Hola Luis! Esperándote estaba, con todos mis respetos y mil gracias a las respuestas del resto.
Pues es que no veo que lo que me han puesto Delmar y Argentinator se parezca a mi demostración (que no digo que esté mal lo que ellos dicen, ya ves, si yo no les llego a la suela de los zapaptos). A mí me gusta la demostración que yo tengo, es sencilla y cortita, solo necesito aclarar lo que no entiendo de ella, que por otra parte no sé si es que tiene algo que esté mal.

Muchas gracias por responder. Un saludillo. Jartura oposiciones tengo ya, con perdón, jaja! 

Hola, quería preguntaros unas dudas que tengo en una demstración que tengo de la propiedad arquimediana de los números racionales.
Tengo lo siguiente:
"\( \forall{x\in{Q^+}}, y\in{Q}, \exists{n\in{N}/nx>y} \)
DEMOSTRACION: las dudas es lo que está en rojo.
Sean \( x,y\in{Q} \) primera duda: ¿no debería de partir de:\( x\in{Q^+}? \), y sea \( p\in{Z} \) la parte entera de \( \displaystyle\frac{x}{y} \).
Sea p+1=n\( \in{N} \) segunda duda: ¿Si \( p\in{Z} \) cómo es que \( p+1\in{N} \)? ¿p+1 no tiene por qué pertenecer forzosamente a N, no? también podría pertenecer a Z, porque si p es un entero negativo, por ejemplo el -2, entonces p+1 sería negativo y por tanto p+1 no sería un número natural, no?
Ahora, mi desmostración sigue así:
\( p\leq{\displaystyle\frac{x}{y}}<p+1=n\in{N} \), luego: x<ny, es decir, n·y>x
tercera duda: no sé si se podría plantear la demostración de manera que al final salga n·x>y , que es como he planteado el enunciado de la propiedad, y no, n·y>x. 

Gracias. Un saludillo.

Hola Juan Pablo, gracias por responder.
Sí, eso que has puesto lo sé. Lo que me cuesta es a partir de ahí.
Si no te importa en lugar de alfa voy a usar c porque yo aquí alfa no lo encuentro.

A partir de lo que has escrito sería: Como f(x) es continua en [a,b] entonces es continua en \( c\in{(a,b)} \).
Por otro lado, el teorema de conservación del signo dice que si f(x) es continua en un punto c, entonces el signo de f(c) es igual al signo de todo x perteneciente a un entorno de c. Y ahora se pueden dar dos casos: (Y esto es lo que me cuesta entender que no sé si lo razono bien)
a) Que f(c)<0 en cuyo caso \( \exists{x\in{(c, c+\delta)}} \) (con delta me refiero al radio del entorno de c), tal que \( x\in{A} \) y además x es mayor que c, es decir x>c. Eso significa que c no es cota superior de A, ya que hay otro valor en A, que es el x, que es mayor que c, por tanto c no puede ser cota superior de A, y por ende no es el supremo de A. Luego f(c) no puede ser menor que 0.
b)Que f(c)>0 en cuyo caso \( \exists{x\in{(c-\delta, c)}} \) (delta el radio del entorno de c) tal que  f(x)>0. Es decir, \( \exists{x\in{(c-\delta, c)}} \) que no pertenece a A y que es menor que c, x<c. En consecuencia, x es cota superior de A, y c ya no es la cota superior mínima de A, es decir, c ya no es el supremo de A porque hay otra cota superior más pequeña que c que es x. Luego f(c) no puede ser mayor que 0.

Si f(c) no puede ser mayor ni menor que cero, entonces, solo puede ser igual a cero.
 
Mis dudas vienen en que en los apartados a) y b) creo que hay errores.

Gracias. Un saludillo

Hola. Quería preguntaros cómo se puede escribir en látex fuera de este foro. Necesito poner fórmulas en New Time Roman y word me inserta las fórmulas en Cambria maths, y aunque existe una forma para cambiar a new time roman, esa forma no cambia todos los caracteres. Me han dicho que con látex no hay problema, pero no sé cómo se accede fuera de aquí. Me han dado esta página https://es.overleaf.com/project pero a mí ahí no me sale nada que se parezca a cómo escribimos aquí.

Un saludo.

