Autor Tema: El esquema de inferencia válido

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20 Julio, 2015, 11:44 am
Respuesta #20

Carlos Ivorra

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Pero según la definición de condicional (y tal y como la he entendido yo, y creo que antes Carlos me ha dado la razón), el condicional no dice que \( A \) implique \( B \).

Te he dado la razón hasta cierto punto. Lo que te he dicho es que \( p\rightarrow q \) puede ser verdadera según los valores de verdad de p y q, pero, si entendemos que p y q son variables, y no fórmulas arbitrarias, entonces \( p\rightarrow q \) no es una tautología, por lo que no puedes decir que de la variable p se deduzca la variable q.

Ahora, decir que el condicional no dice que A implique B daña a los ojos del que lo lee. La fórmula \( A\rightarrow B \), donde A y B representan a fórmulas arbitrarias, no necesariamente variables, dice que A implica B, pero no dice que sea verdad que A implica B. En general, la implicación \( A\rightarrow B \) podrá ser verdadera o falsa según los valores de verdad que puedan adoptar las variables que aparezcan en A y en B. Sólo si es una tautología puedes asegurar que si A es verdadera entonces B es verdadera. Porque si no es una tautología, podría ocurrir que la implicación sea falsa, con lo cual, el mero hecho de saber A no te garantiza que B vaya a ser cierta, pero eso pasa precisamente cuando  \( A\rightarrow B \) es falsa.

De todos modos, esta discusión es tremendamente artificial. Creo que te serviría de ayuda que trataras de aclararte olvidando ejemplos sobre focas y similares y te centraras en ejemplos puramente matemáticos, porque así eliminarías una serie de características "del mundo real" para las que no está pensada la lógica matemática, como son que en la realidad las cosas cambian con el tiempo (mañana tú seguirás siendo humano, pero tal vez las focas se hayan extinguido) y la posibilidad de enunciados contrafácticos (vale que el cielo es azul, pero si suponemos que es verde ¿serías humano?). Ese tipo de consideraciones no tienen cabida en los razonamientos matemáticos, y así, lo que debería preocuparte es entender que

\( 2+2= 4\rightarrow 5 \) es primo

es verdadera, y eso significa que \( 2+2=4 \) implica que 5 es primo, o que

\( 2+2=5\rightarrow 6 \) es primo también es verdadera, y eso significa que \( 2+2=5 \) implica que 6 es primo.

Cada vez me convenzo más de que la lógica proposicional confunde más que ayuda a entender la lógica. Si prescindes de la lógica proposicional, no hay variables misteriosas que no se sabe si son verdaderas o falsas, sino que tienes fórmulas como \( 2+2=4 \) o \( 2+2=5 \) que está claro si son verdaderas o falsas y no tiene sentido preguntarse qué pasaría si fuera al revés. (Vale que uno puede pensar en la hipótesis del continuo, cosa que de momento sería mejor que dejaras de lado, pero creo que ni siquiera en ese caso surgen las confusiones que te están mareando).


20 Julio, 2015, 12:14 pm
Respuesta #21

feriva

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Esto lo escrito después de la última respuesta de Carlos y creo que ya no tiene interés; lo pongo en spoiler

Spoiler
Lo que quiere decir Alejandro es que tú puedes afirmar “si A, entonces B”, independientemente de  de que eso pueda ser verdad, después, es decir, relacionado con otras afirmaciones; todo depende también de qué afirmaciones consideres principales, de los valores de verdad, de cuáles dependan de otras; puede ser falso o verdadero. Pero sí que es una implicación a priori; solamente después y según el planteamiento lógico, puede resultar falsa o verdadera; si es falsa, entonces es mentira que “si A entonces B”, y resulta una falsa implicación. Esto es claramente distinto que decir de A se deduce B. Y creo que Carlos tampoco ha dicho nada distinto, si he comprendido todo lo que ido leyendo.

Por ejemplo, yo puedo hacer una afirmación basada en algo que parece cierto por intuición: “si hay infinitos primos gemelos, entonces hay infinitos primos a distancia de cuatro números”. Ni siquiera está demostrado lo primero, y de ahí el condicional “si”, pues no se sabe si hay infinitos gemelos, por tanto, tampoco se sabe si tal implicación es cierta; pero es una implicación que tomo como hipótesis; evidentemente, no es una deducción.

