Desde cuándo no se puede definir una relación en \( \mathbb N \) usando una función que toma valores en un conjunto más amplio?

16 Febrero, 2021, 01:16 am
Respuesta #2

Fernando Revilla

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Amén de lo dicho por Carlos.

La pregunta constaba de cuatro relaciones definidas en \( \mathbb N \) y una de ellas rezaba:

        \( nRm \) si y solo si \( \exists{k\in{\mathbb N}} \) tal que \( m^2-n^2=k \)

La pregunta era señalar las relaciones que eran de orden y esta concretamente, se ha corregido como "no es una relación de orden". Todos los que conozco hemos pensado que sí era efectivamente de orden, sobre todo teniendo en cuenta que otra relación era:

        \( nRm \) si y solo si \( \exists{k\in{\mathbb N}} \) tal que \( m^2=k+n^2 \),

y esta sí es de orden, pero el profesor ha respondido que la primera es la relación vacía pues la resta no está definida en \( \mathbb N \).

Sería interesante que el profesor explicara la no equivalencia entre \( m^2-n^2=k \)  y \( m^2=k+n^2 \) para asegurar que son distintas relaciones :).

16 Febrero, 2021, 01:25 am
Respuesta #3

feriva

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La pregunta era señalar las relaciones que eran de orden y esta concretamente, se ha corregido como "no es una relación de orden". Todos los que conozco hemos pensado que sí era efectivamente de orden, sobre todo teniendo en cuenta que otra relación era:

\( nRm \) si y solo si \( \exists{k\in{\mathbb N}} \) tal que \( m^2=k+n^2 \),

y esta sí es de orden, pero el profesor ha respondido que la primera es la relación vacía pues la resta no está definida en \( \mathbb N \).
Mi duda es, ¿es realmente la relación problemática una relación de orden o no?, ¿y qué sentido tiene definir una relación de orden que en realidad no se puede definir?

Muchas gracias.

A lo mejor es que lo que quieren decir está escrito de forma muy críptica.

Escriben \( nRm
  \), con la “n” delante, y después ponen \( m^{2}-n^{2}
  \), con la “m” delante, lo que... no sé; lo mismo están intentando dar a entender que la relación debe cumplirse en ambas situaciones, conmutativamente, en cuyo caso sería vacía sobreentendiendo el conjunto de los naturales sin el cero (o bien si añadieran la condición \( m\neq n
  \)).

Pero es una suposición retorcidísima; se me ocurre a mí porque soy “artista”, no todo el mundo tiene mi imaginación :D

Saludos.

16 Febrero, 2021, 02:05 am
Respuesta #4

pablo_isla

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El argumento utilizado por el profesor es que -n no pertenece a los naturales, y personalmente por más vueltas que le doy no le veo ningún sentido.

16 Febrero, 2021, 02:09 am
Respuesta #5

manooooh

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Hola pablo_isla, bienvenido al foro

El argumento utilizado por el profesor es que -n no pertenece a los naturales, y personalmente por más vueltas que le doy no le veo ningún sentido.

¿Lo dices porque eres compañero de LenaChazz?

Saludos

16 Febrero, 2021, 02:10 am
Respuesta #6

pablo_isla

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Si, así es.

Un saludo

16 Febrero, 2021, 02:11 am
Respuesta #7

Carlos Ivorra

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El argumento utilizado por el profesor es que -n no pertenece a los naturales, y personalmente por más vueltas que le doy no le veo ningún sentido.

Una relación en \( \mathbb N \) no es más que un subconjunto de \( \mathbb N\times \mathbb N \). Si la religión del profesor le prohíbe definir subconjuntos de \( \mathbb N\times \mathbb N \) usando funciones que toman valores fuera de \( \mathbb N \), como si quiere ser budista, pero lo que no puede es imponer sus creencias al resto de los mortales.


Esta frase dio lugar a un debate lingüístico sobre la misma que se discute aquí.

16 Febrero, 2021, 02:38 am
Respuesta #8

feriva

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El argumento utilizado por el profesor es que -n no pertenece a los naturales, y personalmente por más vueltas que le doy no le veo ningún sentido.

¿Por eso lo dice el profesor? Pues yo tampoco lo entiendo muy bien (aunque no sé mucho) porque en la relación no aparece \( n \), ni mucho menos \( -n \) (donde “-” es signo de operación) aparecen los naturales \( n^{2},m^{2}
  \), que me da igual cómo los escriba, pues esto \( (-2)^2 \), por ejemplo, no es más que un representante del natural “4”, un representante de un natural, no un entero negativo (se confunde el concepto de número con el de representante). Si hallo la raíz, en ese caso la operación no es cerrada, claro, pero en otros casos sí lo es, por tanto, sí que existen “kas”. No creo que se pueda decir que es vacío, no tiene nada que ver, las relaciones binarias de los ejercicios se cumplen para unos números sí y otros no; y por eso no dejan de existir como relaciones.

Saludos.

16 Febrero, 2021, 06:18 pm
Respuesta #9

mrasa

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Buenas tardes,

Este es un mensaje dirigido a Carlos Ivorra y Fernando Revilla, asi como a cualquier otro miembro del foro titulado en matematicas.

La cuestion que dirimimos en este post, es muy importante para varios alumnos, puesto que con ella nos jugamos el aprobado o el suspenso en la asignatura. Como prevemos que el coordinador de la misma, no parece que se tenga intencion de rectificar, y parece que vamos a tener que reclamar formalmente una revision del examen, queria pediros amablemente a ver si alguno de vosotros, que teneis "galones" en la materia nos podria echar una mano. Seria de gran utilidad si nos redactarais un documento que justifique que la relacion de la que hablamos, \( nRm \) si y solo si \( \exists{k\in{\mathbb N}} \) tal que \( m^2-n^2=k \), teniendo en consideracion lo que el profesor utiliza como argumento: que como la relacion esta definida en N, la resta no esta deefinida y es una relacion vacia y por tanto no es de orden(aqui lanzo yo una pregunta: no se supone que las relaciones vacias son de orden?)

Os agradezco de antemano vuestra atencion.

Si considerais adecuado loq ue os pido, me lo podeis enviar a mi direccion de correo electronico migueluribe4@hotmail.com

Muchas gracias y un saludo