Muchas gracias por contestar Luis. Soy mu pesá diciendo lo buenas que son tus respuestas pero es que no me canso de decirlo porque cuando una está sola en su casa intentando resolver una cosa y no hay manera, gastando tiempo que es escaso y su esfuerzo, eso amarga mucho, y ver este tipo de respuestas, dan la vida.

He entendido bastante tus respuestas, de hecho he entendido muchas cosas que no sabía ni por dónde coger. Pero aún me queda algún cabo suelto. A ver si termino de encajar todo el puzzle. Perdona mi insistencia.

- En primer lugar quiero saber si esto lo he interpretado bien. Es que no  quiero interpretar algo de una manera y que luego no lo sea.
Cuando en esta demostración me dices lo señalado en rojo, a ver si eso es así por la explicación que yo le he dado:... x−y=0 mod a′, es decir x e y dan mismo resto al dividir por a'. Como x,y\( \in{(0,..., a'-1)} \), entonces x,y<a' y en consecuencia: x/a' tiene resto r =x, y/a' tiene resto r=y, y por eso x=y.
No sé si esa deducción mía está bien hecha para llegar a la conclusión x=y, que veo es bastante importante para saber la condición de que dicho sistema de números sea congruente.

Efectivamente. Si:

c′−xb′=c′−yb′ mod a′

entonces:

b′(x−y)=0 mod a

es decir b′(x−y) es múltlpo de a′. Como mcd(a′,b′)=1 necesariamente x−y es múltiplo de a′, es decir, x−y=0 mod a′. Como x,y∈{0,1,…,a′−1} necesariamente x=y.

.
Es decir si x≠y los restos son distintos.

- En segundo lugar ya me he dado cuenta que él pone ese sistema de números porque le interesa. La cuestión sería, si quiero entender bien el tinglado, querría entender por qué le interesa poner esos números. Y entonces, me voy a tu siguiente cita:

Entonces igualmente podríamos escoger k en cualquier rango de a′ números consecutivos. Por ejemplo:

{c−k⋅b′|k=230,1,…,230+a′−1}

también sería un sistema completo de números incongruentes módulo [tes]a'[/tex].

- Lo primero de esta cita es que creo que quizás en lo señalado en rojo en la cita haya un error y sería:

\( c - kb' / k =230, ...., 230 + a' -1 \), es decir, el 1 no iría, se ha colao, ¿pudiera ser?

De esa forma, si a' = 6 (por ejemplo), tendríamos k= (230,231,232,233,234,235), ó también k= (20,21,22,23,24,25) ó k= (21,22,23,24,25,26) (no tendrían que ser las unidades del primer k , igual a cero, no?), es decir, la cuestión es que el número de "kas(k en plural)" que hay sea igual a a', porque de ese modo tenemos a' números incongruentes, es decir a' divisiones entre el número a'. De esta manera se asegura que estos a' números alcancen todos los restos posibles al dividirlos entre a' (después de demostrar que todos esos a' números alcanzan restos distintos al dividirlos entre a'). No sé si hay algún fallo en todo esto que digo.

- Lo segundo de esta cita sería terminar de entender por qué interesa que los k de ese sistema de números, han de ser consecutivos. Eso no sé darle explicación todavía.

- Lo tercero sería que, interesa coger el conjunto de kas más pequeño posible, porque como tengo que probar con todos esos valores de kas hasta que me salga el resto cero, si cojo kas muy grandes tendría divisiones con números muy grandes y sería peor. ¿Puede ser esa la explicación?

Lo que no he entendido muy bien es el matiz de que tienen que ser no negativos.

Jo, no sé si estoy diciendo cagadas, pero bueno, yo creo que así es como se aprenden bien las cosas.



Venga, un saludo.

Hola a todos de nuevo.

A ver si pueden ayudarme a resolver una duda para calcular la solución particular de una ecuación diofántica lineal de 2 incógnitas por el método de Euler.

