Rincón Matemático

Revista, Técnicas, Cursos, Problemas => Cursos del Rincón => Mensaje iniciado por: argentinator en 26 Enero, 2010, 02:37 am

Título: Proyectos de Cursos
Publicado por: argentinator en 26 Enero, 2010, 02:37 am
En este hilo se irán colocando proyectos de cursos en preparación.

Título: Estudiar un curso de varias variables complejas
Publicado por: enloalto en 28 Febrero, 2010, 09:05 am
Hola a todos, permítanme contarles que ya termino este semestre la carrera de matemática y para mi tesis necesito estudiar varias variables complejas, mi asesor me dijo que va a trabajar con el libro ANALYTIC FUNCTIONS OF SEVERAL COMPLEX VARIABLES de Robert Gunning y Hugo Rossi, ya tengo el libro y me gustaría escribirlo en el foro, dejo en claro que no sería condiderado como un curso, pues recién lo voy a ver, sería mas bien para estudiarlo aca, lo escribo, y trato de desarrollar las demostraciones detalladamente, y de paso cuando necesite exponer a mi profesor lo imprimo de aquí, jeje  ;D ;D.

Quisiera saber si es posible.
Muchas gracias.
Saludos
Título: Re: Estudiar un curso de varias variables complejas
Publicado por: Fernando Revilla en 28 Febrero, 2010, 10:38 am
Creo que encaja con la idea de argentinator acerca de los cursos: teniendo un libro de referencia, no es necesario que el que dicta el curso lo haya estudiado previamente.

Saludos. 
Título: Re: Estudiar un curso de varias variables complejas
Publicado por: enloalto en 28 Febrero, 2010, 11:02 am
Hola Phidias, muchas gracias por tu respuesta, siendo así, empiezo.
Título: Re: Estudiar un curso de varias variables complejas
Publicado por: enloalto en 28 Febrero, 2010, 11:09 am
Bueno, como dije en el primer mensaje, voy a empezar a escribir sobre varias variables complejas. La estructura será la siguiente:
Voy a traducir como dice el libro, y después lo analizaré con detalle, si alguien más está interesado en acompañarme, bienvenido sea.

Sin más preámbulos comienzo.
Funciones Analíticas de Varias Variables Complejas

Capítulo I
Funciones Holomorfas


A. Las Propiedades Elementales de las Funciones Holomorfas

El campo de los número reales será denotado por \( \mathbb{R}^n \), y el campo de los números complejos por \( \mathbb{C} \); ambos son espacios topológicos con sus estructuras familiares. Al estudiar la teoría de funciones de varias variables complejas, estamos interesados particularmente en estudiar al espacio \( \mathbb{C}^n=\mathbb{C}\times{\ldots\mathbb{C}} \), el producto Cartesiano de \( n \) copias del plano complejo. Para los puntos de \( \mathbb{C}^n \) utilizaremos la notación \( z=(z_1,...,z_n) \), donde \( z_j=x_j+iy_j\in{\mathbb{C}} \) y \( x_j,y_j \) son números reales (e \( i \) es la raíz cuadrada de \( -1 \)). El valor absoluto de un número complejo \( z_1 \) será denotado por \( |z_1| \) , y para \( z\in{\mathbb{C}^n} \), definimos

\( |z|=\mbox{máx}\{|z_j|;1\leq{j\leq{n}}\} \).


Un polidisco abierto ( o policilindro abierto) en \( \mathbb{C}^n \) es un subconjunto \( \triangle (w;r)\subseteq{\mathbb{C}^n} \) de la forma

(1) \( \triangle (w;r)=\triangle (w_1,...,w_n;r_1,...,r_n)=\{z\in{\mathbb{C}^n};|z_j-w_j|<r_j,\quad 1\leq{j\leq{n}}\} \);

el punto \( w\in{\mathbb{C}^n} \) es llamado el centro del polidisco, y

\( r=(r_1,...,r_n)\in{\mathbb{R}^n} \),   (\( r_j>0 \)),

es llamado el poliradio. La clausura de \( \triangle (w;r) \) será llamada el polidisco cerrado con centro \( w \) y poliradio \( r \), y será denotado por \( \overline{\triangle} (w;r) \). Más generalmente, si \( D_j\subset{\mathbb{C}} \) son subdominios (subconjuntos abiertos y conexos) del plano complejo, el conjunto producto \( D=D_i \times\ldots\times{D_n}\subset{\mathbb{C}^n} \) será llamado un polidominio abierto. Un polidisco es el caso espacial en el que los conjuntos \( D_j \) son discos; similarmente, un policuadrado abierto es el caso especial en el cual los conjuntos \( D_j \) son cuadrados abiertos en el plano. Los polidiscos abiertos forman una base para la colección de conjuntos abiertos en la topología del producto Cartesiano sobre \( \mathbb{C}^n \). Considerado solamente como un espacio topológico(o como un espacio vectorial real), \( \mathbb{C}^n \) es desde luego lo mismo que \( \mathbb{R}^{2n} \), el espacio Euclidiano ordinario de dimensión \( 2n \). Así, podemos imponer sobre \( \mathbb{C}^n \) de una manera natural cualquiera de las estructuras de \( \mathbb{R}^{2n} \); por ejemplo, la medida de Lebesgue en \( \mathbb{R}^{2n} \) se convierte en una medida en \( \mathbb{C}^{n} \), la cual será denotada por \( dV \).

Una función compleja valuada \( f \) en un subconjunto \( D\subseteq{\mathbb{C}^{n}} \) es simplemente una aplicación de \( D \) en el plano complejo; el valor de la función \( f \) en el punto \( z\in{D} \) será denotado por \( f(z) \), como es usual.

1. Definición.
Una función compleja valuada, \( f \), definida en un subconjunto abierto \( D\subset{\mathbb{C}^n} \) es llamada holomorfa en \( D \) si cada punto \( w\in{D} \) tiene una vecindad abierta \( U \), con \( w\in{U\subseteq{D}} \), tal que la función \( f \) tiene una expansión en serie de potencias

(2)
\( f(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)

la cual converge para todo \( z\in{U} \). el conjunto de todas las funciones holomorfas en \( D \) será denotado por \( \mathcal{O}_D \).

