Autor Tema: Problema 4 Olimpiada Matemática 16 de enero de 2015

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04 Abril, 2015, 10:51 pm
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solucionesproblemas

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Un campeonato de baloncesto se juega por el sistema de liga a dos vueltas (cada par de equipos se enfrentan dos veces) y sin empate (si el partido termina en empate hay prórroga hasta que gane uno de los dos). El ganador del partido obtiene 2 puntos y el perdedor 1. Al final del campeonato, la suma de los puntos obtenidos por todos los equipos salvo el campeón es de 2015 puntos. ¿Cuántos partidos ganó el campeón?
bit.ly/1D4P4FP

05 Abril, 2015, 06:51 pm
Respuesta #1

robinlambada

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Hola.Mi solución
Spoiler
Lo primero es acotar el numero de equipos que participan "n"

Lo hacemos por los puntos totales, en cada partido se reparten 3 puntos, 2+1

El número total de partidos a dos vueltas es facil ver que es \( n(n-1) \), y la suma de todos los puntos en juego son \( p=3n(n-1) \)

Por inspección:

3x25x26<2015

3x26x27=2106

3x27x28=2268.

En principio habría 27 ó 28 equipos.

Pero el máximo de  puntos obtenidos por el ganador, es si gana todos los encuentros ,es decir:
jugando 2x(27-1) partidos.

Si son 27 equipos 2x2x(27-1)=104 puntos. podría ser pués 2106-104<2015

Si son 28 equipos 2x2x(28-1)=108 puntos. NO podría ser pués 2268-108>2015

Por ello hay 27 equipos.

El ganador obtuvo 2106-2015=91 puntos de los 104 máximos que pudo obtener, por ello dejo de ganar 104-91=13 puntos o partidos de los 2x26=52 partidos jugados, por todo ello ha ganado 52-13=39 partidos.
[cerrar]
Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

07 Abril, 2015, 12:05 am
Respuesta #2

solucionesproblemas

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¡Excelente robinlambada!
Dejo una solución un poco más desarrollada (en cuanto a comentarios) en bit.ly/1D4P4FP.