Autor Tema: Ecuación de onda elástica.

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12 Mayo, 2015, 03:59 am
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yotas

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Dado el operador \( \Lambda=(\partial_t^2-c_1^2\partial_r^2)(\partial_t^2-c_2\partial_r^2) \) demuestre que la media esférica
\( M_u(x,r,t)=\displaystyle\frac{3}{4\pi r^3}\int_{B(x,r)}u(x,t) dS(r) \)
satisface la ecuación \( \Lambda(rM_u)=0 \).

He tenido problemas calculando las derivadas respecto a \( r \), en realidad no sé muy bien cómo hacerlo sólo tengo claro que la primera es

\( \partial_r rM_u=-\displaystyle\frac{3\cdot2}{4\pi r^3}\int_{B(x,r)}u(x,t)dS(r)+\displaystyle\frac{3}{4\pi r^2}\int_{\partial B(x,r)}u(x,t)dS(r) \)

pero según el operador de se debe derivar hasta cuatro veces y en particular no sé cómo derivar respecto a \( r \) a

\( \int_{\partial B(x,r)}u(x,t)dS(r) \)

¿alguna ayuda?

Gracias.
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Creo debes tener un problema en tu mente por el cual complicas las cosas y las afirmaciones más sencillas.

Sí, es un problema muy frecuente en este foro. Se llama saber matemáticas.

12 Mayo, 2015, 11:19 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Dado el operador \( \Lambda=(\partial_t^2-c_1^2\partial_r^2)(\partial_t^2-c_2\partial_r^2) \) demuestre que la media esférica
\( M_u(x,r,t)=\displaystyle\frac{3}{4\pi r^3}\int_{B(x,r)}u dS(r) \)
satisface la ecuación \( \Lambda(rM_u)=0 \).

He tenido problemas calculando las derivadas respecto a \( r \), en realidad no sé muy bien cómo hacerlo sólo tengo claro que la primera es

\( \partial_r rM_u=-\displaystyle\frac{3\cdot2}{4\pi r^3}\int_{B(x,r)}udS(r)+\displaystyle\frac{3}{4\pi r^2}\int_{\partial B(x,r)}udS(r) \)

pero según el operador de se debe derivar hasta cuatro veces y en particular no sé cómo derivar respecto a \( r \) a

\( \int_{\partial B(x,r)}udS(r) \)

Antes de nada no estoy entendiendo bien la notación.

¿Qué función es la del integrando? ¿Depende de qué variables?.

Tu has escrito \( udS(r) \), pero eso no me tiene demasiado sentido. Me parecería más lógico \( u(r)dS \). Pero no estoy seguro. Aclara ese punto. Precisa de que variables depende \( u \).

Saludos.

12 Mayo, 2015, 04:48 pm
Respuesta #2

yotas

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Después de revisar el ejercicio aún no comprendo muy bien cuáles debieran ser las correciciones. Porque si lo que he escrito es correcto entonces no hay que preocuparse realmente mucho por la integral, puesto que el integrando no dependería de \( r \) y las derivadas se realizarían sin problema alguno. Aunque tampoco habría necesidad de integrar... en fin. Voy a preguntar para saber dónde está el error.
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Creo debes tener un problema en tu mente por el cual complicas las cosas y las afirmaciones más sencillas.

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