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Cálculo 1 variable / Re: Decreciente
« Último mensaje por Quema en Hoy a las 02:12 pm »
En este artículo que ya había preguntado anteriormente. Creo que ya habías contestado en este mensaje

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=111142.msg439438#msg439438


De todas formas, creo que se requiere que \( P(X_i=a_i)=1/a_i \) y ahí creo que no se distribuye Binomial me parece.
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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Cálculo de matriz de inercia
« Último mensaje por martiniano en Hoy a las 01:35 pm »
Hola.

Para calcular los autovalores de una matriz \[ A \] resuelve la ecuación \[ \det(A-\lambda I) =0 \]. Una vez que tengas los autovalores, para hallar los autovectores asociados a un autovalor \[ \lambda  \] resuelve el sistema  \[ A-\lambda I =0 \].

Si tienes problemas con la teoría correspondiente especifícalos todo lo que puedas.

Un saludo.
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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Cálculo de matriz de inercia
« Último mensaje por carlosbayona en Hoy a las 12:21 pm »
No sé calcular los autovalores y autovectores, en el punto 2) cómo se procede?
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Hola

Lema III: Si  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  entonces  \( 3 \)  divide al cubo que es par.   

Como  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Establezcamos,  sin perder generalidad,  basándonos en los Lemas I y II,  que \( 2 \)  divide a una variable  \( (\alpha) \)  -y-  \( 3 \)  divide a otra  \( (\gamma) \) .  Por una parte tenemos que:  \( -\alpha^3=(\beta+\gamma)((\beta+\gamma)^2-3\beta\gamma) \)  -y-  \( -\alpha^3=(\beta+\gamma)^3-3\beta\gamma(\beta+\gamma) \) .  Y por otra conocemos que módulo  \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( r^3\equiv{r} \)  para cualquiera de sus restos  \( (r) \) .  Entonces la anterior ecuación puede transformarse de la siguiente manera:  \( -\alpha^3\equiv{(\beta+\gamma)^3-3\beta\gamma(\beta+\gamma)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( -\alpha^3\equiv{(\beta+\gamma)-3\beta\gamma(\beta+\gamma)}=(\beta+\gamma)(1-3\beta\gamma) \)  \( \Rightarrow \)  \( -\alpha^3\equiv{(\beta^3+\gamma^3)(1-3\beta^3\gamma^3)} \) .  Pero partimos de  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Luego  \( \alpha^3\equiv{-(\beta^3+\gamma^3)} \) .  Y esto significa en la penúltima ecuación que  \( 1-3\beta^3\gamma^3 \)  debe ser congruente con  \( 1 \)  módulo  \( 6 \) .

La afirmación en rojo no es cierta en general. No es cierto en general que:

\( x\cdot y\equiv x  \mod 6 \quad \Rightarrow{}\quad y\equiv 1\ \mod 6 \)

Para poder afirma eso necesitas que \( x \) y \( 6 \) sean coprimos.

Por ejemplo \( 2\cdot 4\equiv 2 \) mod \( 6 \).

Saludos.
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Hola,  hago la corrección a esta versión de la demostración.  Reconozco que la redacción en conjunto es un poco densa.  Disculpas por ello.


Supongamos en el anillo de los enteros de Eisenstein  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  para  \( \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 \)  -la raíz primitiva tercera de la unidad-; la siguiente ecuación:  \( \pmb{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0} \) ,  para  \( \alpha,\beta,\gamma \)  coprimos.
 
Demostraré que existe otra suma de cubos (igual a cero) en la que  \( \lambda \)  divide menos veces al cubo que es múltiplo de  \( 3 \) ,  pudiendo repetir este procedimiento sin fin.  Para ello sólo necesitaré  \( 3 \) Lemas. 

Lema I: Si  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  entonces  \( 3^{3k} \)  divide a uno de los cubos y los otros dos serán congruentes con  \( \pm 1 \)  módulo  \( 9 \) .   

