Autor Tema: Ecuaciones exponenciales y sus soluciones.

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02 Febrero, 2021, 02:44 am
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Blancoynegrofil

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Estimados llevo tiempo solucionando ecuaciones usando la función w de Lambert pero no logro encontrar como configurar el artificio algebraico final para producir la segunda solución numérica pues la primera solución logro hallarla pero no la segunda.
A la persona entendida le pido que me detalle como configurar la formula final para obtener la segunda solución del sistema.

Les detallo la solución del siguiente sistema que da como resultado solo una de las dos soluciones:

\(  \dfrac{e^x}{x^e} =4  \)

\(  e^x=4\times{x^e} \)  despejamos la constante "e" usando \(  1/e  \)

\(  e^{x/e}=4^{1/e} \times{}x \)  invertimos  el sistema usando / -1

\(  e^{-x/e}=4^{-1/e} \times{}x^{-1} \) multiplicamos  usando / \(  \dfrac{-x}{e} \)

\(  (\dfrac{-x}{e})  \times{} e^{-x/e} =-e^{-1}\times{}4^{-1/e}  \)   aplicamos la función w Lambert

\(  (\dfrac{-x}{e}) = W [-e^{-1}\times{}4^{-1/e} ]  \) despejamos equis "X"

\(  x= -W [-e^{-1}\times{}4^{-1/e} ]\times{}e  \)

calculamos el valor de w colocando
lambert w function en wolfram alpha

\(  w= W [-e^{-1}\times{}4^{-1/e} ]= -0.297437273600 \)

por tanto el valor de equis será:

\(  x= -W [-e^{-1}\times{}4^{-1/e} ]\times{}e = 0.808518335 \)

El problema es que el sistema tiene dos soluciones y no se como configurar el artificio algebraico para
obtener la segunda solución la cual es 6.4558565784 la cual se puede comprobar usando
wolfram alpha un saludo.

02 Febrero, 2021, 09:22 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Es que simplemente la función W de Lambert tiene dos ramas cuando la variables está en el intervalo \( [-1/e,0]. \)

 Recuerda que se define como la solución de la siguiente ecuación:

\(  ye^y=x \)

 y si \( \color{red}x\color{black}\in (-1/e,0) \), esa ecuación tiene dos soluciones. Suelen denotarse por \( W_0(x) \) y \( W_{-1}(x). \)

 En tu caso cuando llegas a:

\( \left(\dfrac{-x}{e}\right)e^{-x/3}=-e^{-1}\cdot 4^{-1/e} \)

 se tiene que \( -e^{-1}\cdot 4^{-1/e}\in (-1/e,0)  \). Las dos soluciones surgen de tomar:

\(  \dfrac{-x}{e}=W_0(-e^{-1}\cdot 4^{-1/e}) \)

ó

\(  \dfrac{-x}{e}=W_{-1}(-e^{-1}\cdot 4^{-1/e}) \)

Saludos.

CORREGIDO

08 Febrero, 2021, 10:27 pm
Respuesta #2

Blancoynegrofil

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Hola a todos buscando e indagando encontré como se solucionan ecuaciones usando la función de Lambert el método solo resuelve una de las dos soluciones  la W(0) pero no resuelve la segunda solución la cual es W(-1) pido a la persona entendida que detalle como se opera para hallar W(-1) para el caso en cuestión.

Mostraré aquí un caso simple pero cuya mecánica es la misma para hallar soluciones mas complejas:

\(  2=x\times{e^x} \)  / aplicamos w de Lambert

\( x=W(2) \)

Operatoria mecánica paso a paso para hallar la solución para: \( x=W(2) \)


Paso 1:\(  \dfrac{2}{e^2}=a \)

Paso 2:\(  \dfrac{2}{e^a}=b \)

Paso 3:\(  \dfrac{2}{e^b}=c \)

Paso 4, 5 etc luego de operar varias veces de la misma forma respetando el mismo parametro el número se acercara a 0,85260550  que es la solución de esta simple ecuación:

\(  2=0.85260550\times{e^ {0.85269550}} \) 

Para el caso:\(  \dfrac{e^x}{x^e}=4 \)
obtenemos operando de la misma forma una de las dos soluciones la cual W(0)

\(  -e^{-1}\times{4^{-1/e}}=k  \)

Paso 1:\(  \dfrac{k}{e^k}=a \)

Paso 2:\(  \dfrac{k}{e^a}=b \)

Paso 3:\(  \dfrac{k}{e^b}=c \)

Paso 4: \(  \dfrac{k}{e^c}= -0.29743727360... \)

Se repite la operatoria hasta el infinito y solo se consigue mas precisión.

