Autor Tema: Funciones continuas por abajo

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31 Marzo, 2015, 03:51 am
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yotas

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Hola!

El límite superior de una función \( f \) real (o real extendida) en un punto \( y \) es:
\( \lim_{x\rightarrow y}\sup f(x)=\inf_{\delta>0} \sup_{0<|x-y|<\delta} f(x) \)
el límite inferior en el punto \( y \) se define de manera similar.

Una función \( f \) de valores en los reales extendidos es semicontinua inferior en un punto \( y \) si \( \lim_{x\rightarrow y}\sup_{x\rightarrow y}f(x)\geq f(y) \). Diremos que es semicontinua inferior en un intervalo si es semicontinua inferior en todo punto del intervalo.

Me piden que demuestre lo siguiente

- Una función definida en un intervalo \( [a,b] \) es semicontinua inferior si y sólo si existe una sequencia monónota creciente \( \phi_n \) de funciones paso semicontinuas inferior en \( [a,b] \) tales que para cada \( \phi_n\rightarrow f \) puntualmente.

Todos estas definiciones (y el enunciado anterior) son para dar algo de contexto del ejercicio del que tengo dudas. Asimismo la demostración de el anterior enunciado por eso irá en spoiler.

demostración
Dado \( n \). Consideremos los siguientes intervalos abiertos del intervalo \( [a,b] \):
\( E_1=(x_0,x_1), E_2=(x_1,x_2),...,E_n=(x_{n-1},x_n) \)
Donde \( x_i=a+\displaystyle\frac{i(b-a)}{2^n} \) \( i=0,...,2^n \)

Definimos \( \phi_n \) como sigue

\( f(x)=\begin{Bmatrix}{a_i}&\mbox{ si  }& x\in E_i
             \\ \min(a_i,a_{i+1}) & \mbox{si}& x=x_i
             \\ a_1                     & \mbox{si}& x=a
              \\ a_{2^n}              & \mbox{si}& x=b
       \end{matrix}
 \)
Con \( a_i=\inf_{x\in E_1} f(x), i=1,...,2^n \). Cada una de las funciones dadas es continua inferiormente y forman una sucesión creciente de funciones puesto que en cada nueva partición del intervalo el ínfimo de cada subconjunto debe ser mayor o igual al ínfimo del conjunto completo.
La sucesión \( \{\phi_n(y)\} \) converge a \( \lim_{x\rightarrow y} \inf f(x) \) pero como \( \phi_n(x)\leq f(y) \) entonces \( \lim_{x\rightarrow y} \inf f(x) =\lim_n \phi_n(x)\leq f(y)\leq \lim_{x\rightarrow y} \inf f(x)  \) puesto que es continua inferiormente. Esto implica la convergencia a \( f \) puntualmente de las funciones \( \phi_n \).
[cerrar]

Este ejercicio es el previo al siguiente que no he podido realizar:

Demuestre que se puede realizar el mismo tipo de aproximación con funciones continuas que la dada en el teorema anterior.

¿Alguna sugerencia?

¡Muchas gracias!  ;D
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Creo debes tener un problema en tu mente por el cual complicas las cosas y las afirmaciones más sencillas.

Sí, es un problema muy frecuente en este foro. Se llama saber matemáticas.

31 Marzo, 2015, 10:29 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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