Conocemos que  \( 3=-\omega^2(\omega-1)^2 \) ,  para  \( \lambda=\omega-1 \)  primo y que las unidades de este anillo son:  \( \pm\,1\,,\,\pm\,\omega \)  -y-  \( \pm\,\omega^2 \) ,  para  \( \omega^3=1 \) .  Como  \( \alpha \) ,  por ejemplo,  es de la forma  \( a+b\omega \)  -y-  \( \omega\equiv{1} \) mod \( \lambda \) ,  entonces  \( a+b\omega\equiv{a+b} \) mod \( \lambda \) .  Luego si  \( \lambda \)  no divide á  [/tex]a+b\omega[/tex] ,  no divide á  \( a+b \) .  Supongamos que  \( \lambda \)  no divide á  \( \alpha\beta\gamma \) ;  entonces  \( 3 \)  -y-  \( 9 \)  no los dividirán.  Como  \( \alpha^3,\beta^3,\gamma^3 \)  son de la forma:  \( (a+b\omega)^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3\omega^3 \)  .  Módulo  \( 9 \) ,  podemos encontrarnos con estas dos situaciones: Que  \( a \)  ó  \( b \)  sean uno de ellos múltiplo de  \( 3 \)  ó  que  \( a\equiv{b} \) mod \( 3 \) ;  puesto que si  \( a\equiv{-b} \) mod \( 3 \) ,  entonces  \( 3 \)  dividiría á  \( a+b \)  -y- también  \( \lambda \) .  En la primera de las situaciones es obvio que  \( (a+b\omega)^3 \)  es congruente módulo  \( 9 \)  con  \( b^3 \)  ó  \( a^3 \) ,  según sea el caso.  En la segunda situación,  tendríamos que  \( (a+b\omega)^3\equiv{b^3+3b^3\omega+3b^3\omega^2+b^3\omega^3}\equiv{2b^3-3b^3}\equiv{-b^3} \) .  Luego en todos los casos  \( (a+b\omega)^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 9 \) .  De esta manera:  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \)  \( \Rightarrow \)  \( \pm 1\,\pm 1\,\pm 1\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) .  Lo que no puede ser,  por lo que  \( 9 \) ,  como mínimo -y-  \( \lambda^4 \) ,  puesto que  \( 3=-\omega^2\lambda^2 \) ,  dividirán a uno de los cubos; pongamos que á  \( \gamma^3 \) .  Pero si  \( \lambda^4\mid\gamma^3 \) ,  entonces  \( \lambda^2\mid\gamma \)  -y-,  en realidad,  es  \( \lambda^6\mid\gamma^3 \) .  Nos quedamos entonces con que  \( \lambda^{6k} \)  divide,  para  \( k\in{\mathbb{N}} \) ,   á  \( \gamma^3 \)  -y-  como  \( 27=-\lambda^6 \) ;  que  \( 3^{3k} \) ,  también lo divide.   

Lema II: Si  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  entonces como mínimo,  \( 2 \)  divide a uno de los cubos y los otros dos serán congruentes con  \( 1 \)  módulo  \( 2 \) .     

Conocemos que  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 2 \)  -y- que  \( 2 \)  es primo en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) .  Supongamos que  \( 2 \)  no divide á  \( a+b\omega \) .  Como  \( (a+b\omega)^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3\omega^3\,=\,a^3+b^3+3ab\omega(a+b\omega) \) .  Módulo  \( 2 \) ,  podemos encontrarnos con estas dos situaciones: Que  \( a \)  ó  \( b \)  sean uno de ellos pares;  en consecuencia  \( (a+b\omega)^3 \)  será congruente con  \( b^3 \)  ó  \( a^3 \) ,  según sea el caso.  Ó que los dos,  \( a,b \) ,  sean impares; pero entonces  \( (a+b\omega)^3\equiv{1+3\omega+3\omega^2+1}=-1\equiv{1} \) .  En definitiva,  en los dos casos  \( (a+b\omega)^3\equiv{1} \) mod [/tex]2[/tex] .  Y entonces tampoco podrá darse  \( \pm 1\,\pm 1\,\pm 1\equiv{0} \) mod \( 2 \) ,  para  \( \alpha \)  ó  \( \beta \)  ó  \( \gamma \)  negativos.  Por lo que concluiremos que uno de los cubos será congruente con  \( 0 \) ,  porque no pueden ser pares más que uno,  al ser éstos coprimos entre sí,  y que los otros dos serán congruentes con  \( 1 \)  módulo \( 2 \) ,  positivos o negativos ambos,  o uno positivo y otro negativo.   

Lema III: Si  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  entonces  \( 3 \)  divide al cubo que es par.   

