[smc]

Buenos días. Tengo que resolver el siguiente ejercicio y se me está haciendo muy difícil. Si alguien me lo supiera resolver se lo agradedcería muchísimo.

Sea \( f: \{z\in\mathbb{C}: \|z\|<2\}\longrightarrow\mathbb{C} \) una aplicación contínua tal que \( \|f(z)\|<1, \forall z \), y sean \( \alpha\beta:[0,1]\longrightarrow\mathbb{C} \) las curvas definidas por \( \alpha(t) = 7e^{12\pi it}, \beta(t) = \alpha(t)+f(e^{2\pi it}) \)

i) Para \( p = 2 \) y para \( p = 12i \), determinar el grado de la curva cerrada \( \rho:[0,1]\longrightarrow S^1 \) definida por \( \rho(t) = \frac{\alpha(t) -p}{\|\alpha(t) -p\|}, t\in[0,1] \)

y el grado de la curva cerrada \( \sigma:[0,1]\longrightarrow S^1 \) definida por \( \sigma(t) = \frac{\beta(t) -p}{\|\beta(t) -p\|}, t\in[0,1] \)

ii) Probar que la ecuación \( 7z^6+\frac{sin(\|z\|)}{z^3-12}=2 \) tiene solución. Dar un ejemplo de una función contínua \( g:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C} \) tal que la ecuación \( 7z^6+\frac{g(z)}{z^3-12}=2 \) no tenga solución.

[geómetracat]

Te doy unas ideas informales a ver si te sirve.

Para el i), lo mejor es verlo primero intuitivamente. La curva \[ \alpha \] es una curva que da seis vueltas en sentido positivo alrededor del origen por una circunferencia de radio \[ 7 \]. Por otro lado, el grado de \[ \rho \] es intuitivamente el número de vueltas que da esta curva alrededor de \[ 2 \] (de hecho es el índice de \[ \alpha \] respecto a \[ 2 \]). Como \[ 2 \] queda dentro de la circunferencia de radio \[ 7 \], el grado será \[ 6 \]. En el caso de \[ 12i \], como queda fuera será \[ 0 \].

La idea para \[ \beta \] es parecida. Como \[ ||f(z)||<1 \], tienes que la curva \[ \beta \] es la curva \[ \alpha \] más una perturbación "pequeña", que no va a cambiar el grado de las curvas \[ \rho \] y \[ \sigma \] ya que los puntos \[ 2 \] y \[ 12i \] están a una distancia grande de la circunferencia de radio \[ 7 \].

Para el segundo, la idea es que si la ecuación que te dan no tuviera solución, podrías definir una homotopía de la curva \[ \sigma \] a un punto, y por tanto \[ \sigma \] tendría grado cero, contradiciendo el hecho de que tiene grado seis.