[adhemir]

Hola qué tal, tengo una duda conceptual sobre el método:

Tenemos el siguiente problema:

Juan recibió  \( R$ 300,00   \)  por su cumpleaños y pretende gastar el dinero en   CDs e Xboxs. Para el, la utilidad  asociada a la  compra de \( x \) CDs e \( y \) Xboxs
es
\( U(x,y)= \ln(x^2\sqrt{y}) \)

Si cada CD cuesta \( R$20,00 \) y cada Xbox cuesta \( R $ 30,00, \) cuantos CDs e cuantos Xboxs Juan debe comprar para que la utilidad sea la mayor posible? 

Bueno en este caso planteé el problema usando el método de multiplicadores de Lagrange, con una restricción, y hallé los valores para \( x=12 \) e \( y=2 \) o sea el punto \( (12,2). \) La pregunta es como garantizo que ese punto es realmente el punto que maximiza a la función? ya que en este caso solo obtengo un punto critico y no tengo como comparar con otro punto para saber el valor de la función. 

[Luis Fuentes]

Hola

 En realidad es un problema de optimización discreta, ya que las variables \( x \) e \( y \) son enteras. No obstante uno puede tratarlo en principio como un problema de optimización continua y ver si los resultados son enteros (es lo que haces).

 La restricciones son:

 \( 1\leq x,\quad 1\leq y,\quad \color{red}20x+30y\leq 300\color{black} \)
 
 Descarto los valores nulos porque en ese caso es claro que la utilidad es \( -\infty \).

 Ahora ese recinto es un compacto  y por tanto con toda seguiridad como la función utilidad es continua, se alcanza el máximo y el mínimo.

 Además los candidatos a máximo y mínimo son:

 - los puntos donde se anulan ambas parciales de la utilidad en el recinto (ahí no usas las restricciones).
 - los puntos de la frontera. En tu caso es un triángulo y debes de analizar lo que ocurre en cada lado como un problema de optimización con restricciones. En particular tu has analizado que ocurre sobre la recta \(  \color{red}20x+30y\color{black}=300 \).

 Con estas observaciones puedes completar el estudio.

Saludos.

CORREGIDO

[adhemir]

Hola, estaria bien si lo justifico de la siguiente forma:
Tenemos   \( D(x,y)=U_{xx}U_{yy}-U_{xy}=\frac{1}{x^2y^2} \) e \( U_{xx}=\frac{-2}{x^2} \) ahora evaluamos en el punto \( x=12 \) e \( y=2 \) asi :
\( D(12,2)>0 \) e \( U_{xx}(12,2)<0 \) entonces el punto \( (12,2) \) es punto de que maximiza la función. 

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, estaria bien si lo justifico de la siguiente forma:
Tenemos   \( D(x,y)=U_{xx}U_{yy}-U_{xy}=\frac{1}{x^2y^2} \) e \( U_{xx}=\frac{-2}{x^2} \) ahora evaluamos en el punto \( x=12 \) e \( y=2 \) asi :
\( D(12,2)>0 \) e \( U_{xx}(12,2)<0 \) entonces el punto \( (12,2) \) es punto de que maximiza la función. 

Pero no entiendo lo que haces ahí; estudias el Hessiano de la función sin restricciones en el punto crítico de la función con restricciones.

Aun encima el Hessiano te da que es un punto de silla; nada concluyente.

¿Has entendido las indicaciones de mi  mensaje anterior? Básicamente te dice como localizar los puntos críticos. Una vez localizados (serán un número finito) evaluando la función sobre ellos es máximo aquel donde la función toma su mayor valor y mínimo donde toma su menor valor.

Saludos.

[adhemir]

Hola, no entendí como localizarlo  con el método que escribiste

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, no entendí como localizarlo  con el método que escribiste

En general cuando no comprendas algo no te limites a un "no entendí". Debes de especificar exactamente que parte de la explicación no comprendes.

Además los candidatos a máximo y mínimo son:

 - los puntos donde se anulan ambas parciales de la utilidad en el recinto (ahí no usas las restricciones).

 Me refiero a los puntos donde se anulan simultáneamente las parciales de \( U(x,y)=ln(x^2\sqrt{y})=2ln(x)+\dfrac{1}{2}ln(y) \).

 Sólo usamos las restricciones para descartar los puntos que cumplan lo anterior pero no las restricciones.

 Sea como sea en este caso no obtenemos ninguno.

- los puntos de la frontera. En tu caso es un triángulo y debes de analizar lo que ocurre en cada lado como un problema de optimización con restricciones. En particular tu has analizado que ocurre sobre la recta \( x+y=300 \).

