Autor Tema: El esquema de inferencia válido

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19 Julio, 2015, 07:36 pm
Respuesta #10

Georg D. Hilbert

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1) Ah, no sabía que el condicional se llamaba también implicación. Sin embargo, por lo que me has dicho, no es obligatorio que en un condicional, el antecedente implique el consecuente. Si esto es así esta parte la entiendo.

2)Eso es, es decir, eso es justamente lo que no entiendo XD, por qué una inferencia lógica se puede escribir como un condicional, es decir, por qué esto:"\( X\vdash Y \)", se puede escribir así: "\( X\rightarrow Y \)"

19 Julio, 2015, 07:39 pm
Respuesta #11

Carlos Ivorra

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2)Eso es, es decir, eso es justamente lo que no entiendo XD, por que una inferencia lógica se puede escribir como un condicional, es decir, porque esto:"\( X\vdash Y \)", se puede escribir así: "\( X\rightarrow Y \)"

Es que NO es así. Decir "\( X\vdash Y \)" no es lo mismo que decir "\( X\rightarrow Y \)". Es lo mismo que decir que "\( X\rightarrow Y \) es una tautología".

19 Julio, 2015, 07:49 pm
Respuesta #12

Georg D. Hilbert

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Ay si perdón, estoy tonto jajaja

Lo que no entiendo, es, por qué decir "\( X\vdash Y \)", es lo mismo que decir "\( X\rightarrow Y \) es una tautología". O lo que es lo mismo (según lo entiendo), por qué, que \( X\rightarrow Y \) sea una tautología, implica que \( X\vdash Y \).

19 Julio, 2015, 07:53 pm
Respuesta #13

Carlos Ivorra

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Ay si perdón, estoy tonto jajaja

Lo que no entiendo, es, por qué decir "\( X\vdash Y \)", es lo mismo que decir "\( X\rightarrow Y \) es una tautología". O lo que es lo mismo (según lo entiendo), por qué, que \( X\rightarrow Y \), sea una tautología, implica que \( X\vdash Y \).

En principio eso lo podrías tomar como definición de \( X\vdash Y \). Si no quieres tomarlo como definición, me tendrás que dar otra definición, y entonces podremos ver si es equivalente o si tu definición alternativa no sirve.

Ahora me tengo que ir.

19 Julio, 2015, 08:01 pm
Respuesta #14

Georg D. Hilbert

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A pues si se puede entender como definición mi cuestión cambia. Yo entiendo que la inferencia es una deducción, es decir, que de \( X \) se deduce \( Y \). Pero los lógicos, como explican o como llegan a la conclusión, de que dado \( X \) se deduce \( Y \)(a partir de la tautología). Algún problema tendre o algo que me impide entenderlo, no sé.

No te preocupes, cuando puedas ya volverás. Muchas gracias por toda tu ayuda ;D

Añadido: Por qué es que claro, la lógica acepta o define que el condicional es verdadero si el antecedente y el consecuente son verdaderos, pero aunque sean los dos verdaderos no quiere decir que el consecuente se infiera del antecedente.

19 Julio, 2015, 09:17 pm
Respuesta #15

Carlos Ivorra

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A pues si se puede entender como definición mi cuestión cambia. Yo entiendo que la inferencia es una deducción, es decir, que de \( X \) se deduce \( Y \).

Bien, es otra definición válida. Veamos tu pregunta partiendo de ella:

Lo que no entiendo, es, [...] por qué, que \( X\rightarrow Y \) sea una tautología, implica que \( X\vdash Y \).

Supongamos que \( X\rightarrow Y \) sea una tautología y vamos a justificar que \( X\vdash Y \). Según la definición que me has dado, se trata de probar que de X se deduce Y. La deducción es ésta:

X                                      (es la premisa de la deducción)
\( X\rightarrow Y \)  (es lícito usar cualquier tautología en una deducción)
Y                                     (se deduce de las dos líneas anteriores por el Modus Ponens)

Añadido: Por qué es que claro, la lógica acepta o define que el condicional es verdadero si el antecedente y el consecuente son verdaderos, pero aunque sean los dos verdaderos no quiere decir que el consecuente se infiera del antecedente.

En efecto, eso ya lo hemos dicho, \( p\rightarrow q \) puede ser verdadera, pero eso no quiere decir que \( p\vdash q \).


19 Julio, 2015, 10:00 pm
Respuesta #16

argentinator

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A pues si se puede entender como definición mi cuestión cambia. Yo entiendo que la inferencia es una deducción, es decir, que de \( X \) se deduce \( Y \). Pero los lógicos, como explican o como llegan a la conclusión, de que dado \( X \) se deduce \( Y \)(a partir de la tautología). Algún problema tendre o algo que me impide entenderlo, no sé.

No te preocupes, cuando puedas ya volverás. Muchas gracias por toda tu ayuda ;D

Añadido: Por qué es que claro, la lógica acepta o define que el condicional es verdadero si el antecedente y el consecuente son verdaderos, pero aunque sean los dos verdaderos no quiere decir que el consecuente se infiera del antecedente.