Dice así: "Sea la ecuación diofántica \( ax+by=c \), con \( mcd(a,b)= d \) tal que \( d|c \). Entonces dividimos por \( d \) y pasamos a \( a'x + b'y = c' \) con \( mcd(a',b')= 1 \). Se sabe que:

\( c' - 0\cdot b' ,   c' - 1\cdot b'   , c' - 2\cdot b'  ,   \ldots  ,  c' - (a'-1)\cdot b' \) es un sistema completo de números incongruentes módulo a'. Por consiguiente, uno de ellos, y sólo uno, da resto cero al dividir entre a'  "


Ahora vienen mis dudas:

Yo sé que la ecuación \( c' = a'x + b'y \) conlleva la ecuación de congruencia: \( c'\equiv{b'y (mód\quad a')} \), y eso significa que \( c' - b'y \) ha de ser múltiplo de \( a' \), o lo que es lo mismo, \( c' - b'y \) dividido entre a' da resto \( 0 \), o lo que es lo mismo \( c' - b'y = a'·x \)

1. Duda 1: ¿Por qué \( c' - 0\cdot b' ,   c' - 1\cdot b'   , c' - 2\cdot b'  ,   \ldots  ,  c' - (a'-1)\cdot b' \)  , es un sistema completo de números incongruentes módulo a' ? ¿Por qué cada uno de esos números son precisamente incongruentes poniendo en "y" los posibles restos que se pueden obtener si divido \( c'-b'y \) entre \( a' \), es decir poniendo desde \( 0,\ldots, a'-1 \)?

2. Duda 2: Si en lo señalado en negrita dice que esos números son todos incongruentes módulo a' , ¿por qué justo después de decir eso, en la línea roja, dice que debido a eso (lo señalado en negrita) debe de haber uno de esos números que al dividirlo entre a' dé resto 0? No lo entiendo porque lo señalado en rojo significa que debe de haber un número de esos que son congruentes módulo a'. Y en lo señalado en negrita dice lo contrario.

Venga, muchas gracias. Un saludo.

Hola de nuevo.
Hoy mi preparador ha dicho que Variedades afines no son lo mismo que variedades lineales. Que variedades afines son la que específicamente pasan por el origen y que las variedades lineales son los subespacios (que son los que pasan por el origen), con lo que las variedades lineales son las que pasan por el origen.
Por esa regla de tres, en el apartado variedades lineales no debería de meter ni la definición del video de Luis, ni estas definiciones, no?:

Definición 1:Variedad lineal de un espacio vectorial V sobre K, a cualquier parte A de V que verifique: \( β\vec{u} +(1–β)\vec{v}\in{A},\forall{u,v}\in{A} , \forall{beta}\in{K} \)“.

Definición 2: "Variedad lineal engendrada por un  vector \( \vec{a}\in{V} \) y un subespacio U de V, es igual a: \( \vec{v}\in{V}/\exists{w}\in{U} con \vec{v}=\vec{a}+\vec{w} \) , siendo U la dirección de la variedad lineal"

No sé qué opináis. Un saludo, muchas gracias.

Muy buenas y muchísimas gracias por responder, Luis.
He leído la explicación y los vídeos (hechos por ti) están muy bien (también de esa forma se te pone voz, jeje). El problema es que hay muchas cosas que me faltan de base acerca de este tema:

Antes de nada decir que el contexto en el que estoy preguntado acerca de las Variedades Lineales es en un tema de mi oposición que se titula: “Espacios Vectoriales. Variedades lineales. Aplicaciones Lineales. Teoremas de isomorfía”. Este es el motivo por el que en el tema mete un apartado denominado “Variedades lineales”.

Lo primero, ¿subvariedad afín que hablas en el vídeo, es lo mismo que variedad lineal de un espacio vectorial V?

Lo segundo: Hago esa primera pregunta, porque según lo que te he leído y visto en el vídeo, creo que sí son lo mismo pero, la subvariedad afín de tu vídeo es igual a la suma de un punto P del espacio afín E asociado al espacio vectorial V y un vector \( \vec{u} \)del subespacio vectorial U de V, osea P+\( \vec{u} \). En las definiciones que yo he encontrado por otro lado (no lo que pone en mi tema de oposición), me dice:

Definición 1: “Definimos variedad lineal de un espacio vectorial V sobre K, a cualquier parte A de V que verifique: \( β\vec{u} + (1 – β)\vec{v}\in{A}  \forall{\vec{u}\vec{v}}\in{A}, \forall{β}\in{K} \)“.

