Autor Tema: Función de la n-esfera en la circunferencia.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

26 Junio, 2015, 02:54 am
Leído 1896 veces

yotas

  • Sé valiente, no voluble, no maleable.
  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 725
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Plop, plop.
Hola

Debo probar que no existe una función \( \phi:S^n \rightarrow S^1 \) para \( n\geq 2 \) tal que \( \phi(-x)=-\phi(x) \).

He intentado varias cosas y ninguna muy próspera. Entre ella hacer un levantamiento \( \alpha \) de una curva \( \alpha \) en el espacio proyectivo n-dimensional y tratar de mostar que estas curvas dan bajo \( \phi \) una curva no trivial en \( S^1 \) lo que sería una contradicción. Pero no logro probar o convencerme de que la curva efectivamente es no trivial.

¿Me podrían dar alguna indicación?

Gracias.
Citar
Creo debes tener un problema en tu mente por el cual complicas las cosas y las afirmaciones más sencillas.

Sí, es un problema muy frecuente en este foro. Se llama saber matemáticas.

26 Junio, 2015, 10:37 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,577
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

 Tengo ciertas dudas sobre que resultados puedes usar.

 En primer lugar nota que es suficiente demostrarlo para \( n=2 \), ya que siempre puedes restringir la aplicación dada sobre una en \( S^2 \) con la misma propiedad.

 Ahora el Teorema de Borsuk afirma que para una aplicación continua \( \phi:S^2\longrightarrow{}R^2 \) existe un punto tal que \( \phi(x)=\phi(-x).  \) Luego con eso ya concluirías.

 Alternativamente en estos ejercicios se describen los pasos para probar lo mismo con menos artillería:

http://www.trinity.edu/nmacura/teaching/Spring10/Topology/hm8.pdf

 (fíjate en el ejercicio 6 y en los anteriores que va utilizando).

Saludos.

26 Junio, 2015, 04:18 pm
Respuesta #2

yotas

  • Sé valiente, no voluble, no maleable.
  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 725
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Plop, plop.
En el libro de Massey (que se supone guía del curso) está la versión para \( n=2 \). Entonces este ejercicio realmente era trivial con este resultado.

Gracias por el consejo.
Citar
Creo debes tener un problema en tu mente por el cual complicas las cosas y las afirmaciones más sencillas.

Sí, es un problema muy frecuente en este foro. Se llama saber matemáticas.