Note que los polinomios en las funciones \( z_1,...,z_n \) son holomorfas en todo \( \mathbb{C}^n \). Es un resultado familiar del análisis elemental que una expansión en serie de potencias de la forma (2) es absolutamente convergente en todos los polidiscos abiertos suficientemente pequeños \( \triangle (w;r) \) centrados en el punto \( w \).

Consecuencias

(1) La función \( f \) es continua en tales polidiscos \( \triangle (w;r) \); y de aquí, cualquier función holomorfa en \( D \) es también continua en \( D \).

(2) Las series de potencias (2) pueden ser reordenadas arbitrariamente y aún así seguirán representando a la misma función \( f \). En particular, si las coordenadas \( z_1,...,z_{j-1},z_{j+1},...,z_n \) son cualesquiera valores fijos dados \( a_1,...,a_{j-1},a_{j+1},...,a_n \), entonces esta serie de potencias puede ser ordenada como una serie de potencias convergente en la variable \( z_j \) , para \( z_j \) suficientemente cerca a \( w_j \); y esto se cumple para cualquier \( a_i \) suficientemente cerca a \( w_i \). Es decir, la función \( f \) es holomorfa en cada variable por separado en todo el dominio donde es analítica; así la derivada compleja ordinaria con respecto a una de las variables \( z_j \) está bien definida, y será denotada por \( \partial /\partial z_j \). El recíproco de lo mencionado en negrita también es cierto, como como sigue.

2. Teorema.(Lema de Osgood).
Si una función compleja valuada,\( f \), es continua en un conjunto abierto \( D\subseteq{\mathbb{C}^n} \), y es holomorfa en cada variable por separado, entonces es holomorfa en \( D \).
Demostración. Elijamos cualquier punto \( w\in{D} \), y un polidisco cerrado \( \overline{\triangle}(w;r)\subset{D} \). Puesto que \( f \) es holomorfa en cada variable por separado  en una vecindad abierta de \( \overline{\triangle}(w;r) \), repitiendo la fórmula de Cauchy para funciones de una variable compleja tenemos la fórmula

(3)                           \( f(z)=\left({\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\right)^n\displaystyle\int\limits_{|w_1-\zeta_1|=r_1}^{}\displaystyle\frac{d\zeta _1}{\zeta _1-z_1}\displaystyle\int\limits_{|w_2-\zeta_2|=r_2}^{}\displaystyle\frac{d\zeta _2}{\zeta _2-z_2}\ldots\displaystyle\int\limits_{|w_n-\zeta_n|=r_n}^{}\displaystyle\frac{d\zeta _n}{\zeta _n-z_n}f(\zeta), \)

para todo \( z\in{\triangle (w;r)} \), \( \zeta=(\zeta_1,...,\zeta_n) \). Para cualquier punto fijado \( z \), el integrando en (3) es continuo en el dominio compacto de integración; de aquí, la integral iterada en (3) puede ser reemplazada por la simple integral múltiple

(4)                           \( f(z)=\left({\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\right)^n\displaystyle\int\limits_{|w_j-\zeta_j|=r_j}^{}\displaystyle\frac{f(\zeta)d\zeta _1\ldots d\zeta_n}{(\zeta _1-z_1)\ldots(\zeta _n-z_n)} \).

Pero ahora, nuevamente para un punto fijado \( z\in{\triangle (w;r)} \), la expansión en serie de potencias
\( \displaystyle\frac{1}{(\zeta _1-z_1)\ldots(\zeta _n-z_n)}=\displaystyle\sum_{v_1\ldots v_n=0}^{\infty}{\displaystyle\frac{(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-_n)^{v_n}}{(\zeta _1-w_1)^{v_1+1}\ldots (\zeta _n-w_n)^{v_n+1}}} \)

es absolutamente convergente para todos los puntos \( \zeta \) en el dominio de integración en (4); consecuetemente, después de sustituir esta expansión en (4) e intercambiando los
ordenes de sumatoria e intregración, se sigue inmediatamente que la función \( f \) tiene una expansión en serie de potencias de la forma (2), con

(5)                           \( a_{v_1\ldots v_n}=\left({\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\right)^n=\displaystyle\int\limits_{|w_j-\zeta_j|=r_j}^{}\displaystyle\frac{f(\zeta)d\zeta _1\ldots d\zeta_n}{(\zeta _1-w_1)^{v_1+1}\ldots(\zeta _n-w_n)^{v_n+1}}. \)

Por tanto, \( f \) es una función holomorfa, como se deseaba probar.
Título: Re: Estudiar un curso de varias variables complejas
Publicado por: enloalto en 28 Febrero, 2010, 07:12 pm
1. Definición.
Una función compleja valuada, \( f \), definida en un subconjunto abierto \( D\subset{\mathbb{C}^n} \) es llamada holomorfa en \( D \) si cada punto \( w\in{D} \) tiene una vecindad abierta \( U \), con \( w\in{U\subseteq{D}} \), tal que la función \( f \) tiene una expansión en serie de potencias

(2)
\( f(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)

la cual converge para todo \( z\in{U} \). el conjunto de todas las funciones holomorfas en \( D \) será denotado por \( \mathcal{O}_D \).


Recordemos que polinomio de una variable compleja \( z \) es de la forma
\( p(z)=\displaystyle\sum_{j=0}^n{a_jz^j} \)
y
un polinomio en varias variables \( z=(z_1,...,z_n) \) es de la forma
\( p(z)=p(z_1,...,z_n)=\displaystyle\sum_{v_1=0}^{m_1}\displaystyle\sum_{v_2=0}^{m_2}\ldots \displaystyle\sum_{v_n=0}^{m_n}{a_{v_1v_2...v_n}z_1^{v_1}z_2^{v_2}...z_n^{v_n}}} \)
Denotando
\( \displaystyle\sum_{v_1=0}^{m_1}\displaystyle\sum_{v_2=0}^{m_2}\ldots \displaystyle\sum_{v_n=0}^{m_n}=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{m_1m_2...m_n} \)
y
tenemos la forma
\( p(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{m_1m_2...m_n}{a_{v_1...v_n}(z)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)

También recordemos que si una función \( f \) es holomorfa en un punto \( w\in{\mathbb{C}} \), entonces su expansión en serie de potencias es
\( f(z)=\displaystyle\sum_{j=0}^{+\infty}{a_j(z-w)^j} \), para todo \( z \) en una vecindad abierta de \( w \).