Como  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Establezcamos,  sin perder generalidad,  basándonos en los Lemas I y II,  que \( 2 \)  divide a una variable  \( (\alpha) \)  -y-  \( 3 \)  divide a otra  \( (\gamma) \) .  Por una parte tenemos que:  \( -\alpha^3=(\beta+\gamma)((\beta+\gamma)^2-3\beta\gamma) \)  -y-  \( -\alpha^3=(\beta+\gamma)^3-3\beta\gamma(\beta+\gamma) \) .  Y por otra conocemos que módulo  \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( r^3\equiv{r} \)  para cualquiera de sus restos  \( (r) \) .  Entonces la anterior ecuación puede transformarse de la siguiente manera:  \( -\alpha^3\equiv{(\beta+\gamma)^3-3\beta\gamma(\beta+\gamma)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( -\alpha^3\equiv{(\beta+\gamma)-3\beta\gamma(\beta+\gamma)}=(\beta+\gamma)(1-3\beta\gamma) \)  \( \Rightarrow \)  \( -\alpha^3\equiv{(\beta^3+\gamma^3)(1-3\beta^3\gamma^3)} \) .  Pero partimos de  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Luego  \( \alpha^3\equiv{-(\beta^3+\gamma^3)} \) .  Y esto significa en la penúltima ecuación que  \( 1-3\beta^3\gamma^3 \)  debe ser congruente con  \( 1 \)  módulo  \( 6 \) .  Pero entonces  \( 3\beta^3\gamma^3 \)  debe ser múltiplo de  \( 6 \)  -y-  \( 2 \)  dividir á  \( \beta^3 \)  ó  \( \gamma^3 \) ,  lo que es una contradicción.  Luego la premisa es falsa y la ecuación de la que partimos sólo es posible si uno de los cubos es múltiplo a la vez de  \( 2 \)  -y-  \( 3 \) .  De esta manera  \( 2^l \) ,  para  \( l\in{\mathbb{N}} \) ,  debe dividir también a  \( \gamma \) ,  tal y como hemos quedado en el Lema I.             

En conclusión,  tenemos que  \( -2^{3l}3^{3k}\gamma`\,^3=\alpha^3+\beta^3 \) .  Y como  \( \alpha+\beta=2\sigma \) ,  para  \( \sigma \)  un entero de Eisenstein.  Puesto que como se deduce del Lema II:  \( \alpha^3\equiv{\beta^3} \) mod \( 2 \)  -y- por tanto  \( \alpha^3-\beta^3\equiv(\alpha-\beta)((\alpha-\beta)^2+3\alpha\beta)\equiv{0} \) mod \( 2 \) ;  donde para  \( \alpha-\beta=x+y\omega \)  sólo puede ser éste congruente módulo  \( 2 \)  con:  \( 1+\omega \)  ,  \( 1 \)  ,  \( \omega \)  ,  \( 0 \) .  Y si hacemos las correspondientes sustituciones:  \( (1+\omega)((1+\omega)^2+3\alpha\beta)\not\equiv{0} \)  ,   \( (1)(1+3\alpha\beta)\not\equiv{0} \)  ,   \( (\omega)(\omega^2+3\alpha\beta)\not\equiv{0} \) ;  sólo puede ser  \( \alpha-\beta\equiv{0} \) .  Entonces  \( \alpha\equiv{\beta} \) mod \( 2 \) .  Y por el mismo procedimiento, obtendremos que  \( \alpha-\beta=2\tau \) ,  para  \( \tau \)  un entero de Eisenstein.   

A partir de estas 2 ecuaciones:  \( \alpha+\beta=2\sigma \)  -y-  \( \alpha-\beta=2\tau \) ;  despejando  \( \alpha \)  -y-  \( \beta \) ,  tendremos:  \( \alpha=\sigma+\tau \)  -y-  \( \beta=\sigma-\tau \) .  Luego  \( -2^{3l}3^{3k}\gamma`\,^3=(\sigma+\tau)^3+(\sigma-\tau)^3 \)  \( \Rightarrow \)  \( -2^{3l}3^{3k}\gamma`\,^3=2\sigma(\sigma^2+3\tau^2) \) .  Si ahora divido entre  \( 3^{3k} \) ;  como  \( 3^{3k-1} \)  dividirá á  \( \sigma \) ,  obtendré que:  \( -2^{3q}\gamma`^3=2\sigma'(3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2) \) ,  para  \( \sigma'=\sigma/3^{3k-1} \) .  De esta manera,  ahora  \( 2\sigma' \)  -y-  \( 3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2 \)  serán coprimos y terceras potencias en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  por ser coprimos  \( \sigma' \)  -y-  \( \tau \) ;  el primero par y el segundo impar.         

Como  \( 3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2=(3^{3k-3/2}\sigma'+\tau i)(3^{3k-3/2}\sigma'-\tau i) \)  -y-  \( 3k-3/2=3k-2+1/2 \) .  Lo de antes es lo mismo que:  \( (3^{3k-2}\sqrt{3}\sigma'+\tau i)(3^{3k-2}\sqrt{3}\sigma'-\tau i) \) .  Y como sabemos que  \( 3=-\omega^2\lambda^2 \)  \( \Rightarrow \)  \( \sqrt{3}=i\omega\lambda \) ,  entonces tendré que  \( (3^{3k-2}\omega\lambda i\sigma'+\tau i)(3^{3k-2}\omega\lambda i\sigma'-\tau i) \)  -y- :  \( -(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau) \) .  Es decir,  tres cubos -contando  \( (-1) \)-  ,  ya que ahora  \( 3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau \)  -y-  \( 3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau \)  serán coprimos en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ;  pues de su suma y su diferencia:  \( 2\cdot 3^{3k-2}\lambda\sigma' \)  -y-  \( 2\tau \) ,  respectivamente, se deduce que el único factor común que tienen es  \( 2 \) ,  que es precisamente el que no divide á  \( 3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2 \) .       

