Autor Tema: Sucesión de los números 1,2,3 para "generar" el triángulo de Sierpinski.

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22 Septiembre, 2015, 05:29 am
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yotas

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Hola ¿cómo va todo?

Quiero demostrar el siguiente ejercicio que aparece en el libro Topology, Measure and Fractal Geometry de Gerald Edgar:

Sean \( p_1, p_2, p_3 \) tres puntos cualesquiera del plano, definimos el sistema iterado de funciones \( (f_1,f_2,f_3) \) donde las funciones son \( f_i(x)=\displaystyle\frac{1}{2}(x+p_i) \). Para este sistema iterado existe un único triángulo de Sierpinski \( S \) que es atractor. Tomamos una sucesión \( k_n \) de elementos \( \{1,2,3\} \) y un punto cualquiera \( a \) del plano y definimos
\( x_0=a \) \( x_{n+1}=f_{k_n}(x_n) \)
Entonces pruebe que
(1) Todo punto de acumulación de \( \{x_n\} \) está contenido en \( S \).
(2) Dado un punto en \( S \) existe una escogencia de \( k_n \) tales que \( \{x_n\} \) lo tenga como punto de acumulación.
(3) Existe un punto \( a \) en el plano y una escogencia de \( k_n \) tales que \( \{x_n\} \) tenga como conjunto de acumulación a todo \( S \).

El teorema principal de la sección dice que dado un sistema iterado de contracciones \( (f_1,...,f_n) \) en un espacio métrico completo \( X \) existe un único conjunto compacto \( K \) que cumple la ecuación \( K=\bigcup_{i=1}^n f_i[K] \). Además para cualquier conjunto compacto \( A\subset X \) la sucesión \( A_0=A \) y \( A_{n+1}=\bigcup_{i=1}^n f_i[A_n] \) converge a \( K \) en la métrica de Hausdorff.

Sólo he podido lograr el punto (1) encontrando en el triángulo de Sierpinski una sucesión que se "comporta igual" a la sucesión dada. Esto es que encontré una sucesión \( \{y_n\} \) de elementos de \( S \) tal que dado un \( \epsilon \) existe un \( N \) con la propiedad de que \( n\geq N \) entonces \( d(x_n,y_n)<\epsilon \). Este tipo de sucesiones coinciden en sus puntos de acumulación y como \( S \) es cerrado, se tiene este punto.

Con el segundo y el tercer punto a pesar de haberle gastado un buen tiempo, no he logrado mayor cosa con ellos. En el punto (2) la idea intuitiva es que podemos "armar" un camino en las tres direcciones dadas de modo que nos acerquemos a cualquier punto del triángulo. En (3) la idea intuitiva es que podemos "armar" un camino que ande entre por todo el triángulo infinitas veces. Pero esta intuición no me ha ayudado mucho...

Agradezco cualquier consejo.

 ;D

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Creo debes tener un problema en tu mente por el cual complicas las cosas y las afirmaciones más sencillas.

Sí, es un problema muy frecuente en este foro. Se llama saber matemáticas.