De la misma manera que pasamos de un polinomio de una variable a uno de varias variables, vemos que la manera natural de definir la expansión en serie de potencias de una función de varias variables como

\( f(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)
Título: Re: Estudiar un curso de varias variables complejas
Publicado por: argentinator en 28 Febrero, 2010, 07:04 pm
Hola enloalto.

¿Has leído las instrucciones para dictar cursos o cosas similares?
Hay que pedir a un moderador que te abra un hilo en la parte de Dictado, y después armar los hilos de Organización y de Comentarios.

Me parece bien que se abra un curso de Variable Compleja, pero... ¿es lo más adecuado?
No todo tiene que convertirse en curso, y está el foro de variable compleja para responder dudas puntuales.

No sé.
Me parece que esto habría que pensarlo mejor.
Fijate que estabas con lo del libro de Lages Lima, y está medio suspendido.
¿Qué ocurre si empezamos a dejar multitud de cursos "empezados" y sin terminar?

Por una parte, enloalto, admiro las ganas que tenés de estudiar.
Pero opino que hay que pensar las cosas mejor.
Además, dentro de los "requisitos" de comenzar un curso está el de "haber reflexionado si se está en condiciones de terminarlo".

Yo por ejemplo tengo ganas de dar todos los cursos de matemáticas de la licenciatura que sean posibles.
Pero ya con los dos en que estoy, vengo muy complicado.

Bueno. Te dejo mis dudas planteadas, enloalto.

Un abrazo
Título: Re: Estudiar un curso de varias variables complejas
Publicado por: enloalto en 28 Febrero, 2010, 07:25 pm
Hola argentinator, muchas gracias por tus dudas, sí lei las indicaciones para crear un curso, pero como dije en el primer mensaje, esto no sería un curso, digamos como un borrador, de tal manera que no tiene fecha de fin, por lo que no pedí a ningún moderador que lo ponga en el post de foro, y puesto que estamos trabajando seguido con el curso de Topología, te lo hubiera pedido a ti. Pero si crees que esto debería ir en el post de variable compleja, te agradecería infinitamente que lo muevas ahí.

Respecto a lo de Curso de Análisis en \( \mathbb{R}^n \) he avanzado estos días como conversamos y no pienso dejarlo, al igual que seguiré luchando con los ejercicios de topología, puesto que aca también al inicio de las notas hablo de base

Los polidiscos abiertos forman una base para la colección de conjuntos abiertos en la topología del producto Cartesiano sobre \( \mathbb{C}^n \). Considerado solamente como un espacio topológico(o como un espacio vectorial real), \( \mathbb{C}^n \) es desde luego lo mismo que \( \mathbb{R}^{2n} \), el espacio Euclidiano ordinario de dimensión \( 2n \). Así, podemos imponer sobre \( \mathbb{C}^n \) de una manera natural cualquiera de las estructuras de \( \mathbb{R}^{2n} \); por ejemplo, la medida de Lebesgue en \( \mathbb{R}^{2n} \) se convierte en una medida en \( \mathbb{C}^{n} \), la cual será denotada por \( dV \).

y estoy "fresco" en eso.

Otra vez muchas gracias,

Por una parte, enloalto, admiro las ganas que tenés de estudiar.

Tengo que aprovechar mi juventud  ;D ;D

Saludos.
Un abrazo.
Título: Re: Estudiar un curso de varias variables complejas
Publicado por: argentinator en 28 Febrero, 2010, 07:59 pm
Bueno, es extraño eso de "un borrador de curso", jeje, pero bueno, hay que estar abierto a posibilidades nuevas que la gente del foro pueda necesitar.
Es como si "estudiaras en público", como en un "Gran Hermano" de "variable compleja".  ::)

Entre las reglas de "dictar un curso" está la de "estar seguro de su finalización", y puse esa norma porque me pareció muy importante para la salud del foro. Mi gran temor es que queden proyectos sin empezar, y deseo transmitir mi preocupación a todos los demás.

En cuanto a la posibilidad de dar un "curso" concreto de variable compleja, creo que hay que preparar o planificar un poco las cosas, y es cierto que ahora no puedo ocuparme de eso. Me gustará participar en la organización de un tal curso  ;) , aunque puede haber varios interesados más en estar como "responsables" o "colaboradores". Variable compleja es un tema que da para muchos tipos de contribuciones distintas.

Bueno, gracias por tus contribuciones al foro.
Saludos


Título: Re: Estudiar un curso de varias variables complejas
Publicado por: enloalto en 01 Marzo, 2010, 07:18 pm
Continuando la respuesta número 4.

1. Definición.
Una función compleja valuada, \( f \), definida en un subconjunto abierto \( D\subset{\mathbb{C}^n} \) es llamada holomorfa en \( D \) si cada punto \( w\in{D} \) tiene una vecindad abierta \( U \), con \( w\in{U\subseteq{D}} \), tal que la función \( f \) tiene una expansión en serie de potencias

(2)
\( f(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)

la cual converge para todo \( z\in{U} \). el conjunto de todas las funciones holomorfas en \( D \) será denotado por \( \mathcal{O}_D \).

Note que los polinomios en las funciones \( z_1,...,z_n \) son holomorfas en todo \( \mathbb{C}^n \). Es un resultado familiar del análisis elemental que una expansión en serie de potencias de la forma (2) es absolutamente convergente en todos los polidiscos abiertos suficientemente pequeños \( \triangle (w;r) \) centrados en el punto \( w \).