En cambio, si dices: “ está demostrado que todo número par se puede expresar con una suma “n+m”; el 16 es par, luego 16 se puede expresar como “n+m” “, esto es un deducción.

Los ejemplos que pongo son con cosas de “verdad”, digamos, pero se pueden tomar afirmaciones no definidas (letras o frases sin significado real o incluso absurdo) a las que se puede dar un valor de verdad (como si fueran verdades demostradas) y a partir de ahí, y sólo cuando has hecho es, es cuando se hacen las deducciones; si no, no hay material para deducir nada.

*Ahora veo la respuesta de Carlos, pero ya que he escrito esto lo dejo; pero añado algo sugerido por su respuesta

Cuando decía esto más arriba

“Los ejemplos que pongo son con cosas de “verdad”, digamos, pero se pueden tomar afirmaciones no definidas (letras o frases sin significado real o incluso absurdo) a las que se puede dar un valor de verdad (como si fueran verdades demostradas)”

Entre esas “frases absurdas” también pueden estar expresiones matemáticas absurdas a las que se da valor de verdad; no importa que sean falsas en la realidad, pues son sólo “vehículos” enlazar razonamientos; si bien es cierto que parece mejor evitarlos.
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Saludos.

20 Julio, 2015, 12:35 pm
Respuesta #22

Georg D. Hilbert

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Mil gracias a todos por toda la ayuda y la atención que me estáis prestando. A pesar de eso sigo sin resolver mi duda. Por esto, como Carlos ha  dicho que cree que la lógica proposicional es lo que me confunde más que me ayuda, si os parece, voy a leer su libro de lógica, que creo que no trata la lógica proposicional y si aun así tengo esta duda, volveré en busca de ayuda otra vez a este hilo.

Si os parece una mala idea decídmelo ;) Un saludo.

20 Julio, 2015, 02:04 pm
Respuesta #23

Alejandro Caballero

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En los esquemas de inferencia válidos con la forma \( X \to Y \) (donde "X" e "Y" son metavariables), ¿Por qué se dice que "X" implica "Y"? Quiero decir, ¿Si "X" es verdadero, "Y" debe ser necesariamente una consecuencia de "X"?

Gracias por la atención :)

¿Esquemas de inferencia? ¿Qué quieres decir? Ahí Deaño está denotando dos cosas iguales de la misma manera. Como se te ha comentado las reglas de inferencia son cosas distintas al condicional o implicador.

Y no, si tienes que \( X \longrightarrow Y \) es verdadero y \( X \) es verdadero, entonces tienes que \( Y \) es verdadero, ahora bien no tiene por qué ser una consecuencia en el sentido usual de la palabra. Ya te han puesto ejemplos en los cuales \( A \) no tiene nada que ver con \( B \).

¿Qué es lo que no entiendes?  ???

El caso es que la lógica proposicional es menos potente y te permite hablar de una manera distinta, que no se aplica a la lógica de primer orden. En ese hilo que te he pasado Carlos me hacía un simil donde la lógica proposicional era una bicicleta y la lógica de primer orden un coche. Los coches y las bicicletas funcionan de manera diferente. Pero un coche es más sofisticado, cuando entiendas el funcionamiento del coche no te sorprenderá en absoluto el funcionamiento de una bicicleta, pero no puedes tratar de dilucidar cómo funciona un coche observando una bicicleta, que es lo que en cierto modo tratas de hacer.

20 Julio, 2015, 04:21 pm
Respuesta #24

feriva

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Hola, Georg.

*Antes de nada, por si hubieras leído lo que dejé en el spoiler, hay que sañalar que cuando se habla de dar “valor de verdad” se refiere a elegir que una proposición sea verdadera o falsa; al igual que muchas veces en matemáticas se habla de la “suma” para referirse uno a la resta también, o al producto para referirse a la multiplicación y la división.
En los casos que citaba me refería a dar valor de verdad verdadero.

Dejo otro spoiler; tampoco es muy importante.