Pues se podría extraer de la tabla de verdad.
Tomamos la tabla de verdad de \( X\to Y \):

\( \begin{bmatrix}{X}&{Y}&{X\to Y}\\\hline{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{1}\\{1}&{0}&{0}\\{1}&{1}&{1}\end{bmatrix} \)

Se observa claramente que, para que \( X \) sea verdadero (renglones 3 y 4),
y que \( X\to Y \) sea verdadero (renglones 2 y 4),
sólo puede ocurrir al mismo tiempo en el renglón 4,
es decir, cuando \( Y \) es también verdadero.




20 Julio, 2015, 01:07 am
Respuesta #17

Alejandro Caballero

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¡Esta duda me suena! Jajajaja. Cada vez estoy más convencido que estudiar la lógica superficialmente para "tener una idea", sólo sirve para no tener ni idea. Especialmente si se usa según qué material divulgativo.

Creo que tu problema viene porque estás mezclando la lógica proposicional con la de primer orden, Deaño, si no recuerdo mal, en la parte de lógica proposicional utiliza las reglas de inferencia a modo de implicación indistintamente y eso te está llevando a confusión. Creo que harías bien en pasar olímpicamente de ese libro: no creo que se adecua a tu propósito.

Cuando tú dices que "\( A \) implica \( B \)", o que "si \( A \), entonces \( B \)", o escribes "\( A\Longrightarrow B \)" o "\( A\longrightarrow B \)" (¡indistintamente!), estás diciendo que es cierto que "si es cierto \( A \), se tiene que \( B \) también": por eso, al decir que una cosa falsa implica una cosa verdadera no estás engañando a nadie.

En cambio, cuando tu hablas de una regla de inferencia, como es el caso del Modus Ponens:

De \( A \longrightarrow B \) y \( A \) se deduce \( B \),

o lo que es lo mismo

\( A \longrightarrow B, A \vdash B \)

o incluso

\( \begin{array}{l}A \longrightarrow B\\ A  \\  \hline B\end{array} \)

lo que estás haciendo es una afirmación (como le gusta decir a Deaño) en un nivel de lenguaje diferente, porque tu no afirmas que que \( A\longrightarrow B \) y \( A \) implican \( B \), tú estás diciendo que si tienes una afirmación de la forma \( A\longrightarrow B \) (cierta) y también tienes la afirmación \( A \) (cierta), entonces es correcto que tú puedas afirmar directamente \( B \): está dándote una regla que te permite afirmar, inferir algo nuevo a partir de dos afirmaciones: una regla de inferencia.

Nota que no es lo mismo decir que "entonces es correcto que tu puedas afirmar tal cosa" que decir "entonces tal cosa".

No sé por qué motivos en más sitios de los que me gustaría confunden los conceptos de implicación y de regla de inferencia, pero bueno.

He dicho que esta duda me sonaba, este es el motivo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=76367.msg304555#msg304555

Creo que sería una buena idea que leas ese hilo.


20 Julio, 2015, 10:56 am
Respuesta #18

Georg D. Hilbert

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Carlos y argentinator, entiendo que aplicando la lógica proposicional, si sabemos que \( X\rightarrow Y \) y sabemos que \( X \) es verdadero, \( Y \) tiene que ser verdadero. Pero si intentas aplicar esto a un razonamiento real, tomas una proposición \( X \) y tomas una proposición \( Y \), y sabes que \( X \) es verdadero, pero si no sabes si \( Y \) es verdadero (porque es lo que estamos tratando de deducir), cómo puedes saber si el condicional es falso o verdadero.

Cuando tú dices que "\( A \) implica \( B \)", o que "si \( A \), entonces \( B \)", o escribes "\( A\Longrightarrow B \)" o "\( A\longrightarrow B \)" (¡indistintamente!)

Pero según la definición de condicional (y tal y como la he entendido yo, y creo que antes Carlos me ha dado la razón), el condicional no dice que \( A \) implique \( B \).

Muchas gracias a todos de verdad  :D

Por cierto Alejandro voy a leer el hilo del enlace.

20 Julio, 2015, 11:11 am
Respuesta #19

Weip

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pero si no sabes si \( Y \) es verdadero (porque es lo que estamos tratando de deducir), cómo puedes saber si el condicional es falso o verdadero
Si no puedes saber nada sobre \( Y \) ni sobre la implicación \( X\rightarrow{Y} \) entonces tienes diversas posibilidades. Eso es lo que tienes en la tabla de verdad que ha escrito argentinator. \( X \rightarrow{Y} \) es verdadero si:

-\( X \) e \( Y \) son verdaderos.
-\( X \) es falso e \( Y \) es verdadero.
-\( X \) e \( Y \) son falsos.

La implicación \( X \rightarrow{Y} \) es falsa si:

-\( X \) es verdadero e \( Y \) es falso.

Entonces si tienes que \( X \) es verdadero y \( X\rightarrow{Y} \) es verdadero entonces \( Y \) es verdadero necesariamente. Como ha dicho argentinator solo es cuestión de mirar las cuatro posibilidades y darse cuenta de que para que las hipótesis se cumplan \( Y \) ha de ser cierto.