Tomemos primero el caso en que \( w=(0,...,0)\in{U_w} \), luego \( f(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}z_1^{v_1}\ldots z_n^{v_n}} \)

Veamos que sucede con dos variables, \( z=(z_1,z_2)\in{\mathbb{C}^2} \), así la función tiene la forma
\( f(z)=f(z_1,z_2)=\displaystyle\sum_{v_1v_2=0}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1}z_2^{v_2}} \)

Desarrollando la serie de potencias, tenemos

\( \displaystyle\sum_{v_1v_2=0}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1}z_2^{v_2}}=\displaystyle\sum_{v_1=0}^{+\infty}{\left({\displaystyle\sum_{v_2=0}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1}z_2^{v_2}}}\right)}=\displaystyle\sum_{v_2=0}^{+\infty}{\left({a_{0v_2}z_2^{v_2}}\right)}+\displaystyle\sum_{v_1\geq 1}^{+\infty}{\left({\displaystyle\sum_{v_2=0}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1}z_2^{v_2}}}\right)} \)
                 \( =a_{00}+\displaystyle\sum_{v_2\geq{1}}^{+\infty}{a_{0v_2}z_2^{v_2}}+\displaystyle\sum_{\substack{v_1\geq{1}\\v_2=0}}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1}z_2^{v_2}} \)


Ordenando la suma, obtenemos para el caso de dos variables:

\( \displaystyle\sum_{v_1v_2=0}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1}z_2^{v_2}}=a_{00}+z_1\cdot\displaystyle\sum_{\substack{v_1\geq{1}\\v_2=0}}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1-1}z_2^{v_2}}+z_2\cdot\displaystyle\sum_{v_2\geq{1}}^{+\infty}{a_{0v_2}z_2^{v_2-1}} \)

Es decir
\( f(z)=f(z_1,z_2)=a_{00}+z_1\cdot\displaystyle\sum_{\substack{v_1\geq{1}\\v_2=0}}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1-1}z_2^{v_2}}+z_2\cdot\displaystyle\sum_{v_2\geq{1}}^{+\infty}{a_{0v_2}z_2^{v_2-1}} \)

Por inducción llegamos a
\( f(z)=f(z_1,...,z_n)=a_{0...0}+z_1\cdot{\displaystyle\sum_{\substack{v_1\geq{1}\\v_2...v_n=0}}^{+\infty}{a_{v_1...v_n}z_1^{v_1-1}z_2^{v_2}...z_n^{v_n}}}+ \)

\( +z_2\cdot{\displaystyle\sum_{\substack{v_2\geq{1}\\v_3...v_n=0}}^{+\infty}{a_{0v_2...v_n}z_2^{v_2-1}z_3^{v_3}...z_n^{v_n}}}+\ldots z_n\cdot\displaystyle\sum_{v_n\geq{1}}^{+\infty}{a_{00...v_n}z_n^{v_n-1}} \)

Para el caso general
\( f(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)

Defino
\( g(u)=f(u+w)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(u_1)^{v_1}\ldots(u_n)^{v_n}}=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)
Luego

\( f(u+w)=g(u)=a_{0...0}+u_1\cdot{\displaystyle\sum_{\substack{v_1\geq{1}\\v_2...v_n=0}}^{+\infty}{a_{v_1...v_n}u_1^{v_1-1}u_2^{v_2}...u_n^{v_n}}}+ \)

\( +u_2\cdot{\displaystyle\sum_{\substack{v_2\geq{1}\\v_3...v_n=0}}^{+\infty}{a_{0v_2...v_n}u_2^{v_2-1}u_3^{v_3}...u_n^{v_n}}}+\ldots u_n\cdot\displaystyle\sum_{v_n\geq{1}}^{+\infty}{a_{00...v_n}u_n^{v_n-1}} \)

Haciendo \( u+w=z \) se tiene \( u=z-w \), luego

\( \boxed{f(z)=a_{0...0}+(z_1-w_1)\cdot{\displaystyle\sum_{\substack{v_1\geq{1}\\v_2...v_n=0}}^{+\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1-1}(z_2-w_2)^{v_2}...(z_n-w_n)^{v_n}}}+(z_2-w_2)\cdot{\displaystyle\sum_{\substack{v_2\geq{1}\\v_3...v_n=0}}^{+\infty}{a_{0v_2...v_n}(z_2-w_2)^{v_2-1}(z_3-w_3)^{v_3}...(z_n-w_n)^{v_n}}}+\ldots (z_n-w_n)\cdot\displaystyle\sum_{v_n\geq{1}}^{+\infty}{a_{00...v_n}(z_n-w_n)^{v_n-1}}} \)

Este resultado no me lleva a nada, pero me gusta y lo dejo por si acaso.
Título: Re: Estudiar un curso de varias variables complejas
Publicado por: enloalto en 17 Marzo, 2010, 06:35 am
2. Teorema.(Lema de Osgood).
Si una función compleja valuada,\( f \), es continua en un conjunto abierto \( D\subseteq{\mathbb{C}^n} \), y es holomorfa en cada variable por separado, entonces es holomorfa en \( D \).
Demostración. Elijamos cualquier punto \( w\in{D} \), y un polidisco cerrado \( \overline{\triangle}(w;r)\subset{D} \). Puesto que \( f \) es holomorfa en cada variable por separado  en una vecindad abierta de \( \overline{\triangle}(w;r) \), repitiendo la fórmula de Cauchy para funciones de una variable compleja tenemos la fórmula

(3)                           \( f(z)=\left({\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\right)^n\displaystyle\int\limits_{|w_1-\zeta_1|=r_1}^{}\displaystyle\frac{d\zeta _1}{\zeta _1-z_1}\displaystyle\int\limits_{|w_2-\zeta_2|=r_2}^{}\displaystyle\frac{d\zeta _2}{\zeta _2-z_2}\ldots\displaystyle\int\limits_{|w_n-\zeta_n|=r_n}^{}\displaystyle\frac{d\zeta _n}{\zeta _n-z_n}f(\zeta), \)

para todo \( z\in{\triangle (w;r)} \), \( \zeta=(\zeta_1,...,\zeta_n) \). Para cualquier punto fijado \( z \), el integrando en (3) es continuo en el dominio compacto de integración; de aquí, la integral iterada en (3) puede ser reemplazada por la simple integral múltiple

(4)                           \( f(z)=\left({\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\right)^n\displaystyle\int\limits_{|w_j-\zeta_j|=r_j}^{}\displaystyle\frac{f(\zeta)d\zeta _1\ldots d\zeta_n}{(\zeta _1-z_1)\ldots(\zeta _n-z_n)} \).