Y ahora basta con hacer  \( (3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)+(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau)=2\sigma'3^{3k-2}\lambda\omega \) .  Pero:  \( 3^{3k-2}=(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-4} \)  \( \Rightarrow \)  \( 3^{3k-2}\lambda\omega=(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-4}\lambda\omega\,=\,(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3} \) .  Luego  \( (3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)+(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau)=(-1)^{3k-2}2\sigma'(\omega\lambda)^{6k-3} \) (1)  -y- ya me encuentro ante una suma de  \( 3 \) posibles cubos en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) .  Esto es:  \( (3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)+(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau)-(-1)^{3k-2}2\sigma'(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \)  \( \Rightarrow \)  \( \epsilon_1\alpha'\,^3+\epsilon_2\beta'\,^3-\epsilon_3\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \) ,  para  \( \epsilon_{1,2,3} \)  unidades -y- :  \( \alpha'\,^3=3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau \)  ;  \( \beta'\,^3=3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau \)  ;  \( \gamma''\,^3=2\sigma' \) .   

Además,  como teníamos  \( -2^{3q}\gamma`^3=2\sigma'(3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2) \) ;  entonces, ahora:  \( -2^{3q}\gamma`^3=-2\sigma'(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau) \) .  Es decir :  \( 2^{3q}\gamma`^3=\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3\alpha'\,^3\beta'\,^3\gamma''\,^3 \) .  Luego  \( \epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3=\epsilon^3 \) ,  puesto que el producto de unidades es otra unidad.  Y  \( \epsilon^3 \) ,  sea cual sea  \( \epsilon \) ,  es igual á  \( \pm\,1 \) (2) .   

Por otra parte,  nos encontramos también con esta congruencia -ver (1)- :  \( (3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)+(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau)\equiv{(-1)^{3k-2}2\sigma'(\omega)^{6k-3}} \) mod \( 2 \)  \( \Rightarrow \)  \( \epsilon_1\alpha'\,^3+\epsilon_2\beta'\,^3\equiv{0} \) mod \( 2 \) .  Y como  \( (a+b\omega)^3\equiv{1} \) mod \( 2 \)  si  \( 2 \)  no lo divide -Lema II- ;  entonces tendremos que  \( \epsilon_1+\epsilon_2\equiv{0} \) mod \( 2 \)  -y- solamente la suma o la resta de 2 unidades que son iguales nos puede dar cero en esta congruencia:  \( 1+1\,,\,\omega+\omega\,,\,-\omega^2-\omega^2\,,\,1-1\,,\,\omega-\omega\,,\,\,.\,.\,.\, \)  Luego concluimos que ambas unidades son las mismas.   

Nos situamos ahora con lo que tenemos:  \( \epsilon_1\alpha'\,^3+\epsilon_1\beta'\,^3-\epsilon_3\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \)  -si consideramos que  \( \epsilon_2=\epsilon_1 \)- .  Si multiplico ahora por  \( \epsilon_1^2 \) ,  será:  \( \epsilon_1^3\alpha'\,^3+\epsilon_1^3\beta'\,^3-\epsilon_1^2\epsilon_3\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \) .  Pero  \( \epsilon_1^2\epsilon_3 \)  es el equivalente a lo que sucede en (2).  Por tanto:  \( \epsilon_1^3\alpha'\,^3+\epsilon_1^3\beta'\,^3\mp\,\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \)  \( \Rightarrow \)  \( \pmb{\alpha''\,^3+\beta''\,^3+\gamma'''\,^3=0} \) ,  para  \( \alpha''\,^3=\epsilon_1^3\alpha'\,^3 \)  ;  \( \beta''\,^3=\epsilon_1^3\beta'\,^3 \)  -y-  \( \gamma'''\,^3=\mp\,\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3} \) .  Consumando así un descenso infinito,  pues ahora sólo  \( \lambda^{6k-3} \)  divide á  \( \gamma'''\,^3 \)  cuando antes era  \( \lambda^{6k} \)  el que dividía á  \( \gamma^3 \) (Lema I) .           


Un saludo, 
6
Hola

     De entre todas las soluciones a la ecuación de partida,  escogeré la solución que es múltiplo de  \( 3 \)  estrictamente menor.  Demostraré a continuación que esto no puede darse; puesto que de todo ello se deduce que existe en  \( \mathbb{Z}(\omega) \)  una suma de cubos (igual a cero) con una solución a la que  \( 3 \)  divide menos veces y que además es más pequeña que su homóloga de partida. 