Operando de la forma mostrada obtenemos W(0)
Pero la pregunta central es ¿Cómo debemos operar mecánicamente para obtener W(-1) que debiera ser este valor: -2.37497691?
Le pido por favor a la persona entendida que detalle el método mecánico para obtener el segundo valor que nos dará la segunda solución a este sistema. un saludo

 








11 Febrero, 2021, 11:52 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

\(  2=x\times{e^x} \)  / aplicamos w de Lambert

\( x=W(2) \)

Operatoria mecánica paso a paso para hallar la solución para: \( x=W(2) \)


Paso 1:\(  \dfrac{2}{e^2}=a \)

Paso 2:\(  \dfrac{2}{e^a}=b \)

Paso 3:\(  \dfrac{2}{e^b}=c \)

Paso 4, 5 etc luego de operar varias veces de la misma forma respetando el mismo parametro el número se acercara a 0,85260550  que es la solución de esta simple ecuación:

\(  2=0.85260550\times{e^ {0.85269550}} \) 

Lo que estás haciendo ahí es aplicar el método del punto fijo para obtener una solución de la ecuación \( x=f(x) \) con \( f(x)=\dfrac{2}{e^x} \), iterando:

\(  x_n=f(x_{n-1}) \)

Entonces si tienes:

\( xe^{x}=y \) con \( -\dfrac{1}{e}<y<0 \)

La ecuación la puede escribir como:

\( e^{x}=y/x \)

\( x=ln(y/x) \)

Entonces si tomas \( f(x)=ln(y/x) \) e iteras \( x_n=f(x_{n-1}) \) empezando por ejemplo con \( x_1=-1 \), llegarás la otra solución.

Saludos.

25 Julio, 2021, 08:13 pm
Respuesta #4

Blancoynegrofil

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Hola a todos después de varios intentos fallidos y de no entender como hacer la iteración  descubrí como interpretar correctamente
el artificio algebraico  y llegar a la otra solución aquí les dejo como logre hallar el resultado que buscaba:

El segundo valor para la ecuacion:   

\( \dfrac{e^x}{x^e}=4 \)

una ves operado llegamos a:

\(  k=-4^{-1/e}\times{e^{-1}}  \)

E iniciamos la iteración de la siguiente forma empezando con el muy importante  valor de -1:

\( ln=\dfrac{k}{-1}=-1.509989195 \)

Luego el valor obtenido lo asignamos a una constante \(  a=-1.509989195 \)

y operamos nuevamente e incluimos el valor obtenido simbolizado por "a" en el arreglo  y operamos:
El valor para "k" siempre es:\(  k=-4^{-1/e}\times{e^{-1}}=-0.220912364  \) en toda la iteracion este valor es fijo.

\( ln=\dfrac{k}{a}=-1.92209169 \)

Luego asignamos el valor obtenido a \(  b=-1.92209169 \) y volvemos a operar de la misma forma anterior.

\( ln=\dfrac{k}{b}=-2.16340321 \)

Luego asignamos el nuevo valor a c=-2.16340321 y volvemos a operar luego de operar como veinte veces el valor se estabiliza
a  W(2)= -2.37497691 que es el segundo valor que buscamos para obtener la segunda solución de la ecuación:

\( \dfrac{e^x}{x^e}=4 \)

Entonces el valor será:  \( -1\times{-2.37497691}\times{e}=6.455856578  \)

Hay también una forma de calcular el valor de la segunda solución usando una calculadora científica  casio modelo fx-82MS
la cual la explicare:

Sea para el caso mostrado anteriormente:

\(  k=-4^{-1/e}\times{e^{-1}}=-0.220912364  \)

Lo primero que hacemos es ingresar el valor de la constante en la calculadora
luego ingresamos el valor de -1 al display superior y lo escribimos luego presionamos la tecla "Igual" para que el valor de -1
quede en el display secundario luego de esto borramos el valor de -1 que esta en el display superior con la tecla "DEL"
Luego escribimos logaritmo natural  "ln"  abrimos paréntesis  escribimos el valor de la constante obtenida y dividimos por "Ans" que es la tecla que nos ayudara a automatizar la iteración y serramos el paréntesis  luego de esto iteramos presionando la tecla  "igual" varias veces en la calculadora.

\(  ln[\dfrac{k}{Ans}] \)

En la calculadora es muy importante ingresar -1 al display secundario primero pues si escribes
\(  ln[\dfrac{k}{Ans}] \) sin ingresar el -1 la calculadora te entregara un mensaje que dice así: "Math ERROR"

Para finalizar quiero agradecer a:

A la academia MEGA con sus videos en youtube aprendí a resolver funciones y ecuaciones con la función de Lambert.
A Claudio Prosdocimo y sus videos de youtube me enseñaron a iterar tanto mecánicamente como con la calculadora para así obtener los dos valores de la función de Lambert.
Agradecer a Luis Fuentes el_manco que con su ultima respuesta me dieron ideas claves para hallar la solución que buscaba para encontrar el segundo valor de la función de Lambert.

Por tanto damos por solucionado este tema.