Esto último no comprendo, ¿a qué se refiere con integral múltiple? ¿de donde sale los índices \( j \) en la región de integración, talvez es una productoria de j desde 1 hasta n y no lo pone por simplificar la notación?

Muchas gracias por su tiempo.

Título: Re: Estudiar un curso de varias variables complejas
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Marzo, 2010, 11:03 am
Hola

 La notación si es clara. Estás integrando en el recinto:

\( \{(\zeta_1,...,\zeta_n)\in \mathbb{C}^n|\,|\zeta_j-w_j|=r_j,\,j=1,\ldots,n\} \)

 En cuanto a la definición de integral múltiple para funcione de varias variables complejas la cosa no es tan obvia; en principio las definiciones que recuerdo la encuadran en la teoría de formas diferenciales aunque supongo que también puede definirse en el contexto de teoría de la medida. ¿Qué conocimientos previos pide el libro?. Me llama la antención que un curso de análisis complejo en varias variables se use integración múltiple sin haberla definido previamente.

Saludos.
Título: Re: Estudiar un curso de varias variables complejas
Publicado por: Lemmata en 30 Marzo, 2010, 09:10 pm
Hola, aquel recinto es un toro n-dimensional, ojo que no es el borde de nadie. La integral puede cambiar por continuidad y Fubini.
Está interesante y bien difícil el curso, sigamos. Yo estoy siguiendo:  Intro. to Holomorphic Functions of Sev. Var. del mismo autor.
:banghead: ¿Lo otro es que estos libros están en formato pdf ?  Salu2.
Título: Re: Estudiar un curso de varias variables complejas
Publicado por: enloalto en 31 Marzo, 2010, 03:10 am
¿Qué conocimientos previos pide el libro?. Me llama la antención que un curso de análisis complejo en varias variables se use integración múltiple sin haberla definido previamente.
Saludos.

Hola el_manco, disculpa la demora, los prerequsitos que pide el libro son: teoría clásica de funciones de una variable compleja, álgebra y topología.

Hola, aquel recinto es un toro n-dimensional, ojo que no es el borde de nadie. La integral puede cambiar por continuidad y Fubini.
Está interesante y bien difícil el curso, sigamos. Yo estoy siguiendo:  Intro. to Holomorphic Functions of Sev. Var. del mismo autor.
:banghead: ¿Lo otro es que estos libros están en formato pdf ?  Salu2.

Hola Lemmata, muchas gracias por tu respuesta, si ya comprendí, yo tengo ese libro en djvu, he buscado y tengo "Lecture in Riemann Surfaces" también de Gunning, este que estoy utilizando es con Rossi, pero me dicen que hay uno de varias variables complejas pero solo de Gunning, ¿acaso es ese que tienes? ¿está en pdf?

Saludos.
Título: Re: Estudiar un curso de varias variables complejas
Publicado por: Lemmata en 01 Abril, 2010, 04:55 pm
Hola, yo estoy siguiendo ''Introduction to Holomorphic Functions of Several Variables, Vol I'' R. Gunning. No lo puedo encontrar en formato pdf o djvu.  Lo que veo, en principio, es que este libro trata más detalladamente el Lema de Hartog, a diferencia de Gunning-Rossi. El libro ''Lecture in Riemann Surfaces'' no lo conozco, pero ¿sirve?

salu2
Título: Re: Estudiar un curso de varias variables complejas
Publicado por: Lemmata en 13 Abril, 2010, 12:27 am
Que pasó con este curso?
Título: Re: Estudiar un curso de varias variables complejas
Publicado por: argentinator en 13 Abril, 2010, 04:07 am
Hola, como enloalto explicara alguna vez, en cierto modo este es un "proyecto de curso", una propuesta para un futuro curso.
Él se puso a estudiar el tema y a exponerlo públicamente, pero aún no es un curso.

Para que un curso inicie se requiere que haya algunas personas interesadas, como sería tu caso, y que haya dispuesto a dictarlo de principio a fin.
También puede haber más de un responsable, o bien hacer cursos más breves para asegurar su finalización, entre otras opciones.

Me parece que enloalto trataba, de paso, aclarar algunas dudas del libro que estaba usando.

Si hay interesados en este tema, háganlo saber explícitamente, para ver qué se puede hacer.

Saludos
Título: Re: Estudiar un curso de varias variables complejas
Publicado por: enloalto en 29 Abril, 2010, 06:06 am
Hola amigos, bueno volviendo con las varias variables complejas, en el lema de Osgood se llega a la fórmula integral de Cauchy en \( \mathbb C\n \)

 \( \boxed{f(z)=\left({\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\right)^n\displaystyle\int\limits_{|w_j-\zeta_j|=r_j}^{}\displaystyle\frac{f(\zeta)d\zeta _1\ldots d\zeta_n}{(\zeta _1-z_1)\ldots(\zeta _n-z_n)}} \).

Una observación importante:

En \( \mathbb C \), el teorema de la fórmula integral de Cauchy nos dice que debemos saber el comportamiento de la función en toda la frontera para saber su comportamiento en el interior del disco. En cambio, en \( \mathbb C^n \) solo debemos saber en el conjunto producto
\( \partial D_{r_1}(w_1)\times\cdots\times\partial D_{r_n}(w_n) \)
que es un subconjunto propio de la frontera del polidisco \( \partial \triangle(w;r) \), pues el primero tiene dimensión topológica \( n \) mientras que el segundo \( 2n-1 \). Esta es la primera de las ventajas que tiene \( \mathbb C^n \) sobre \( \mathbb C \).

¿Qué opinan, alguna otra observación?
Título: Re: Estudiar un curso de varias variables complejas
Publicado por: enloalto en 29 Abril, 2010, 06:13 am
Otra observación, respecto al teorema de identidad, voy a poner la versión en \( \mathbb C \)y \( \mathbb C^n \)

Esta versión es la del libro "Real and Complex Analysis" de Walter Rudín.