OJO. Pero parece que tu partes de una solución de ENTEROS USUALES con la condición de minimalidad que indicas. Si de ahí deduces que llegas a otra solución de ENTEROS USUALES que rompe esa condición de minimalidad, es decir, más pequeña. De acuerdo, demuestras que no puede darse.

Pero si lo que llegas es a una solución de ENTEROS NO USUALES (en \( \mathbb{Z}(\omega) \) ) entonces no demuestras nada. En ese caso para que el argumento fuese válido desde el principio y en todo momento tendrías que poder reproducirlo para ENTEROS NO USUALES.

Citar
Lema II:  Si  \( a^3+b^3+c^3=0 \) ,  \( 3 \)  solamente divide a la variable que es par.   

Tenemos que  \( a^3+b^3+c^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Y por inspección comprobamos que módulo  \( 6 \)  todo número que es múltiplo de  \( 3 \)  -y- no a la vez de  \( 2 \) ,  es congruente siempre con  \( 3 \)  -y- que cuando es solamente múltiplo de  \( 2 \)  -y- no a la vez de  \( 3 \) ,  es congruente sólo con  \( 2 \)  ó  \( 4 \) .  Entonces,  sin perder generalidad,  si  \( 2 \)  divide a una variable  (\( a \))  -y-  \( 3 \)  divide a otra  (\( c \)) ,  tendremos que:  \( a^3+b^3+c^3\equiv{0} \)  \( \Rightarrow \)  \( 4+5+3=0 \) mod \( 6 \)  ó que  \( 2+1+3=0 \) mod \( 6 \) .  Por otra parte:  \( -a^3\equiv{(b+c)((b+c)^2-3bc)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( -a^3\equiv{(b+c)^3-3bc(b+c)} \) .  Y también conocemos que módulo  \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( r^3\equiv{r} \)  para cualquiera de sus restos  \( (r) \) .   De esta forma,  por el primer caso,  tendríamos que esta última ecuación es: \( -a^3\equiv{(b+c)^3-3bc(b+c)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( 2=(b+c)^3-3 \)

No veo la implicación que he marcado en rojo.

Saludos.
7
 Hola, corrijo:
   

Supongamos en el anillo de los enteros de Eisenstein  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  para  \( \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 \)  -la raíz primitiva tercera de la unidad-; la siguiente ecuación:  \( a^3+b^3+c^3=0 \) ,  para  \( a,b,c \)  enteros usuales y coprimos entre sí.   

Lema I: Si  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  para  \( \alpha,\beta,\gamma \)  enteros de Eisenstein, usuales o no, entonces  \( 3^{3k} \)  divide a uno de los cubos y los otros dos serán congruentes con  \( \pm 1 \)  módulo  \( 9 \) .   

Conocemos que  \( 3=-\omega^2(\omega-1)^2 \) ,  para  \( \lambda=\omega-1 \)  primo y que las unidades de este anillo son:  \( \pm\,1\,,\,\pm\,\omega \)  -y-  \( \pm\,\omega^2 \) ,  para  \( \omega^3=1 \) .  Como  \( \alpha \) ,  por ejemplo,  es de la forma  \( a+b\omega \)  -y-  \( \omega\equiv{1} \) mod \( \lambda \) ,  entonces  \( a+b\omega\equiv{a+b} \) mod \( \lambda \) .  Luego si  \( \lambda \)  no divide á  \( a+b\omega \) ,  no divide á  \( a+b \) .  Supongamos que  \( \lambda \)  no divide á  \( \alpha\beta\gamma \) ;  entonces  \( 3 \)  -y-  \( 9 \)  no los dividirán.  Como  \( \alpha^3,\beta^3,\gamma^3 \)  son de la forma:  \( (a+b\omega)^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3\omega^3 \)  .  Módulo  \( 9 \) ,  podemos encontrarnos con estas dos situaciones: Que  \( a \)  ó  \( b \)  sean uno de ellos múltiplo de  \( 3 \)  ó  que  \( a\equiv{b} \) mod \( 3 \) ;  puesto que si  \( a\equiv{-b} \) mod \( 3 \) ,  entonces  \( 3 \)  dividiría á  \( a+b \)  -y- también  \( \lambda \) .  En la primera de las situaciones es obvio que  \( (a+b\omega)^3 \)  es congruente módulo  \( 9 \)  con  \( b^3 \)  ó  \( a^3 \) ,  según sea el caso.  En la segunda situación,  tendríamos que  \( (a+b\omega)^3\equiv{b^3+3b^3\omega+3b^3\omega^2+b^3\omega^3}\equiv{2b^3-3b^3}\equiv{-b^3} \) .  Luego en todos los casos  \( (a+b\omega)^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 9 \) .  De esta manera:  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \)  \( \Rightarrow \)  \( \pm 1\,\pm 1\,\pm 1\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) .  Lo que no puede ser,  por lo que  \( 9 \) ,  como mínimo -y-  \( \lambda^4 \) ,  puesto que  \( 3=-\omega^2\lambda^2 \) ,  dividirán a una de los cubos; pongamos que á  \( \gamma^3 \) .  Pero si  \( \lambda^4\mid\gamma^3 \) ,  entonces  \( \lambda^2\mid\gamma \)  -y-,  en realidad,  es  \( \lambda^6\mid\gamma^3 \) .  Nos quedamos entonces con que  \( \lambda^{6k} \)  divide,  para  \( k\in{\mathbb{N}} \) ,   á  \( \gamma^3 \)  -y-  como  \( 27=-\lambda^6 \) ;  que  \( 3^{3k} \) ,  también lo divide.