 Es decir analizar los puntos críticos con multiplicadores de Lagrange de:

i) \( U(x,y)=ln(x^2\sqrt{y})=2ln(x)+\dfrac{1}{2}ln(y) \) con la restricción \( 20x+30y=300 \) (es lo que has hecho). Descartar los que no cumplan además que \( x,y\geq 1 \).

ii) \( U(x,y)=ln(x^2\sqrt{y})=2ln(x)+\dfrac{1}{2}ln(y) \) con la restricción \( x=1 \) (es lo que has hecho). Descartar los que no cumplan además que \( y\geq 1,\,20x+30y\leq 300 \).

iii) \( U(x,y)=ln(x^2\sqrt{y})=2ln(x)+\dfrac{1}{2}ln(y) \) con la restricción \( y=1 \) (es lo que has hecho). Descartar los que no cumplan además que \( x\geq 1,\,20x+30y\leq 300 \).

 Y todavía añadir los vértices del triángulo.

Saludos.

P.D. Tuve un error al escribir las restricciones. No sé si eso te confundió.

CORREGIDO

[adhemir]

Hola, por ejemplo en la parte ii) la pregunta es como descarto los que no cumplan
\( y\geq 1,\,20x+30y\leq 300  \) nose como proceder, para realmente mostrar que solo hay un punto de maximo.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, por ejemplo en la parte ii) la pregunta es como descarto los que no cumplan
\( y\geq 1,\,20x+30y\leq 300  \) nose como proceder, para realmente mostrar que solo hay un punto de maximo.

En el punto (ii) trabajamos con la restricción \( x=1 \). Directamente la función queda:

\( U(y)=U(1,y)=\dfrac{1}{2}ln(y) \)

La derivada no se anula nunca, luego no hay puntos críticos y no tienes nada que descartar.

Pero por ejemplo si saliese el punto crítico \( y_0=0 \)... lo descartamos porque no cumple \( y\geq 1 \).

Si saliese \( y_0=12 \).. lo descartamos porque \( 20\cdot 1+30\cdot 12=380>300 \) no cumple por tanto \( 20x+30y\leq 300 \).

Saludos.

[adhemir]

Bueno el i) ya fue hecho, el ii) tambien.  Analogamente hago el iii) y sale para \( y=1 \)
a funcion \( U(x,1)= 2 \ln x \) no tiene puntos criticos ya que \( U'(x)=\frac{1}{2x}\neq{0} \)
Ahora para los vertices \( x=y=1\Rightarrow{U(1,1)=0} \)
para el otro vértice \( x=1 , y=28/3 \Rightarrow{U(1,28/3)=\frac{1}{2}\ln (28/3)}  \)
y para el ultimo vértice \( x=27/2 , y=1 \Rightarrow{U(27/2,1)=2\ln (27/2)}  \)

Y ahora como garantizo el maximo valor en que punto ocurre?
y cual sera el minimo valor


 

[Luis Fuentes]

Hola

Bueno el i) ya fue hecho, el ii) tambien.  Analogamente hago el iii) y sale para \( y=1 \)
a funcion \( U(x,1)= 2 \ln x \) no tiene puntos criticos ya que \( U'(x)=\frac{1}{2x}\neq{0} \)
Ahora para los vertices \( x=y=1\Rightarrow{U(1,1)=0} \)
para el otro vértice \( x=1 , y=28/3 \Rightarrow{U(1,28/3)=\frac{1}{2}\ln (28/3)}  \)
y para el ultimo vértice \( x=27/2 , y=1 \Rightarrow{U(27/2,1)=2\ln (27/2)}  \)

Y ahora como garantizo el maximo valor en que punto ocurre?
y cual sera el minimo valor

Me parece que sigues sin entender la filosofía de todo esto; lo que hemos hecho es reducir los candidatos a máximo y mínimo a un número fintio; ahora basta verificar en cuales de los candidatos se toma el mínimo valor y en cual el máximo:

1) \( U(1,1)=0=ln(1) \)
2) \( U(1,28/3)=\frac{1}{2}\ln (28/3)=ln(\sqrt{28/3}) \)
3) \( U(27/2,1)=2 ln (27/2)=ln(27^2/4) \)
4) \( U(12,2)=ln(12^2\cdot \sqrt{2}) \)

Entonces vemos que el mayor valor es el (4), \( U(12,2)=ln(12^2\cdot \sqrt{2}) \) y el menor el (1), \( U(1,1)=0=ln(1) \).

Saludos.