Si \( f \) y \( g \) son holomorfas en un dominio(abierto y conexo) \( A \) y si \( f(z)=g(z) \) para todos los \( z \) de algún conjunto que tiene un punto de acumulación en \( A \), entonces \( f(z)=g(z) \) para todo \( z\in A \)

En varias variables del Gunning.

Si \( f \) y \( g \) son holomorfas en un dominio(abierto y conexo) \( D\subset\mathbb C^n \) y si \( f(z)=g(z) \) para todos los \( z \) de algún conjunto abierto no vacío \( U\subset D \), entonces \( f(z)=g(z) \) para todo \( z\in D \)


La diferencia que veo es que en la versión de varias variables, no piden que haya un punto de acumulación, solo que sea abierto, mientras que en la de una variable sí lo hace, ¿eso sería una ventaja?

Muchas gracias.
Título: Re: Estudiar un curso de varias variables complejas
Publicado por: Luis Fuentes en 29 Abril, 2010, 09:12 am
Hola

Citar
Si \( f \) y \( g \) son holomorfas en un dominio(abierto y conexo) \( A \) y si \( f(z)=g(z) \) para todos los \( z \) de algún conjunto que tiene un punto de acumulación en \( A \), entonces \( f(z)=g(z) \) para todo \( z\in A \)

En varias variables del Gunning.

Si \( f \) y \( g \) son holomorfas en un dominio(abierto y conexo) \( D\subset\mathbb C^n \) y si \( f(z)=g(z) \) para todos los \( z \) de algún conjunto abierto no vacío \( U\subset D \), entonces \( f(z)=g(z) \) para todo \( z\in D \)


La diferencia que veo es que en la versión de varias variables, no piden que haya un punto de acumulación, solo que sea abierto, mientras que en la de una variable sí lo hace, ¿eso sería una ventaja?

No, la revés. Es más exigente el de varias variables que el de una. En el de una variable sólo pedimos que las funciones coincidan en un conjunto con un punto de acumulación (p.ej. una sucesión y su límite); en el segundo que coincida en todos los puntos de algún abierto (por supuesto todo abierto tiene un punto de acumulación).

Saludos.
Título: Propuesta de curso: Geometría Proyectiva
Publicado por: Gerard_bdn en 11 Mayo, 2010, 10:39 pm
Hola a todos,

Como ya sabrán soy nuevo por aquí pero como todo es empezar, aquí les dejo una propuesta:

En septiembre me presento a recuperación de una asignatura de 2o de matemáticas en la Universidad de Barcelona: Geometría Proyectiva.

He pensado que un buen método de estudio sería realizar el dictado del curso tomando como base mis apuntes de clase dados por el Dr. Eduardo Casas y el Dr. Gerald Welters.

El temario es el siguiente:

1. Espacio proyectivo.
1.1- El espacio proyectivo, subespacios y fórmula de Grassman.
1.2- Variedades lineales y coordenadas.
1.3- Razón doble en el espacio proyectivo.
1.4- Espacio dual en el espacio proyectivo.
1.5- Clausura proyectiva del espacio afín.
1.6- Geometría proyectiva y Geometría afín.

2. Cuádricas y polaridad
2.1- Clasificación proyectiva de cuádricas.
2.2- Clasificación y estudio afín de las cuádricas
2.3- Estructura métrica en un espacio afín, cuádrica del absoluto.

Tengo tanto teoría como problemas resueltos de la asignatura, pero claro, en el caso de que estuvieran de acuerdo con que se realizara el curso me gustaría que alguien se apuntara a ayudar con las tutorías, pues yo también tengo mis dudas en determinados apartados.

Espero que guste la idea y podamos añadir un curso más al foro.

Saludos!
Título: Propuesta de curso: Geometría Proyectiva
Publicado por: Luis Fuentes en 12 Mayo, 2010, 08:40 am
Hola

 A mi me parece genial. Es un tema que me gusta.  Yo me ofrezco, en la medida de mis posibilidades y tiempo, a ayudar con las tutorías.

Saludos.
Título: Propuesta de curso: Geometría Proyectiva
Publicado por: topo23 en 13 Mayo, 2010, 02:27 am
Yo tambien estoy interesado en el curso.

Título: Propuesta de curso: Geometría Proyectiva
Publicado por: argentinator en 13 Mayo, 2010, 03:15 am
Me apunto como alumno, y quizá como colaborador también, nunca se sabe.

Saludos
Título: Propuesta de curso: Geometría Proyectiva
Publicado por: EnRlquE en 13 Mayo, 2010, 06:09 am
Hola.

 Yo también me apunto como alumno, nunca estudié el tema y me interesaría participar en el curso.

Saludos.
Título: Propuesta de curso: Geometría Proyectiva
Publicado por: Gerard_bdn en 13 Mayo, 2010, 03:40 pm
Os comento que en cuanto a  temas de dimensiones, variedades y cuádricas lo llevo bastante bien y no me costaría mucho el tema de consultas, pero en cuanto a temas de proyectividades y ejercicios sobre el teorema de Steiner... es la parte del curso que me mata.

Saludos
Título: Propuesta de curso: Geometría Proyectiva
Publicado por: Héctor Manuel en 13 Mayo, 2010, 03:58 pm
Yo también me uno al curso. Les comento que estudié geometría proyectiva, pero me faltaron muchos tópicos (no nos alcanzó el tiempo del semestre para terminar). Así que me gustaría llevar uno aquí.

Saludos
Título: Propuesta de curso: Geometría Proyectiva
Publicado por: enloalto en 14 Mayo, 2010, 03:15 am
Yo también me uno al curso, me parece muy interesante la idea, sobre todo lo del espacio proyectivo y las variedades de Grassmann.
Título: Propuesta de curso: Geometría Proyectiva
Publicado por: topo23 en 14 Mayo, 2010, 04:16 am
Os comento que en cuanto a  temas de dimensiones, variedades y cuádricas lo llevo bastante bien y no me costaría mucho el tema de consultas, pero en cuanto a temas de proyectividades y ejercicios sobre el teorema de Steiner... es la parte del curso que me mata.

