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Matemática => Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales => Mensaje iniciado por: mg en 06 Julio, 2021, 06:14 pm

Título: Conjuntos acotados
Publicado por: mg en 06 Julio, 2021, 06:14 pm
Hola,

Tengo dudas con respecto a la definición de un conjunto acotado. Según he leído, para poder estudiar la acotación, se necesita un espacio normado. De tal forma que un conjunto está acotado si y solo si existe un conjunto del espacio normado que lo mayora.

Entonces, el siguiente conjunto \( K=\left\{{\phi \in C^0([0,1]):\left\|{\phi}\right\|}_\infty=1,0\leq{}\phi(t)\leq{}1,\forall{}t\in[0,1]\right\} \), donde \( C^0([0,1]) \) denota el conjunto de las funciones continuas en \( [0,1] \) y \( \left\|{.}\right\|_\infty \) la norma del máximo.

¿Podría decir que K es un conjunto acotado porque esta mayorado por \( K'=\left\{{\phi \in C^0([0,1]):\left\|{\phi}\right\|}_\infty >1,0\leq{}\phi(t)\leq{}1,\forall{}t\in[0,1]\right\} \)?

Un saludo.
Título: Re: Conjuntos acotados
Publicado por: Luis Fuentes en 06 Julio, 2021, 06:27 pm
Hola

Tengo dudas con respecto a la definición de un conjunto acotado. Según he leído, para poder estudiar la acotación, se necesita un espacio normado. De tal forma que un conjunto está acotado si y solo si existe un conjunto del espacio normado que lo mayora.

Pero es más sencillo que eso. Un conjunto está acotado si la norma de todos sus elementos está acotada. Es decir \( A \) acotado si existe \( M>0 \) tal que \( \|a\|\leq M \) para todo \( a\in A \).

Citar
Entonces, el siguiente conjunto \( K=\left\{{\phi \in C^0([0,1]):\left\|{\phi}\right\|}_\infty=1,0\leq{}\phi(t)\leq{}1,\forall{}t\in[0,1]\right\} \), donde \( C^0([0,1]) \) denota el conjunto de las funciones continuas en \( [0,1] \) y \( \left\|{.}\right\|_\infty \) la norma del máximo.

¿Podría decir que K es un conjunto acotado porque esta mayorado por \( K'=\left\{{\phi \in C^0([0,1]):\left\|{\phi}\right\|}_\infty >1,0\leq{}\phi(t)\leq{}1,\forall{}t\in[0,1]\right\} \)?

Entonces \( K \) es acotado porque por su propia definición la norma de todos sus elementos es uno (está acotada entonces por uno).

Saludos.
Título: Re: Conjuntos acotados
Publicado por: mg en 06 Julio, 2021, 06:39 pm
Okey, queda claro. Muchas gracias. Un saludo.