Autor Tema: Problema de Conteo

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

13 Julio, 2017, 04:40 pm
Leído 1989 veces

kike0001

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 386
  • País: co
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • asdrumath
Buen dia a todos los compañeros del foro; El problema dice: Tenemos un grupo de 3 niños, 2 niñas y 1 adulto. ¿De cuántas formas se pueden organizar en una fila de modo que no haya dos niños o dos niñas seguidos?

Mi solución: Aplicando el principio de inclusión-exclusión

\( 6!-\left( \displaystyle\binom{3}{2} \cdot{5!}\cdot{2!}+5!\cdot{2!}-\displaystyle\binom{3}{2}\cdot{2!}\cdot{2!}\cdot{4!}\right)=48   \)

Agradezco si alguien puede confirmar si mi respuesta es correcta o si por el contrario hay algún error

saludos

שְׁמַ֖ע  יִשְׂרָאֵ֑ל  יְהוָ֥ה  אֱלֹהֵ֖ינוּ  יְהוָ֥ה  אֶחָֽד

http://www.asdrumath.com

14 Julio, 2017, 07:08 am
Respuesta #1

delmar

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,930
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

El resultado, la fila se puede considerar como una sexta ordenada, hay 8 moldes que cumplen las condiciones, por ejemplo (NIÑO, niña, NIÑO,niña,NIÑO, adulto), (NIÑO,adulto,NIÑO,niña,NIÑO,niña) ...y para cada molde hay 12 sextas ordenadas posibles, por ejemplo para el primer molde \( 3(2)(2)(1)(1)(1)=12 \), luego en total habrán \( 12(8)=96 \) formas posibles y 8 moldes.

Saludos

Nota : Tengo poco tiempo, por eso el desarrollo tan breve

14 Julio, 2017, 03:44 pm
Respuesta #2

kike0001

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 386
  • País: co
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • asdrumath
Hola delmar

Hola

El resultado, la fila se puede considerar como una sexta ordenada, hay 8 moldes que cumplen las condiciones, por ejemplo (NIÑO, niña, NIÑO,niña,NIÑO, adulto), (NIÑO,adulto,NIÑO,niña,NIÑO,niña) ...y para cada molde hay 12 sextas ordenadas posibles, por ejemplo para el primer molde \( 3(2)(2)(1)(1)(1)=12 \), luego en total habrán \( 12(8)=96 \) formas posibles y 8 moldes.

Saludos

Nota : Tengo poco tiempo, por eso el desarrollo tan breve

gracias por su respuesta, efectivamente haciendo el conteo de forma directa da 96, debería ser equivalente hacerlo por el complemento aplicando inclusión- exclusión, pero no veo en que me equivoque.

saludos
שְׁמַ֖ע  יִשְׂרָאֵ֑ל  יְהוָ֥ה  אֱלֹהֵ֖ינוּ  יְהוָ֥ה  אֶחָֽד

http://www.asdrumath.com

17 Julio, 2017, 09:41 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 51,772
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

El resultado, la fila se puede considerar como una sexta ordenada, hay 8 moldes que cumplen las condiciones, por ejemplo (NIÑO, niña, NIÑO,niña,NIÑO, adulto), (NIÑO,adulto,NIÑO,niña,NIÑO,niña) ...y para cada molde hay 12 sextas ordenadas posibles, por ejemplo para el primer molde \( 3(2)(2)(1)(1)(1)=12 \), luego en total habrán \( 12(8)=96 \) formas posibles y 8 moldes.

Hay más. Llamando H=niño, M=niña, A=adulto:

AHMHMH,HAMHMH,HMAHMH,HMHAMH,HMHMAH,HMHMHA
MHAHMH,HAHMHM,MHMHAH,HMHAHM

Es decir, 10 "moldes". Quedan por tanto:

\( 10\cdot 3!2!=120 \).

gracias por su respuesta, efectivamente haciendo el conteo de forma directa da 96, debería ser equivalente hacerlo por el complemento aplicando inclusión- exclusión, pero no veo en que me equivoque.

No has contado bien las opciones con niños juntos y niñas juntos.

- Contamos las distribuciones con dos o más niños juntos. Tenemos \( 3\cdot 2 \) opciones para elegir (por el orden en que aparezcan) los dos niños juntos que forman así un sólo bloque. Después \( 5! \) para reordenar los \( 5 \) elementos (1 niño, 2 niñas, 1 adulto y un bloque de 2 niños). Pero cuidado así contamos dos veces los casos en los que tres niños aparecen juntos. Estos son \( 3!4! \). Por tanto las distribuciones con dos o más niños juntos son:

\( 3\cdot 2\cdot 5!-3!4!=576 \)

- Contamos las distribuciones con dos niñas juntas:

\( 2!5!=240 \)

- Contamos las distribuciones con dos o más niños juntos Y dos niñas juntas (con un argumento análogo al primer conteo):

\( 3\cdot 2\cdot 2\cdot 4!-3!2!3!=216 \)

Por tanto el número de ordenaciones sin niños y niñas juntos son:

\( 6!-((3\cdot 2\cdot 5!-3!4!)+2!5!-(3\cdot 2\cdot 2\cdot 4!-3!2!3!))=720-((576+240)-216)=120 \)

Saludos.

18 Julio, 2017, 02:48 am
Respuesta #4

delmar

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,930
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Gracias el_manco, por el aporte, realmente resolví el problema muy a la ligera y ya no lo revise, descuido mío. Respecto al principio de inclusión-exclusión, solamente lo había escuchado, y he resuelto problemas sin utilizar la fórmula, pero entiendo que en problemas con numerosos conjuntos y con diversas relaciones entre ellos y cuando se requiere rapidez,  ha de ser muy útil.

Saludos

23 Julio, 2017, 08:32 pm
Respuesta #5

kike0001

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 386
  • País: co
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • asdrumath
Gracias el_manco y delmar

Saludos
שְׁמַ֖ע  יִשְׂרָאֵ֑ל  יְהוָ֥ה  אֱלֹהֵ֖ינוּ  יְהוָ֥ה  אֶחָֽד

http://www.asdrumath.com