Autor Tema: El esquema de inferencia válido

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19 Julio, 2015, 05:02 pm
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Georg D. Hilbert

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En los esquemas de inferencia válidos con la forma \( X \to Y \) (donde "X" e "Y" son metavariables), ¿Por qué se dice que "X" implica "Y"? Quiero decir, ¿Si "X" es verdadero, "Y" debe ser necesariamente una consecuencia de "X"?

Gracias por la atención :)

19 Julio, 2015, 05:12 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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No entiendo tu pregunta. A ver si este ejemplo cuadra con lo que planteas:

\( p\rightarrow (p\lor q) \)

Esto debería ser un caso de lo que planteas con \( X = p \),  \( Y = p\lor q \). Y, en efecto, si \( p \) es verdadero, entonces \( p\lor q \) es verdadero, es una consecuencia de \( p \). ¿Cuál es el problema?

19 Julio, 2015, 05:25 pm
Respuesta #2

Georg D. Hilbert

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Lo que no entiendo es porque se sabe que es una consecuencia. En ese  ejemplo que pones, si que se ve claramente que que \( Y \) es una consecuencia de \( X \), pero por ejemplo si tenemos \( p \to (q \to p) \), ¿porque \( X \) implica \( Y \)?

19 Julio, 2015, 05:37 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Lo que no entiendo es porque se sabe que es una consecuencia. En ese  ejemplo que pones, si que se ve claramente que que \( Y \) es una consecuencia de \( X \), pero por ejemplo si tenemos \( p \to (q \to p) \), ¿porque \( X \) implica \( Y \)?

Puedes verlo de dos formas:

1) Si construyes la tabla de verdad de \( p \to (q \to p) \), verás que sólo tiene unos. Si el problema es que no tienes claro cómo construir la tabla de verdad en este caso, di para qué entradas de p y q no sabes qué valor ponerle a la fórmula completa y lo discutimos.

2) Supón que p es verdadera. Dime si  \( q \to p \) puede ser falsa en algún caso. Sólo hay dos: dime qué pasa si q es verdadera o si q es falsa.

19 Julio, 2015, 05:47 pm
Respuesta #4

Georg D. Hilbert

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1) Si construyes la tabla de verdad de \( p \to (q \to p) \), verás que sólo tiene unos. Si el problema es que no tienes claro cómo construir la tabla de verdad en este caso, di para qué entradas de p y q no sabes qué valor ponerle a la fórmula completa y lo discutimos.

Si, antes de escribir ya había comprobado que daba todo unos.

2) Supón que p es verdadera. Dime si  \( q \to p \) puede ser falsa en algún caso. Sólo hay dos: dime qué pasa si q es verdadera o si q es falsa.

Si sería verdadero en cualquier caso, pero no entiendo porque es consecuencia. Esta claro que es consecuencia para algún \( q \) determinado, pero no para cualquiera, aunque \( q \) sea verdadero.

19 Julio, 2015, 05:59 pm
Respuesta #5

Carlos Ivorra

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Si sería verdadero en cualquier caso, pero no entiendo porque es consecuencia. Esta claro que es consecuencia para algún \( q \) determinado, pero no para cualquiera, aunque \( q \) sea verdadero.

No consigo entender el problema que ves. Admites que si \( p \) es verdadero, entonces \( q\rightarrow p \) es verdadero en cualquier caso, tanto si \( q \) es verdadero como si \( q \) es falso. ¿O no es esto lo que dices? Si es así, como tenemos que siempre que X (en nuestro caso \( p \)) es verdadero, también lo es Y (en nuestro caso \( q\rigtharrow p \)) eso es lo que significa por definición que Y es consecuencia lógica de X, que siempre que tienes la garantía de que X es verdadero, puedes poner la mano en el fuego por que Y también lo será.

Si no lo ves claro, trata de explicar mejor qué te confunde, porque no lo capto.

19 Julio, 2015, 06:18 pm
Respuesta #6

Georg D. Hilbert

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Creo que es lo que ya me temía, y no entiendo el condicional. A ver, según he entendido yo,en un condicional (\( p \to q \)), si \( p \) es verdadero y \( q \) es verdadero, la fórmula, el condicional vaya, es verdadero. Pero eso no significa que \( p \) implica \( q \), o lo que es lo mismo, que \( q \) es consecuencia de \( p \), ¿No?

Por ejemplo: "Si soy humano, entonces hay focas marrones". Según la definición de condicional que yo entiendo, ese condicional es verdadero, sin embargo, el antecedente no implica que haya focas marrones.

19 Julio, 2015, 06:41 pm
Respuesta #7

Carlos Ivorra

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Pero si formalizas esa afirmación sobre las focas, tienes \( p\rightarrow q \), que no es una tautología, y por ese motivo no puedes decir que \( p \) implique \( q \). Es una fórmula que puede ser verdadera o falsa, y si suponemos que tú eres humano pero no hay focas marrones, se vuelve falsa, aunque no sea ése el caso real.

No puedes hacer lo mismo con \( p\rightarrow (q\rightarrow p) \). Ahí, interpretes como interpretes la p y la q, en términos de focas, de leones o de marcianos, lo que te saldrá será siempre verdadero. El caso más próximo a tu ejemplo es que

Tú eres humano

implica

Si hay focas marrones eres humano.

Ahí sí que tienes una implicación. Es lógicamente imposible que seas humano y, en cambio, no sea cierto que si hay focas marrones eres humano.

19 Julio, 2015, 06:58 pm
Respuesta #8

Georg D. Hilbert

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A pues si que entiendo el condicional.

Tú eres humano

implica

Si tú eres humano hay focas marrones.

Ahí sí que tienes una implicación. Es lógicamente imposible que seas humano y, en cambio, no sea cierto que si eres humano hay focas marrones.

¿Pero no sería así: Si yo soy humano, implica que, si hay focas marrones, entonces yo soy humano?

Lo que entiendo al pensar en lo que tu dices, es que el primer condicional se toma como una implicación lógica, pero el segundo se toma simplemente como un condicional. Entonces lo que me gustaría saber es porque el primer condicional se considera una implicación.

19 Julio, 2015, 07:10 pm
Respuesta #9

Carlos Ivorra

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¿Pero no sería así: Si yo soy humano, implica que, si hay focas marrones, entonces yo soy humano?

Perdón. Es que no soy domador de focas, y me cuesta conseguir que se queden en el sitio donde deben estar.  ;D

Lo que entiendo al pensar en lo que tu dices, es que el primer condicional se toma como una implicación lógica, pero el segundo se toma simplemente como un condicional. Entonces lo que me gustaría saber es porque el primer condicional se considera una implicación.

No sé si no te mareará más que nada tu intento de plasmar el asunto en términos de condicionales e implicaciones. Creo que es mucho más sencillo que todo eso.

1) Por una parte tienes fórmulas, que pueden ser verdaderas o falsas en función del valor de verdad de sus fórmulas atómicas, en un sentido que pareces tener claro, y no importa si entre sus conectores aparecen signos \( \rightarrow \) o no (signos que puedes llamar perfectamente implicaciones o condicionales, da igual).

2) Y otra cosa es que tienes una inferencia lógica, que puedes escribir así: \( X\vdash Y \), cuando \( X\rightarrow Y \) es una tautología.

En principio no tendría que haber razón para que confundas ambas cosas, y los ejemplos anteriores ilustran uno y otro caso. Ahora dime qué ejemplo no sabes poner en uno de los dos casos 1) o 2) y discutimos el problema.