[Héctor Manuel]

Qué tal amigos del foro.   Esta vez les traigo de nuevo algunos problemas de probabilidad, esperando me puedan ayudar. 
En general si le entiendo, pero todavia me hace falta practicar con esto.

1)suponiendo que la f.p. conjunta de X e Y viene dada por

\( f(x,y)=
\begin{Bmatrix}
\frac{21}{2}x^2y & \mbox{ si }& x^2\leq{y\leq{1}}\\
0 & \mbox{ \quad si no}&
\end{matrix} \)

encontrar \( P(X\geq{Y}) \).
SOLUCION:  Lo que hago es plantear
\( P(X\geq{Y})=P((X,Y)\in{D})=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{x^2}^{x}\displaystyle\frac{21}{2}x^2ydydx=\displaystyle\frac{7}{36} \) donde \( D=\left\{{(x,y)l x^2\leq{y}\leq{1},0\leq{x\leq{1}}}\right\} \)
¿es correcto?

2)cada estudiante de una escuela fue clasificado de acuerdo con su curso escolar (primero, segundo, tercero y cuarto) y de acuerdo con el numero de veces que ha visitado un cierto museo (nunca, una vez o mas de una vez).  las proporciones fueron

                        nunca       una vez      mas de una vez 
primer curso         0.08           0.10                0.04
segundo curso      0.04           0.10                0.04
tercer curso         0.04           0.20                0.09
cuarto curso         0.02          0.15                 0.10

a)si un estudiante que se selecciona al azar esta en cuarto, ¿cual es la probabilidad de que nunca haya visitado el museo?
b)si un estudiante que se selecciona al azar ha visitado el museo tres veces, ¿cual es la probabilidad de que este en ultimo curso?
de este problema les agradeceria que me pudieran enviar una explicacion lo mas detallada posible de la solucion.

3)sean X,Y var.ale.continuas con funcion de distribucion conjunta dada por \( f(x,y)=a^2e^{ay} \) si \( 0\leq{x}\leq{y} \)  y f(x,y)=0 en otro caso.   Encontrar las marginales de X y Y y la densdidad conjunta de X y Y 

4) sean X,Y con distribucion uniforme en (0,1).     calcular \( P(Y\geq{X}/Y\geq{0.5}) \)

GRACIAS POR SU AYUDA. saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 1) Está bien planteado aunque escribiste mal \( D \). Sería:

\(  D=\{(x,y)| x^2\leq y\leq x,\quad 0\leq x\leq 1\} \)

 En cualquier caso la integral la escribiste bien. Las cuentas no las he comprobado.

 2) Utilizado la notación:

 \( P(A|B)= \)probabilidad del suceso A condicionado al suceso B.

a) \( P(nunca|cuarto)=\displaystyle\frac{P(nunca\cap cuarto)}{P(cuarto)}=\displaystyle\frac{0.02}{0.02+0.15+0.10} \)

 b) \( P(cuarto|mas)=\displaystyle\frac{P(cuarto\cap mas)}{p(mas)}=\displaystyle\frac{0.10}{0.04+0.04+0.09+0.10} \)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 3) En el (3) la \( f(x,y) \) que has dado no puede ser una función de distribución (piensa porqué). O está mal puesta o quizá te referías a la función de densidad.

 4) La función de densidad conjunta es uniforme en \( (0,1)\times (0,1) \) luego vale:

 \( f(x,y)=1 \) en \( (x,y)\in (0,1)\times (0,1) \)
 \( f(x,y)=0 \) en el resto.

 Entonces:

\(  P(Y\geq X|Y\leq 0.5)=\displaystyle\frac{P(0.5\geq Y\geq X)}{P(Y\leq 0.5)}=\displaystyle\frac{\displaystyle\int_{0}^{0.5}\displaystyle\int_{x}^{0.5}dydx}{\displaystyle\int_{0}^{0.5}dy} \)

Saludos.