Spoiler


En cuanto a aclarar las cosas, te puede venir bien leer un poco sobre cómo se desarrolla la lógica proposicional en la historia.

Según estudié o leí yo en algún sitio, la lógica proposicional la inventa Leibniz y a partir de él se va desarrollando, posteriormente, por otros.
 (no sé qué dirán las páginas de internet, porque hoy en día veo muchas cosas que no había oído nunca, pasa con esto, con la historia y todo, a veces ya no sabe uno qué es verdad y qué es mentira. Pero para eso estamos los viejos o medio viejos, no para decir qué es verdad ni mentira, pero sí para contar lo que se decía antes).

Leibniz, junto a Newton, los Bernoulli y alguno más, es uno de los matemáticos más brillantes del siglo XVIII; es el primero que habla del concepto de función, de diferencial... Y es quién, a partir de las matemáticas, inventa estas “matemáticas” sin números; la lógica proposicional está “copiada” por el propio Leibniz de las matemáticas, que él conocía muy bien, y no al revés; y desde este punto de vista se puede decir que la lógica proposicional, de alguna manera, ya existía antes de existir. Después de esbozarla, Leibniz dijo que ya no haría falta discutir, que bastaría sentarse para “calcular”, con la frase “sentémonos y calculemos” (frase que, según veo en algunas páginas, también se atribuye a Descartes, pero yo recuerdo esto, que era de Leibniz).

En las matemáticas está encerrada todo esa lógica porque sale de ahí; la usas cada vez que haces un problema o intentas demostrar algo. Es más, quién no la usa como un fin en sí mismo, sino para intentar demostrar el Último teorema de Fermat, la conjeutra de Goldbach o cosas menos ambiciosas, aprende más lógica que el que la aprende como un fin en sí mismo. Sí, porque esas personas, luego, vienen a un foro como éste, ponen sus intentos de demostración, llega el_manco, y les va sacando todos los defectos; “esto no asegura esto, esto no implica esto, esto está mal...” (siempre habrá quien sea muy cabezota e insista en sus errores y no aprenda, pero lo normal es que aprender).

La lógica proposicional viene a intentar ser un esquema simplificado del mecanismo de demostración que se usa en matemáticas. Yo sólo estudié lógica a un nivel menos que básico en la asignatura de filosofía del bachillerato antiguo (de cuando Franco); se estudiaban cuatro silogismos y ya está, nada de tablas de verdad. Lo que he aprendido de ha sido aquí y viendo más cosas por internet. No la practico, y se me olvida, pero si la repaso la entiendo bien. Y la entiendo bien porque, tiempo antes, aprendí algo de matemáticas; no muchas, pero lo poco que aprendí lo aprendí razonando, nunca aplicando fórmulas ni métodos sin analizar el porqué; y también porque yo me encuentro (o me encontraba, ya hace mucho que no) entre esos inocentes que quieren demostrar cosas difíciles.

Pero, en resumen, lo que te quiero decir que no lo “esquemático” no hay tanta diferencia; por ejemplo:

“Todo número natural tiene sucesor”. Este es un axioma de Peano que, muy probablemente, conoces y que has usado. Si tú demuestras algo por inducción y te sale que el sucesor de “n” es “n+2” en vez de “n+1”, dirás que la hipótesis sobre esa afirmación (hipótesis en forma de igualdad u otra expresión matemática) que intentabas demostrar, es falsa, y es falsa porque viola un axioma el cual se elige verdadero siempre; no dices que sea falso que el siguiente de “n” es “n+1”, el axioma nunca es falso.

En lógica, si das valor de verdad verdadero a “P”, entonces “P” ya se considera como un axioma, y las afirmaciones que contradigan a P serán falsas.

Así, puedes considerar (con axiomas matemáticos ciertos y dando valor de verdad verdadero) cosas como:

P: “el siguiente a (n) es (n+1)” V

Q: “el siguiente a (n+1) es (n+3)” F

Si transcribimos esa conjunción de afirmaciones (P y Q) a la sucesión de naturales (pongamos sin el cero) ordenada de menor a mayor, tenemos:
1,2,4... mentira que ésta es la sucesión dicha, falta el 3; al juntarse una verdad y un mentira sale una mentira

Pues eso es lo que quiere decir

\( V\wedge F:\,\, F  \) ó \( ¬P\wedge Q  \) y todo eso (bueno, yo no soy muy experto en cómo escribir estas expresiones, pero más o menos). 