Por otra parte,  si lo que tenemos es  \( a^3+b^3+c^3=0 \) ,  para  \( a,b,c \)  enteros usuales y coprimos entre sí -y-  \( 3 \)  no divide á  \( abc \) .  Entonces,  puesto que  \( (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^3=\{0,1,-1\} \) ,  tendremos que  \( a^3+b^3+c^3\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) .  Lo que no puede ser.  Por lo que puedo establecer,  sin perder generalidad,  que  \( 3^{3k} \)  divide á  \( c \) ,  en el caso que nos ocupa.   

De entre todas las soluciones a la ecuación de partida,  escogeré la solución que es múltiplo de  \( 3 \)  estrictamente menor.  Demostraré a continuación que esto no puede darse; puesto que de todo ello se deduce que existe en  \( \mathbb{Z}(\omega) \)  una suma de cubos (igual a cero) con una solución a la que  \( 3 \)  divide menos veces y que además es más pequeña que su homóloga de partida. 
 
Lema II:  Si  \( a^3+b^3+c^3=0 \) ,  \( 3 \)  solamente divide a la variable que es par.   

Tenemos que  \( a^3+b^3+c^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Y por inspección comprobamos que módulo  \( 6 \)  todo número que es múltiplo de  \( 3 \)  -y- no a la vez de  \( 2 \) ,  es congruente siempre con  \( 3 \)  -y- que cuando es solamente múltiplo de  \( 2 \)  -y- no a la vez de  \( 3 \) ,  es congruente sólo con  \( 2 \)  ó  \( 4 \) .  Entonces,  sin perder generalidad,  si  \( 2 \)  divide a una variable  (\( a \))  -y-  \( 3 \)  divide a otra  (\( c \)) ,  tendremos que:  \( a^3+b^3+c^3\equiv{0} \)  \( \Rightarrow \)  \( 4+5+3=0 \) mod \( 6 \)  ó que  \( 2+1+3=0 \) mod \( 6 \) .  Por otra parte:  \( -a^3\equiv{(b+c)((b+c)^2-3bc)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( -a^3\equiv{(b+c)^3-3bc(b+c)} \) .  Y también conocemos que módulo  \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( r^3\equiv{r} \)  para cualquiera de sus restos  \( (r) \) .   De esta forma,  por el primer caso,  tendríamos que esta última ecuación es:  \( -a^3\equiv{(b+c)^3-3bc(b+c)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( 2=(b+c)^3-3 \)  -y- que  \( (b+c)^3=5 \) .  Pero  \( (b+c)^3\equiv{b+c}=5+c \) ,  puesto que  \( b\equiv{b^3} \) mod \( 6 \) .  Ahora bien,  partimos por definición que  \( c\not\equiv{0} \) mod \( 6 \) ;  luego la congruencia no es posible.  Y por el segundo caso,  tendríamos que:  \( -a^3\equiv{(b+c)^3-3bc(b+c)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( 4=(b+c)^3-3 \)  -y- que  \( (b+c)^3=1 \) .  Pero  \( (b+c)^3\equiv{b+c}=1+c \) .  Y como  \( c\not\equiv{0} \) mod \( 6 \) ,  la congruencia tampoco puede resolverse.  Luego la premisa es falsa y la ecuación de la que partimos sólo es posible si uno de los cubos es múltiplo a la vez de  \( 2 \)  -y-  \( 3 \) .  De esta manera  \( 2^l \) ,  para  \( l\in{\mathbb{N}} \) ,  debe dividir al cubo que es múltiplo de  \( 3 \) ;  que hemos quedado que es  \( c \) .     

