Autor Tema: Conjunto no acotado

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10 Julio, 2016, 01:34 am
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Julio_fmat

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Pruebe que un conjunto no acotado no puede tener volumen nulo.

Hola, sabemos que un conjunto \( A \) es acotado si \( \exists M>0 \) tal que \( \forall x\in A \), se tiene \( |x|\le M. \) Si \( A \) no es acotado debería cumplirse su negación, ie., que \( \forall M>0 \), \( \exists x\in A \) tal que \( |x|>M. \)

Por otra parte, sabemos que un conjunto tiene volumen \( 0 \) si dado \( \varepsilon>0 \), existen \( I_1,I_2,...,I_k \) intervalos cerrados tales que \( A\subset \displaystyle\bigcup_{i=1}^k I_i \) y \( \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} v(I_i)<\varepsilon. \) Bueno, se supone que debería demostrar que una de las condiciones anteriores no se cumple.
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

10 Julio, 2016, 01:52 am
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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La prueba que te piden requiere mentir un poco: todo conjunto numerable es nulo, el conjunto de los números naturales es numerable, y es no acotado...

11 Julio, 2016, 01:48 am
Respuesta #2

Julio_fmat

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La prueba que te piden requiere mentir un poco: todo conjunto numerable es nulo, el conjunto de los números naturales es numerable, y es no acotado...

Hola, Gracias Carlos; pero no me queda claro lo que dices :banghead: ... Creo que la definición de conjunto acotado para este caso que debemos considerar es la más general. Diremos que \( A \) es acotado si existe \( r>0 \) tal que \( A\subset B(\mathbf{0},r). \) O más generalmente aun, diremos que \( A \) es acotado si existe un intervalo cerrado \( J \) tal que \( A\subset J. \)
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11 Julio, 2016, 02:10 am
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Hola, Gracias Carlos; pero no me queda claro lo que dices :banghead: ... Creo que la definición de conjunto acotado para este caso que debemos considerar es la más general. Diremos que \( A \) es acotado si existe \( r>0 \) tal que \( A\subset B(\mathbf{0},r). \) O más generalmente aun, diremos que \( A \) es acotado si existe un intervalo cerrado \( J \) tal que \( A\subset J. \)

Supongo que cuando hablas de un intervalo cerrado \( J \) quieres decir un intervalo acotado, de la forma \( [a,b] \), con \( a, b \) finitos, pues si no sería una definición de acotado muy peculiar. En cualquier caso, el conjunto de los números naturales no está acotado: no está contenido en ninguna bola \( B(\mathbf{0},r) \) para ningún radio \( r \). Pero es numerable y tiene medida 0.

Considero a \( \mathbb N \) como subconjunto de \( \mathbb R \) con la distancia usual, por supuesto.

11 Julio, 2016, 05:26 am
Respuesta #4

yotas

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Por otra parte, sabemos que un conjunto tiene volumen \( 0 \) si dado \( \varepsilon>0 \), existen \( I_1,I_2,...,I_k \) intervalos cerrados tales que \( A\subset \displaystyle\bigcup_{i=1}^k I_i \) y \( \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} v(I_i)<\varepsilon. \) Bueno, se supone que debería demostrar que una de las condiciones anteriores no se cumple.

En esta definición de volumen nulo ¿no tienes un problema con el \( k \) que aparece en la unión y el \( \infty \) que aparece en la suma? Si ambos símbolos deben ser \( k \) entonces, ningún conjunto no acotado puede tener volumen nulo (con esa definición) porque no lo puedes cubrir con una unión finita de intervalos.
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Creo debes tener un problema en tu mente por el cual complicas las cosas y las afirmaciones más sencillas.

Sí, es un problema muy frecuente en este foro. Se llama saber matemáticas.