O sea, esta lógica se puede estudiar también con axiomas matemáticos de verdad, no es necesario usar proposiciones sin sentido.
Lo que ocurre es que Leibniz quiso precisamente despojar su método de los números y los axiomas matemáticos, quedarse con la esencia más básica y primaria del razonamiento, sin que está dependiera de “verdades verdaderas” o de cosas con sentido.

Como decía el poema de León Felipe:

Deshaced este verso.
Quitadle los caireles de la rima,
el metro, la cadencia
y hasta la idea misma.
Aventad las palabras,
y si después queda algo todavía,
eso,
será la poesía.

Pues eso pero con los métodos básicos de demostración de las matemáticas, le quitas los números, los axiomas... y queda la lógica proposicional.

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20 Julio, 2015, 11:36 pm
Respuesta #25

Georg D. Hilbert

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¿Qué es lo que no entiendes?

Pues a ver, es que creo que no entiendo lo que es el condicional, hasta ahora lo que he entendido, es que "\( X \longrightarrow Y \)", viene a decir que \( X \) implica \( Y \), y dependiendo de los valores de verdad de \( X \) e \( Y \), esa implicación será cierta o no. Pero según esta definición, todos los enunciados verdaderos se implican entre sí, ya que si sustituyes cualquier enunciado verdadero en \( X \) o en \( Y \), el condicional es verdadero. Y por esto pienso que no os estoy entendiendo.

Hola feriva, la verdad es que la relación de Leibniz (creo que es sin t) ha dado mucho que hablar entre los historiadores, si te interesa, puedes ver este enlace: http://institucional.us.es/revistas/themata/29/19%20velarde.pdf

Un saludo a todos  :D

20 Julio, 2015, 11:44 pm
Respuesta #26

argentinator

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Pues a ver, es que no creo que no entiendo lo que es el condicional, hasta ahora lo que he entendido, es que "\( X \longrightarrow Y \)", viene a decir que \( X \) implica \( Y \), luego dependiendo de los valores de verdad de \( X \) e \( Y \), esa implicación será cierta o no. Pero según esta definición, todos los enunciados verdaderos se implican entre sí, ya que si sustituyes cualquier enunciado verdadero en \( X \) o en \( Y \), el condicional es verdadero. Y por esto pienso que no os estoy entendiendo.
 

Que enunciados verdaderos se impliquen entre sí no tiene nada de "malo".
Estarías diciendo algo cierto.
Puede que te asuste porque parece que "estás haciendo trampa",
dado que a veces demostrar una implicación es más complicado que verificar los valores de una tabla de verdad.

Pero justamente realizar una demostración a veces es el único camino (o el más corto) por medio del cual se puede verificar que algo es verdadero.

En ese caso, o sea, al realizar una "demostración", hay un "vínculo" más cercano en cuanto al significado de las premisas X, Y, que si ponemos cualesquiera dos premisas verdaderas "al azar" X, Y, sin aparente conexión alguna.




21 Julio, 2015, 12:01 am
Respuesta #27

Georg D. Hilbert

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Pero argentinator, como se sabe que cualquier verdad implica todas las demás, es decir, ¿en que se basan los lógicos para hacer esta afirmación?

Gracias por responder ;)

21 Julio, 2015, 12:15 am
Respuesta #28

feriva

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Hola feriva, la verdad es que la relación de Leibniz (creo que es sin t)

Cierto, Leibnitz es una ciudad (esto me pasa por escribir de oído y no ir consultando el Google :D ). Si no se me corta el foro lo iré cambiando

Saludos.

21 Julio, 2015, 12:34 am
Respuesta #29

Carlos Ivorra

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Pero argentinator, como se sabe que cualquier verdad implica todas las demás, es decir, ¿en que se basan los lógicos para hacer esta afirmación?

No vas a encontrar la respuesta a esa pregunta mirando fijamente a una implicación. Para eso tienes que estudiar el concepto de demostración lógica.