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Matemática => Matemáticas Generales => Mensaje iniciado por: crishchess en 12 Septiembre, 2021, 09:24 pm

Título: Dominio y continuidad de la función
Publicado por: crishchess en 12 Septiembre, 2021, 09:24 pm
Hola hace rato publique un hilo de calcular dominio y continuidad de una función pero me surge una duda con un ejercicio similar

Calcule el dominio y los intervalos don de la función es continua
\( f(x) = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3x+1}-\sqrt[]{3}}{3x-2} \)

- Calculando su dominio

Se debe cumplir que el denominador sea distinto de \( 0 \)

\( 3x-2 \neq 0 \)
\( 3x = 2  \)
\( x \neq \displaystyle\frac{2}{3} \)

Además debe cumplir que el radicando de la raíz del numerador sea mayor o igual que cero

\( 3x+1 \geq{} 0 \)
\( 3x \geq{} -1 \)
\( x \geq{} \displaystyle\frac{-1}{3} \)

Entonces el dominio es la intersección de ambas condiciones

\( Dom \; f\circ{g(x)} = [-\displaystyle\frac{1}{3} +\infty[ - \{ \displaystyle\frac{2}{3} \}  \)

- Continuidad de la función

Para ver la continuidad hay que calcular las asíntotas verticales. Del dominio se observa que hay una asíntota vertical en \( x=\displaystyle\frac{2}{3} \)

Entonces la función es continua en \( [-\displaystyle\frac{1}{3} \; \displaystyle\frac{2}{3}[ \cup{} ]\displaystyle\frac{2}{3} \; +\infty[ \)

Pero al ver la gráfica no encuentro ninguna asíntota vertical

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=117991.0;attach=23725)

Muchas gracias
Título: Re: Dominio y continuidad de la función
Publicado por: sugata en 12 Septiembre, 2021, 09:32 pm
Supuestamente tienes una asintota en \( x=3/2 \) según tus cálculos.
Sustituye este valor en el numerador a ver que pasa....
Título: Re: Dominio y continuidad de la función
Publicado por: crishchess en 12 Septiembre, 2021, 09:44 pm
Supuestamente tienes una asintota en \( x=3/2 \) según tus cálculos.
Sustituye este valor en el numerador a ver que pasa....

Ok pero la función no esta definida en \( x=\displaystyle\frac{2}{3} \) porque el denominador se hace 0. Lo que hace que sea un punto de discontinuidad pero al greficarla arroja imagen en ese punto.


Saludos



Título: Re: Dominio y continuidad de la función
Publicado por: Fernando Revilla en 12 Septiembre, 2021, 10:03 pm
Del dominio se observa que hay una asíntota vertical en \( x=\displaystyle\frac{2}{3} \)

En \( x=2/3 \) se anula el denominador, pero tambiién el numerador. Hallando \( \displaystyle\lim_{x \to 2/3}f(x) \) descubrirás que es finito. Por eso no existe asíntota vertical. Existe discontinuidad evitable, basta definir \( f(2/3)=\displaystyle\lim_{x \to 2/3}f(x) \).
Título: Re: Dominio y continuidad de la función
Publicado por: crishchess en 12 Septiembre, 2021, 10:11 pm
Del dominio se observa que hay una asíntota vertical en \( x=\displaystyle\frac{2}{3} \)

En \( x=2/3 \) se anula el denominador, pero tambiién el numerador. Hallando \( \displaystyle\lim_{x \to 2/3}f(x) \) descubrirás que es finito. Por eso no existe asíntota vertical. Existe discontinuidad evitable, basta definir \( f(2/3)=\displaystyle\lim_{x \to 2/3}f(x) \).

Vale confirme que \( f(\displaystyle\frac{2}{3})= \displaystyle\frac{0}{0} \) que corresponde a una indeterminación

Entonces como debo proceder para encontrar el dominio y la función continua. O bien debo racionalizar antes?

