Autor Tema: Sobre la demostración formalizada

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14 Agosto, 2017, 12:53 am
Respuesta #10

alexpglez

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Decir que "D es una demostración de A en T" es recursiva equivale a decir que si yo te doy una D, tú puedes saber si es o no una demostración de A en T.

Pues bien, yo te doy una D. Tú la miras y extraes de ella el conjunto \( \Gamma \) de fórmulas que no se deducen de las anteriores ni son axiomas lógicos, y con ello puedes concluir que D es una demostración de A a partir de \( \Gamma \), pero no sabes si es una demostración de A en T porque no tienes ni idea de si las fórmulas de \( \Gamma \) son o no axiomas de T.

Tú estás partiendo del supuesto de que las fórmulas con las que no sabes que hacer serán axiomas de T, y eso es verdad si realmente te he dado una demostración en T, pero ¿y si lo que te he dado no es una demostración en T?

Por eso te preguntaba que cómo relacionas el hecho de que A se deduzca de \( \Gamma \) con el hecho de que se deduzca de T.

Dicho de otro modo, tú presupones que D es una demostración en T, pero tienes que partir de una D arbitraria, que no sabes si es o si no es una demostración en T.

Un caso más simple: yo te doy simplemente la fórmula A, de modo que puede ser que sea una demostración en T porque A sea un axioma, o puede ser que te esté intentando colar algo que no es realmente una demostración en T.

El caso es que te doy A y tú concluyes que \( \Gamma = \{A\} \). ¿Y ahora qué? ¿A es o no es un teorema de T? Si me dices que sí, entonces tendrás que decirme que sí te dé la fórmula que te dé, y si me dices que no ¿por qué no?
:banghead: :banghead:
Veo que entonces que una implicación la hacía sin pensar mucho, (más bien pensando demasiado, que también se pierde la claridad en el razocinio)...

Cambiando de tema. Tengo una última pregunta, si no admitimos la existencia del modelo natural, ¿todo sobre demostraciones formalizadas incluidos los teoremas de completitud de Gödel no son necesariamente ciertos?, en tu libro mencionas que algunos logicistas cuestionan la existencia del modelo natural (cuando explicabas que toda teoría que admita un modelo es consistente, y que AP es consistente porque tiene el modelo natural)...

14 Agosto, 2017, 01:08 am
Respuesta #11

Carlos Ivorra

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Cambiando de tema. Tengo una última pregunta, si no admitimos la existencia del modelo natural, ¿todo sobre demostraciones formalizadas incluidos los teoremas de completitud de Gödel no son necesariamente ciertos?, en tu libro mencionas que algunos logicistas cuestionan la existencia del modelo natural (cuando explicabas que toda teoría que admita un modelo es consistente, y que AP es consistente porque tiene el modelo natural)...

La demostración de los teoremas de incompletitud es constructiva, en el sentido de que te da un procedimiento explícito para, dada una demostración o una refutación de la fórmula de Gödel, obtener una demostración de una contradicción en la teoría. Es decir, puedes programar un ordenador para que si le das una demostración de G o de no G, él te devuelve la demostración de una contradicción. Por lo tanto, si la teoría en cuestión es consistente, es incompleta.

Igualmente, si le das al ordenador una demostración de una prueba en T de la consistencia de T, él te devuelve la prueba de una contradicción en T.

Muy radical tendría que ser alguien para negar que esto es concluyente.

La cosa es distinta si hablamos del teorema de completitud o de la consistencia de la aritmética de Peano basada en la existencia del modelo natural. Ahí puedes encontrarte escépticos que pongan objeciones. En cualquier caso, todo el mundo aceptará tales argumentos en calidad de teoremas de la teoría de conjuntos.

14 Agosto, 2017, 02:50 pm
Respuesta #12

alexpglez

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Comprendo que la prueba seguiría valiendo.

Muchas gracias por la ayuda, al final puedo entender del todo la formalización matemática de la lógica.

Saludos