Saludos

Bueno, parte de la idea de los cursos es aprender entre todos. No es necesario ser un experto, sino tener la motivación suficiente para aprender y también difundir estos conocimientos.
Título: Propuesta de curso: Geometría Proyectiva
Publicado por: argentinator en 14 Mayo, 2010, 06:46 pm
Cuando te decidas a dar comienzo al curso me avisas, así te indico los pasos a seguir.

Saludos
Título: Propuesta de curso: Geometría Proyectiva
Publicado por: Gerard_bdn en 17 Mayo, 2010, 07:50 pm
Acabo los exámenes el dia 15 de junio, así que para entonces será cuando empiece.

Argentinator te mandaré un privado cuando vaya a empezarlo para que me indiques cómo hacerlo correctamente.

Un saludo!
Título: Propuesta de curso: Geometría Proyectiva
Publicado por: argentinator en 18 Mayo, 2010, 04:28 am
Muy bien.

También podrías postear aquí mismo algo como: "Ok, estoy listo para empezar", y seguro que lo veré rápidamente también.

Saludos
Título: Re: Estudiar un curso de varias variables complejas
Publicado por: enloalto en 20 Mayo, 2010, 05:31 am
Hola el_manco, gracias por la correción, bueno sigo con otra duda, se trata sobre la Desigualdad de Jensen en varias variables complejas, dice así:

Sea \( f \) holomorfa en una vecindad de \( \overline{\triangle}(0,r)\subset\mathbb C^n \).  Entonces
\( \log |f(0)|\leq \cfrac{1}{V_r}\displaystyle\int\limit_{\overline{\triangle}(0,r)}^{}\log |f|dV \)

En el sentido que si \( f(0)\neq 0 \), entonces \( \log |f| \) es integrable y se cumple la desigualdad, \( V_r \) es el volumen de \( \overline{\triangle}(0,r) \).

Demostración: Recordemos el caso en una variable compleja: si \( g \) es holomorfa en una vecindad de \( \overline{\triangle}(0,r)\subset\mathbb C \), entonces para \( \rho\leq r \),
\( \log |g(0)|\leq \cfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\log |g(\rho e^{i\theta})|d\theta. \)

Ahora, sea \( f \) como en la hipótesis del teorema, y supongamos que \( f(0)\neq \), como \( f \) es holomorfa, entonces es holomorfa en cada variable por separado, luego en particular en la primera, osea tomando a la función \( g(z_1)=f(z_1,a_2,...,a_n) \) y con \( \rho_1\leq r_1 \),
\( \log |f(0)|\leq \cfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\log |f(\rho_1 e^{i\theta_1},0,0,...,0)|d\theta_1. \)

Citar
La integral en el lado derecho necesariamente es convergente. Así, \( \log|f(\rho_1 e^{i\theta_1},0,...,0)| \) es finita para casi todo \( \theta_1 \), y para tal \( \theta_1 \),
repitiendo lo anterior pero ahora para la segunda variable.
\( \log |f(\rho_1 e^{i\theta_1},0,...,0)|\leq \cfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\log |f(\rho_1 e^{i\theta_1},\rho_2 e^{i\theta_2},0,...,0)|d\theta_2. \)
para \( \rho_2\leq r_2 \)....


No comprendo lo que he puesto en CITAR. Muchas gracias.
Título: Propuesta de curso: Geometría Proyectiva
Publicado por: Gerard_bdn en 20 Junio, 2010, 07:22 pm
Listo!

Espero instrucciones para comenzar con el curso!
Así que cuando me digais cómo hacerlo correctamente empezaré a postearlo.

Un saludo
Título: Propuesta de curso: Geometría Proyectiva
Publicado por: argentinator en 21 Junio, 2010, 05:26 pm
Primero que nada, tenés que tener claro cuál es el título del curso.
Tiene que ser lo más claro y exacto posible.
Fijate en los cursos que se dictan ya actualmente, que pueden servir de ejemplos...

Tenés que abir 3 hilos, los cuales conformarán el curso. Es así:

Ir a "Cursos del Rincón/Organizazión de los Cursos" y abrir estos 3 nuevos temas con los títulos:

*) "Organización del Curso: (título del curso)".
*) "Dictado del Curso: (título del curso)".
*) "Consultas y Comentarios del Curso: (título del curso)".

Cuando los termines, pedís a algún moderados que los coloque en el sector adecuado.
Por ahora, basta conque me avises a mí, así vamos más rápido.

El hilo que abras de "Dictado..." lo voy a mover a la sección de "Dictado de Cursos".
El hilo que abras de "Consultas y Comentarios..." lo voy a mover a la sección de "Conulstas y Comentarios y ejercitación de Cursos".

Una vez completado esto, podrás modificar esos mensajes a tu gusto y placer, cada vez que quieras.
Cuando necesites que un mensaje sea borrado o movido, me avisás a mí, o algún otro moderador.

Cada uno de los 3 temas que vas a abrir son a la vez el primer post de cada sección del curso.
Por lo tanto, tienen que tener información clara de cómo se participa en el curso, inscripciones, enlaces a las otras secciones, quién es el responsable del curso, qué requisitos se deben cumplir para inscribirse (o sea, conocimientos previos), etc.
Fijate en los cursos que ya están abiertos para tener una idea de qué se puede hacer.

Incluso... hasta podrías hacerlo mejor que nosotros, jeje.

Para armar los cursos con colorcitos, títulos, separadores, listas itemizadas, enlaces bien visibles, spoilers, imágenes, y demás, hay en la organización de cursos un tutorial que es un thread fijo.
Sería bueno que leas los threads fijos de la parte de Organización de Cursos para tener una idea más acabada de cómo organizar las notas del curso.

Cualquier dificultad en torno a estas cuestiones organizativas, me podés ir preguntando.
Ya he renegado bastante, y te puedo sugerir cosas, incluso algunas que aún no he implementado, pero que te pueden interesar.

Saludos
Título: Propuesta de curso: Geometría Proyectiva
Publicado por: argentinator en 21 Junio, 2010, 11:28 pm
Solamente ví el thread de "Comentarios del curso".

