Autor Tema: Variable aleatoria continua

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17 Octubre, 2021, 09:20 pm
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mifg

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Hola alguien me podria ayudar con este ejercicio

Sea \( X \) una variable aleatoria con función de densidad:

\( f(x)=\begin{cases}{\dfrac{1}{4}x}&\text{si}& 0\leq x\leq 2\\0 & \text{si}& x<0\textsf{ ó }x>2\end{cases} \)

a) Comprobar que se trata de una verdadera función de densidad.
b) Calcular \( P(1<X\leq 3/2) \).
c) Calcular la media de la función de densidad.
d) Calcular la varianza y la desviación típica de la función de densidad.
e) Calcular la función de distribución de \( X \), \( F(x) \).

Mensaje corregido desde la administación.

17 Octubre, 2021, 09:55 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 En particular no debes de poner enunciados en imágenes sino teclear directamente el texto en el mensaje, usando LaTeX para las fórmulas. Los adjuntos se reservan para gráficos complementarios del texto.

 Además es bueno que indiques que has intentado y que dificultades concretas encuentras.

Hola alguien me podria ayudar con este ejercicio

Sea \( X \) una variable aleatoria con función de densidad:

\( f(x)=\begin{cases}{\dfrac{1}{4}x}&\text{si}& 0\leq x\leq 2\\0 & \text{si}& x<0\textsf{ ó }x>2\end{cases} \)

Prácticamente todos los apartados se responden usando directamente las definiciones de los conceptos implicados. Así que creo que deberías de repasar la teoría.

Citar
a) Comprobar que se trata de una verdadera función de densidad.

Tienes que comprobar que \( f(x)\geq 0 \) en todo punto y que \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)=1. \) Para la integral ten en cuenta que sólo es necesario que integres en el intervalo donde la función es no nula:

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\color{red}dx\color{black}=\displaystyle\int_{0}^{2}f(x\color{red})dx\color{black} \)

Citar
b) Calcular \( P(1<X\leq 3/2) \).

Por definición:

\( P(1<X\leq 3/2)=\displaystyle\int_{1}^{3/2}f(x)dx \).

Citar
c) Calcular la media de la función de densidad.

Por definición:

\( E(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx \).

Citar
d) Calcular la varianza y la desviación típica de la función de densidad.

Por definición:

\( Var(X)=E(X^2)-E(X)^2 \)

donde:

\( E(X^2)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx \).

La desviación típica es la raíz de la varianza.

Citar
e) Calcular la función de distribución de \( X \), \( F(x) \).

Por definición:

\( F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x}f(t)dt \).

Saludos.

P.D. Has preguntado otro ejercicio de nuevo sin teclear el texto en el mensaje. Además es casi idéntico a este. Te lo he borrado. Si quieres preguntar sobre él vuelve a abrir un nuevo hilo, poniendo el enunciado del ejercicio y detallando que dudas concretas te surgen.

CORREGIDO (gracias manooooh)

18 Octubre, 2021, 02:46 am
Respuesta #2

manooooh

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Hola

Tienes que comprobar que \( f(x)\geq 0 \) en todo punto y que \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)=1. \) Para la integral ten en cuenta que sólo es necesario que integres en el intervalo donde la función es no nula:

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)=\displaystyle\int_{0}^{2}f(x \)

Sólo mencionar algunas pequeñas erratas que falta el diferencial \( x \).

Saludos

18 Octubre, 2021, 08:41 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Tal como mencionaste en el otro ejercicio utilicé las fórmulas correspondientes para cada alternativa y los resultados que obtuve fueron los siguientes

Con la función \( f(x)=\begin{cases}{\dfrac{1}{2}\color{red}x\color{black}}&\text{si}& 0\leq x\leq 2\\0 & \text{si}& x<0\textsf{ ó }x>2\end{cases} \)

 Tienes un pequeño lío. No se si pretendes resolver el problema de este hilo o el de este otro (si pretendías resolver el otro, ¿por qué has contestado en este hilo?.)

 Si donde has puesto \( \dfrac{1}{2}x \) pones sólo \( \dfrac{1}{2} \) sería el otro ejercicio y si pones \( \dfrac{1}{4}x \) sería este ejercicio.

 Pero con \( \dfrac{1}{2}x \) eso NO es función de densidad.

 Y tu has liado la cosa...

 Pero parece que has mezclado las dos funciones de densidad.

Citar
a ) La función si corresponde a una variable aleatoria continua
\( \displaystyle \int_{0}^{2} 0.5 \, dx \)

Luego integre y evalué los límites
\( \dfrac{2^2}{4} \) - \( \dfrac{0^2}{4} \)

Obteniendo
\( \dfrac{4}{4} \) = 1

Aquí has usado \( \dfrac{1}{2} \) en lugar de \( \dfrac{1}{2}x \) y por eso te sale bien. Correspondería a este ejercicio:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=118434.msg476157#msg476157

Citar
b)
\( \displaystyle \int_{1}^{1.5} 0.5 \, x dx \)

\( \dfrac{1}{2} \) \( \displaystyle \int_{1}^{1.5} x \, dx \)

\( \dfrac{1}{2} \) * \( \dfrac{x^2}{2} \)

\( \dfrac{x^2}{4} \)

Se evaluaron lo límites
\( \dfrac{1.5^2}{4} \) - \( \dfrac{1^2}{4} \)

\( \dfrac{9}{16} \) - \( \dfrac{1}{4} \)

\( \dfrac{5}{16} \)

Esto está mal, porque ahí le metes la \( x \).

Citar
c) Media

\( \displaystyle \int_{-\infty}^{0} x * 0 \, dx \) + \( \displaystyle \int_{0}^{2} x * 0.5 \, dx \) + \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} x* 0 \, dx \)

Aquí en un primer momento parece que no usas la \( x \), pero luego...

Citar
0 + 0.5 \( \displaystyle \int_{0}^{2} x^2 \, dx \) + 0

con ese \( x^2 \) parece que si la has usado. ¡MAL!.

Citar
d) Varianza

\( \displaystyle \int_{-\infty}^{0} x^2 * 0 \, dx \) + \( \displaystyle \int_{0}^{2} x^2  * 0.5 \, dx \) + \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^2  * 0 \, dx \) - \( \dfrac{4^2 }{3^2 } \)

0 + 0.5 \( \displaystyle \int_{0}^{2} x^3 \, dx \) + 0 - \( \dfrac{16}{9} \)

IDEM.

Citar
e)
X < 0 : F(X) = 0

0 ≤ X ≤ 2
\( \displaystyle \int_{0}^{x} 0.5 \, u du \)

\( \dfrac{1}{2} \) * \( \dfrac{x^2}{2} \)

\( \dfrac{x^2}{4} \)

Lo mismo.

Saludos.