Así,  si  \( -c^3=a^3+b^3 \) ,  entonces   \( -2^{3l}3^{3k}c`\,^3=a^3+b^3 \)  \( \Rightarrow \)  \( -2^{3l}3^{3k}c`\,^3=(a+b)((a+b)^2-3ab) \) .  Como  \( a+b \)  -y-  \( (a+b)^2-3ab \)  son coprimos salvo por  \( 3 \) .   Si divido ahora entre  \( 3^{3k} \)  en ambos lados de la igualdad,  tendré  \( -2^{3l}c`\,^3=\left({\dfrac{a+b}{3^{3k-1}}}\right)\left({\dfrac{(a+b)^2}{3}-ab}\right) \)  -y-  \( \dfrac{a+b}{3^{3k-1}} \)  ,  \( \dfrac{(a+b)^2}{3}-ab \)  serán cubos.  Como  \( a+b \)  es par,  pues  \( a,b \)  son impares,  voy a llamarlo  \( 2u \)  para un  \( u \)  entero.  De esta forma,  el cubo  \( \dfrac{(a+b)^2}{3}-ab \)  será igual á  \( \dfrac{4u^2}{3}-ab \) .   Y si llamo  \( u'=\dfrac{u}{3^{3k-1}} \) .  Entonces  \( -2^{3l}c`\,^3=2u'\left({\dfrac{4u^2}{3}-ab}\right) \)  -y-  \( 2u' \)  será un cubo también.     

Lema III:  Si  \( 2u=a+b \) ,  existe un entero  \( v \)  tal que  \( \dfrac{4u^2}{3}-ab=\dfrac{u^2}{3}+v^2 \) . 

Tendremos que  \( v^2=\dfrac{4u^2}{3}-\dfrac{u^2}{3}-ab \)  -y-  \( v^2=u^2-ab \)  \( \Rightarrow \)  \( v^2=\dfrac{a^2+b^2+2ab}{4}-ab \)  -y-  \( v^2=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{4} \)  \( \Rightarrow \)  \( v^2=\dfrac{(a-b)^2}{4} \)  -y-  \( v=\dfrac{a-b}{2} \) . 

A partir de aquí,  será fácil llegar a otra suma de 3 cubos igual a cero. 

Sabemos pues que  \( \dfrac{u^2}{3}+v^2 \)  es un cubo.  Si lo desarrollamos:  \( \left({v+\dfrac{u}{\sqrt{-3}}}\right)\left({v-\dfrac{u}{\sqrt{-3}}}\right) \) .  Si multiplico  \( \dfrac{\sqrt{-3}}{\sqrt{-3}} \)  á  \( \dfrac{u}{\sqrt{-3}} \) ,  tendré  \( \left({v+\dfrac{u\sqrt{-3}}{-3}}\right)\left({v-\dfrac{u\sqrt{-3}}{-3}}\right) \) .   Como  \( u'=\dfrac{u}{3^{3k-1}} \) ,  entonces  \( u=3^{3k-1}u' \)  -y-  \( \dfrac{u}{3}=3^{3k-2}u' \) .  Luego:  \( \left({v-3^{3k-2}u'\sqrt{-3}}\right)\left({v+3^{3k-2}u'\sqrt{-3}}\right) \) .  Y como  \( 3=-\omega^2(\omega-1)^2 \) ,  entonces  \( \sqrt{-3}=\omega(\omega-1)=\omega^2-\omega=-2\omega-1 \) .  De esta manera: \( (v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega)(v-3^{3k-2}u'-2\cdot 3^{3k-2}u'\omega) \) .  Analicemos ahora la coprimalidad de estos dos factores.  Su suma es:  \( v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega+v-3^{3k-2}u'-2\cdot 3^{3k-2}u'\omega=2v \) .  Y su diferencia es:  \( v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega-v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega=2\cdot 3^{3k-2}u'+4\cdot 3^{3k-2}u'\omega=2u'3^{3k-2}(1+2\omega) \) .  Luego ambos factores son coprimos y terceras potencias,  pues ni  \( 3 \)  ni  \( 1+2\omega \) ,  que es una asociado de  \( \lambda=\omega-1 \) ,  dividen á  \( v \)  -y-  \( 2u'=\dfrac{a+b}{3^{3k-1}} \)  -y-  \( 2v=a-b \)  son coprimos.     