¿Los de Organización y Dictado los pusiste o van en camino?
Título: Propuesta de curso: Geometría Proyectiva
Publicado por: Gerard_bdn en 22 Junio, 2010, 12:05 am
Estaban en camino. Ya están los tres :)
Título: Propuesta de curso: Geometría Proyectiva
Publicado por: argentinator en 22 Junio, 2010, 12:07 am
Listo, fijate si podés editarlos sin problemas a los de Dictado y al de Comentarios.

Ya tenés 2 alumnos nuevos. Saludos!
Título: Propuesta de curso: Geometría Proyectiva
Publicado por: Gerard_bdn en 22 Junio, 2010, 12:34 am
Sin problemas! gracias por la ayuda! mañana empezaré con el tema 1 :D

un saludo!
Título: Propuesta de curso: Geometría Proyectiva
Publicado por: Luis Fuentes en 22 Junio, 2010, 08:26 am
Hola
 
 Recuerda que me ofrezco como ayudante.

Saludos.
Título: Propuesta de curso: Geometría Proyectiva
Publicado por: argentinator en 22 Junio, 2010, 05:25 pm
En ese caso sería bueno dejar indicado en el thread de Organización quiénes son colaboradores del curso.

Título: Pre-Curso: Taller de Cálculo de Límites
Publicado por: argentinator en 11 Octubre, 2010, 11:25 pm
TALLER DE CÁLCULO DE LÍMTES

Buenas.

Creo que es hora de iniciar un curso o taller sobre los temas básicos de matemática.

Aún no tengo claro cómo será el curso/cursillo/taller de cálculo de límites.

Pero estoy pensando en estas características:

* En la teoría: una introducción con las propiedades de los números reales, ya sea algebraicas o analíticas.
* Luego teoremas sobre límites de sucesiones, funciones, y también criterios de convergencia de series.
* Algunos resultados interesantes sobre números reales y sus propiedades, y lo mismo sobre límites y demás.

* En la sección de práctica, obviamente mucha ejercitación de todos los temas de la teoría.

Dado que se trata de un tema básico, mucha gente se sentirá con deseos de participar más bien enseñando que aprendiendo, así que:

* Habrá quienes se ofrezcan a colaborar en el diseño de la teoría.
* Habrá quienes se ofrezcan a colaborar en el diseño de la práctica.
* Habrá quienes se ofrezcan a colaborar en la sección de consultas y preguntas, explicando dudas sobre resolución de los ejercicios.

El método de participación sería inscribiéndose en la parte de Organización, e informando también en calidad de qué se inscribe:

* Si como estudiante del curso,
* Si como colaborador, y de qué sección (o colaborador general, si le interesa todo).

Lo único que me preocupa es que se condunda el "curso" con el subforo de "cálculo" de la sección de Universidad.

Pero la cuestión es simple: si alguien está inscripto se le responde, y si no, no, y a lo sumo se mueve su post a la sección de Cálculo o la que corresponda.

Yo me veo más bien en la parte de Organización del curso, aunque seguramente estaré metiendo la nariz un poco en todos lados.

¿Funcionará?  ::)

Saludos





Título: Re: Pre-Curso: Taller de Cálculo de Límites
Publicado por: Jabato en 12 Octubre, 2010, 12:37 am
Pues creo que ya tienes un colaborador, solo para exponer teoría sobre el tema de infinitésimos, y si acaso proponer algunos ejercicios resueltos como ejemplos. Aunque tendría que ser imagino cuando el curso esté ya algo avanzado, cuando ya estén explicados los conceptos básicos de límites de funciones.

¿Que opinas?

Saludos, Jabato. ;D
Título: Re: Pre-Curso: Taller de Cálculo de Límites
Publicado por: argentinator en 12 Octubre, 2010, 12:45 am
No creo que esto avance muy rápido.

Mi idea es ir de a poco, y que todo esté listo para el próximo semestre, cuando todo el mundo empieza a estudiar estos temas en la Universidad.

Mientras, podrías ir escribiendo por ahí tu texto de infinitésimos, y lo subís cuando te parezca bien.
Pero  claro que infinitésimos iría al final de todo.

Yo a veces escribo algunas cosas en un editor de LaTeX, y después las transformo en el formato del foro con un programita hecho en Python.
Y si no, podés usar el modo de previsualización y vas guardando por ahí lo que tenés hasta que quieras subirlo.

Hay muchas posibilidades. Podemos ir viendo a medida que algunos temas ya estén escritos.
Título: Re: Pre-Curso: Taller de Cálculo de Límites
Publicado por: Jabato en 12 Octubre, 2010, 12:54 am
Bueno, ya veremos, pero la teoría propia de los infinitésimos no da para mucho, con un solo mensaje se podría exponer toda (la definición, las propiedades y los dos ó tres teoremas que tiene), y si acaso otro para unos cuantos ejemplos de aplicación (resueltos), y poco más (alguna tabla de las equivalencias más frecuentes, por ejemplo). Ya veremos, según vaya desarrollandose el curso buscar el momento adecuado e introducir el texto en un solo mensaje. O al final si te parece mejor, como un apéndice ó anexo. Como tu prefieras.

Saludos, Jabato. ;D
Título: Re: Pre-Curso: Taller de Cálculo de Límites
Publicado por: Leo_Gutierrez en 24 Octubre, 2010, 11:58 pm
Yo me apunto.

Mi nivel es ínfimo, así que me apunto como estudiante.
Lo digo aquí porque aún no se crea el mensaje de "Organización...".

Saludos.
Título: Re: Pre-Curso: Taller de Cálculo de Límites
Publicado por: argentinator en 25 Octubre, 2010, 02:40 am
Bien Leo, estás (pre)inscripto.
El curso aún está en "proyecto".
Lo más probable es que se inicie a comienzos del año próximo.

Saludos
Título: Re: Pre-Curso: Taller de Cálculo de Límites
Publicado por: argentinator en 22 Enero, 2011, 05:43 am
Buenas.

Si bien aún falta material teórico, y no hay ejercicios  :P
el curso ya está avanzando bastante.

Al menos he puesto ya las definiciones de límite bilateral y límites laterales.

Todavía el curso no inicia,
pero ya he abierto las inscripciones.

El enlace es el siguiente:

Organización del curso de cálculo de límites (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,42303.msg168691.html#msg168691)

Cierro el presente hilo.