Autor Tema: ¿ES INCONSISTENTE LA TEORÍA MODAL DE CONJUNTOS DE LINNEBO?

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18 Septiembre, 2017, 04:24 pm
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LauLuna

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NOTA. Perdonad que no use Latex: no he encontrado los símbolos ni para los operadores modales ni para la relación de pertenencia a pluralidades: ‘c es uno de los xx’.

Oysten Linnebo en su artículo The Potential Hierarchy of Sets, 2013,
(https://www.cambridge.org/core/journals/review-of-symbolic-logic/article/the-potential-hierarchy-of-sets/334647199574BFA9ADBCEFE379CDDB14)
presenta una teoría modal de conjuntos.

El lenguaje de la teoría es complejo porque incluye la lógica de primer orden con identidad más la relación conjuntista de pertenencia más los operadores modales (pos, nec) más variables y cuantificadores plurales (xx, Exx, (xx)).

La lógica subyacente es la lógica de primer orden ampliada con las reglas de inferencia habituales para los cuantificadores plurales (completamente análogas a las de los cuantificadores ordinarios). Se añade la regla de Necesitación propia de los sistemas modales: de 'p', infiere 'necesariamente p'.

Los axiomas son los del sistema modal S4.2 (K, T, 4, .2) más algunos que se refieren a pluralidades y a conjuntos, entre ellos este esquema axiomático:

(P-Comp)  Exx (y) [y es uno de los xx syss phi(y)]

donde ‘E’ es el cuantificador existencial, ‘()’ el universal y ‘syss’ está por ‘si y solo si’. P-Comp dice pues: para cualquier fórmula phi(y) -en la que ‘y’ está libre y ‘xx’ no- existen los objetos (es decir, los conjuntos) que la satisfacen.

Y este axioma que relaciona pluralidades con conjuntos:

(C) nec (xx) pos Ey nec (z) [z en y syss z es uno de los xx]

donde ‘nec’ está por ‘necesariamente’ y ‘pos’ por ‘posiblemente’. Dado que Linnebo interpreta los operadores modales como referidos a los estadios o niveles del universo conjuntista (la “jerarquía acumulativa”). C pretende decir:

para cualquier pluralidad xx en cualquier nivel alfa, existe un conjunto y en algún nivel beta, accesible desde alfa, tal que, para todo conjunto z en cualquier nivel accesible desde beta, z es elemento de y syss si z es uno de los xx.

Es decir, dada una pluralidad xx cualquiera en cualquier nivel del universo conjuntista, el universo conjuntista contiene en algún nivel el conjunto que tiene como elementos exactamente los xx en todos los niveles que siguen.

Parece claro que {P-Comp, C} es inconsistente en el sistema de Linnebo porque P-Comp nos permite obtener la pluralidad rr de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos: basta con hacer que phi(y) sea ‘y no en y’; entonces aplicando C obtenemos que en algún nivel existe el conjunto R de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos, lo que da lugar a la paradoja de Russell. Esbozo una demostración.

Instanciando el existencial a favor de rr en una instancia de P-Comp (con phi(y) = y no en y), obtenemos:

1. (x) [x es uno de los rr syss x no en x]

Instanciando el universal en C a favor de rr: 

2. nec pos Ey nec (z) [z en y syss z es uno de los rr].

O sea, por 1:

3. nec pos Ey nec (z) [z en y syss z no en z].

Aplicando el axioma T (nec p -> p) a 3: 

4. pos Ey nec (z) [z en y syss z no en z]

Instanciando el existencial en 4 a favor de R:     

5. pos nec (z) [z en R syss z no en z]

Pero, en contradicción con 5, ‘nec (z) [z en R syss z no en z]’ no es posible porque, a través de T, llevaría a ‘(z) [z en R syss z no en z]’ y esto a su vez a la paradoja de Russell. //

Conjeturo que Linnebo pretende leer C de esta manera:

“dados un nivel cualquiera y una pluralidad cualquiera de conjuntos QUE EXISTEN EN ESE NIVEL, se puede construir el conjunto correspondiente en el nivel siguiente”,

de modo que, como los elementos de R, no están todos en ningún nivel, C no permite construir el conjunto R. Es decir, pretende que P-Comp y C actúen en cada nivel de la jerarquía acumulativa, no a través de todos los niveles. Sin embargo, como he mostrado, P-Comp y C no actúan así dentro del sistema de Linnebo, fundamentalmente porque P-Comp no es modal y porque el axioma T nos permite eliminar el operador de necesidad de C.

No he encontrado en la literatura mención alguna a la posible inconsistencia del sistema de Linnebo. Por tanto: ¿EN QUÉ ME EQUIVOCO?