Saludos

Título: Re: Dominio y continuidad de la función
Publicado por: sugata en 12 Septiembre, 2021, 10:14 pm
El dominio lo tienes.
En el punto \( x=2/3 \) tendrías que hallar el límite para ver dónde se aproxima, pero aunque se aproxime, no pertenece, como bien has hallado.
Título: Re: Dominio y continuidad de la función
Publicado por: crishchess en 12 Septiembre, 2021, 10:19 pm
El dominio lo tienes.
En el punto \( x=2/3 \) tendrías que hallar el límite para ver dónde se aproxima, pero aunque se aproxime, no pertenece, como bien has hallado.

Vale entonces debo calcular el límite cuando \( x \) tienda a \( 2/3 \). Una consulta \( 2/3 \) debe acercarse por izquierda y derecha y debe darme lo mismo ?

Saludos
Título: Re: Dominio y continuidad de la función
Publicado por: Fernando Revilla en 12 Septiembre, 2021, 10:34 pm
Una consulta \( 2/3 \) debe acercarse por izquierda y derecha y debe darme lo mismo ?

A la izquierda y a la dercha de \( 2/3 \) la función está definida por la misma fórmula matemática. Entonces, para \( x\ne 2/3 \)

        \(  f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3x+1}-\sqrt[]{3}}{3x-2}= \displaystyle\frac{(\sqrt[ ]{3x+1}-\sqrt[]{3})(\sqrt[ ]{3x+1}+\sqrt[]{3})}{(3x-2)(\sqrt[ ]{3x+1}+\sqrt[]{3})}=\displaystyle\frac{3x-2}{(3x-2)(\sqrt[ ]{3x+1}+\sqrt[]{3})}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3x+1}+\sqrt[]{3}}\to \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{3}} \)

si \( x\to 2/3 \) tanto por la derecha como por la izquierda.
Título: Re: Dominio y continuidad de la función
Publicado por: crishchess en 12 Septiembre, 2021, 10:37 pm
Una consulta \( 2/3 \) debe acercarse por izquierda y derecha y debe darme lo mismo ?

A la izquierda y a la dercha de \( 2/3 \) la función está definida por la misma fórmula matemática. Entonces, para \( x\ne 2/3 \)

        \(  f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3x+1}-\sqrt[]{3}}{3x-2}= \displaystyle\frac{(\sqrt[ ]{3x+1}-\sqrt[]{3})(\sqrt[ ]{3x+1}+\sqrt[]{3})}{(3x-2)(\sqrt[ ]{3x+1}+\sqrt[]{3})}=\displaystyle\frac{3x-2}{(3x-2)(\sqrt[ ]{3x+1}+\sqrt[]{3})}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3x+1}+\sqrt[]{3}}\to \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{3}} \)

si \( x\to 2/3 \) tanto por la derecha como por la izquierda.

Gracias Fernando y Sugata por aclarar mis dudas. Ahora entiendo.


Saludos
Título: Re: Dominio y continuidad de la función
Publicado por: sugata en 12 Septiembre, 2021, 10:59 pm
Cuando en el denominador te aparezca cero y no tengas asintota, lo más fácil es que el numerador sea cero y tengas indeterminación.
Para evitar problemas, lo mejor es comprobar si cuando el edenominador es cero, el numerador también.
Habitualmente se ve, en este caso hay que mirar ya que no es tan directo.
Título: Re: Dominio y continuidad de la función
Publicado por: crishchess en 16 Septiembre, 2021, 05:28 am
Cuando en el denominador te aparezca cero y no tengas asintota, lo más fácil es que el numerador sea cero y tengas indeterminación.
Para evitar problemas, lo mejor es comprobar si cuando el edenominador es cero, el numerador también.
Habitualmente se ve, en este caso hay que mirar ya que no es tan directo.

Me quedó muy claro, nunca antes habia realizado un ejercicio así y de verdad estaba un poco confundido. Como dices tu en este caso no era tan directo y tuve que mirar la grafica para ver que algo estab haciendo mal pero no sabia que era.

Saludos