Definición 2: "Variedad lineal engendrada por un \( \vec{a}\in{V} \)(o sea un vector del espacio V y no un punto P del espacio afín E asociado a V tal y como tú pones en tu vídeo) y un subespacio U de V, es igual a: \( \vec{v}\in{V}/\exists{\vec{w}\in{U}} con \vec{v} = \vec{a}+\vec{w} \), siendo U la dirección de la variedad lineal"

Con lo cual no sé si la subvariedad afín de la que hablas en el vídeo es la misma que la variedad lineal que yo he encontrado por otro lado, es decir, ¿cuál es la diferencia entre tu definición y las dos definiciones que yo he encontrado por otro lado y que te pongo aquí? Tampoco sé qué diferencia hay entre esas dos definiciones 1 y 2 que yo he puesto.

Lo tercero: No sé si estas deducciones mías son correctas: Un subespacio vectorial es una variedad lineal que pasa por el origen. El recíproco no tiene por qué ser cierto, es decir, todos los subespacios vectoriales no tienen por qué ser variedades lineales. Esto es debido a que una variedad lineal no tiene por qué pasar por el origen. En consecuencia, cualquier variedad lineal no es subespacio.

Cuarto: ¿La variedad lineal generada por la unión de subespacios \( S_1US_2 \), o sea \( \left<{S_1US_2}\right> \) , es igual al subespacio "suma de subespacios \( S_1 + S_2 \)"?
 Es decir, ¿\( \left<{S_1US_2}\right> \) = \( S_1 + S_2 \) ? (para aclararlo bien, con \( \left<{S_1US_2}\right> \) me refiero a la variedad lineal generada por la unión de subespacios)

Muchísimas gracias por responder.

Hola muy buenas.
Soy Mamen.
No sé si alguien me puede aclarar qué son las variedades lineales en los espacios vectoriales.
- En algunos textos me encuentro la generación de subespacios vectoriales a partir de operaciones de estos. Por ejemplo, me encuentro la definición de subespacios vectoriales engendrados por intersección de subespacios, unión de subespacios y suma de subespacios.

- En cambio en otros textos me encuentro la definición de variedad lineal de un espacio vectorial E sobre K como \( a·\vec{u} + (1-a)\vec{v}\in{A}
 ,  \forall{\vec{u,}\vec{v}}\in{A} ,  \forall{a}\in{K} \) y definición de variedad lineal engendrada por un vector \( \vec{a} \) de un espacio V, como un subconjunto \( L = \vec{a} + F = ({\vec{v} \in{E} /\exists{\vec{w}}\in{F}  con   \vec{v} = \vec{a}+\vec{w}}) \)  siendo F dirección de la variedad lineal. (los paréntesis serían llaves para indicar el contenido del conjunto L pero no sé por qué no me salen las llaves y he tenido que poner paréntesis para indicar dicho conjunto).
Además en este texto me dice que, en general, las variedades lineales no son subespacios vectoriales. Y estoy ya me ha descolocado del todo.

Con lo que no sé qué son las variedades lineales, si es generar subespacios o qué es.

Gracias por leerme. Un saludo.

Hola, muy buenas.
Estoy estudiando la recta de Euler y no entiendo lo que pone en mis apuntes acerca de ello. A ver si ustedes pueden explicármelo. Dice así:
" Definición: En cualquier triángulo, el ortocentro (H), el circuncentro (O) y el baricentro (G), están alineados, y a la recta que los une se le llama Recta de Euler."
Hasta ahí no tengo ninguna duda, es simplemente definir la recta de Euler.
Prosigue:
" En dicha recta, el baricentro (G) se sitúa en el segmento HO, llamado segmento de Euler, a doble distancia de H que de O.
Demostración:
Consideremos el triángulo ABC y su triángulo asociado A'B'C'. Como el primero es el triángulo mediano del segundo, la homotecia h de centro en G, baricentro de ambos triángulos, y razón -2, transforma el triángulo ABC en A'B'C'.
Ahora bien, las homotecias conservan la perpendicularidad y, por ser aplicaciones afines, también conservan los puntos medios. Asi que h transforma las mediatrices de ABC en las de A'B'C' y, por tanto, el circuncentro 0 de ABC en el de A'B'C', que es el ortocentro H de ABC.
Así, \( GH = -2 · GO \), lo que prueba el resultado.

No entiendo lo que pongo en negrita.
Que el ortocentro de ABC es el circuncentro de A'B'C' sí está claro geométricamente.

A ver si pueden ayudarme. Gracias.