Pero fijémonos en la resta que hemos hecho:  \( (v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega)-(v-3^{3k-2}u'-2\cdot 3^{3k-2}u'\omega)=2u'3^{3k-2}(1+2\omega) \) .  Tendremos por una parte que  \( (v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega)=\epsilon_1\alpha^3 \)  -y- que  \( (v-3^{3k-2}u'-2\cdot 3^{3k-2}u'\omega)=\epsilon_2\beta^3 \) ,  para  \( \epsilon_1, \epsilon_2 \)  unidades.   Luego módulo  \( 3 \) ,  por el Lema I -ya que representan cubos no múltiplos de  \( 3 \) -  será que:  \( v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega\equiv{\pm\epsilon_1} \)  -y- que  \( v-3^{3k-2}u'-2\cdot 3^{3k-2}u'\omega\equiv{\pm\epsilon_2} \) .  Ó sea:  \( v\equiv{\pm\epsilon_1, \pm\epsilon_2} \) mod \( 3 \) .  Por lo que a la fuerza ambas unidades son  \( \pm 1 \) .  En concreto:  \( 1 \) ,  porque  \( v=\dfrac{a-b}{2} \)  -y- suponemos,  sin pérdida de generalidad,  que  \( a^3\equiv{1} \) mod \( 3 \) .  Por otra parte está  \( 2u'3^{3k-2}(1+2\omega) \) ,  que en realidad es:  \( 2u'(-\omega^{6k-4}\lambda^{6k-4})(-\omega(\omega-1))=2u'\omega^{6k-3}\lambda^{6k-3}=2u'\lambda^{6k-3} \) .  Esto es,  un cubo de unidad  \( \pm 1 \) .  Por lo tanto:  \( (v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega)-(v-3^{3k-2}u'-2\cdot 3^{3k-2}u'\omega)\mp 2u'\lambda^{6k-3}=0 \) .  Y si llamo:  \( \alpha'\,^3=v+3^{3k-2}u'+2\cdot 3^{3k-2}u'\omega \)  ;  \( \beta'\,^3=-(v-3^{3k-2}u'-2\cdot 3^{3k-2}u'\omega) \)  -y-  \( \gamma'\,^3=\mp 2u'\lambda^{6k-3} \) , ya tengo lo que buscaba:  \( \alpha'\,^3+\beta'\,^3+\gamma'\,^3=0 \) .  Donde ahora sólo  \( 3^{3k-2} \)  divide á  \( \gamma'\,^3 \)  -y-  \( |\mp 2u'|=\dfrac{a+b}{3^{3k-1}}<|-c^3| \) .


Un saludo, 
8
Cálculo 1 variable / Re: Decreciente
« Último mensaje por Luis Fuentes en Hoy a las 10:55 am »
Hola

Se puede probar analíticamente?

Pues debería... pero no acaba de salirme.

Si \( X_n \) es una binomial \( B(n+1,\dfrac{k}{n+1}) \) se tiene que:

\( f_k(n)=P(1\leq X_n\leq k) \)

Pero tampoco gano nada en principio con esa interpretación.

¿En qué contexto aparece esto?.

Saludos.
9
Teoría de la Medida - Fractales / Re: Función c.t.p
« Último mensaje por Luis Fuentes en Hoy a las 10:28 am »
Hola

Buenas aquí de nuevo.

Sea \( (\Omega, \mathscr{F}, \mu) \) un espacio de medida y sea \( f \) una función medible tal que las siguientes integrales son iguales y finitas,

\( \displaystyle\int f^2 d\mu = \displaystyle\int f^3 d\mu = \displaystyle\int f^4 d\mu  \)

Probar que \( f(x)\in \left\{{0,1}\right\} \) c.t.p    :banghead:

Ten en cuenta que si la integral de una función no negativa es nula, entonces esa función es cero en casi todo punto.

Ahora nota que:

\( \displaystyle\int (f^2-f)^2d\mu=\displaystyle\int (f^4+f^2-2f^3)d\mu \)

Aplica la hipótesis y termina...

Saludos.
10
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Cálculo de matriz de inercia
« Último mensaje por Luis Fuentes en Hoy a las 09:22 am »
Hola

Me pueden ayudar con este ejercicio? No sé sinceramente como resolverlo. Si me pueden explicar paso a paso. Lo agradezco.
Dado los puntos \(  (-2,0,-1), (0,-1,1), (2,1,-1), (0,-1,-1), (-1,0,1), (1,-2,0),  \) y \(  (0,0,3)  \) de masas respectivas \(  2,2,1,3,2,1 \) y \(  3  \)
Hallar:
1) La matriz de inercia con sus autovalores y autovectores respectivos.
2) el subespacio de dimensión 1 respecto del cual la inercia de este conjunto de puntos es máxima y el subespacio de dimensión 2 respecto del cual la inercia es mínima. Hallar en cada caso el valor de la inercia.

¿Qué has intentado? ¿Qué teoría tienes sobre el asunto? Es aplicar directamente las fórmulas.

Para la matriz de inercia:

\( I=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}m_i\|u_i\|^2\cdot Id-m_iu_i\cdot u_i^t \)

siendo \( u_i \) los puntos y \( m_i \) las masas.

Por ejemplo en tu caso el primer sumando con \( m_1=2 \) y \( u_1=(-2,0,-1) \), sería:

\( 2\cdot ((-2)^2+0^2+(-1)^2)\cdot \begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}{-2}\\{0}\\{-1}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{-2}&{0}&{-1}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}{2}&{0}&{-4}\\{0}&{10}&{0}\\{-4}&{0}&{8}\end{pmatrix} \)

Una vez calculada la matriz. ¿Sabes hallar autovalores y autovectores? En caso contrario precisa las dudas.

Saludos.
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