Autor Tema: Problemas con polinomios

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

21 Marzo, 2005, 02:24 pm
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Ocean_Soul

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Hola de nuevo; Tengo que hacerles una consulta: Como se hace este ejercicio?

Hallar a en Q tal que el resto de dividir a X4-2aX2+3-a por x-1 sea 4.

 ???

Y despues tengo otra pregunta:
Demostrar que si P(x) pertenerce a Q[X] tiene una raiz a+sqr(b) con a,b en Q y sqr(b) en los Irracionales entonces a- sqr(b) tambien es raiz de P(x). (ayuda)

Gracias de antemano...

21 Marzo, 2005, 04:10 pm
Respuesta #1

León

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¡Hola Ocean!

1) Para la primera piensa en el teorema del resto:
- El resto de dividir un polinomio p(x) por t(x)=(x-r) es siempre p(r).

(Después de hacer el ejercicio fíjate si puedes demostrar el teorema sabiendo que dos polinomios se pueden siempre dividir, de manera que quede un resto de grado menor que el divisor. Es decir, para cualquier p y t en Q[x] existen q y r tal que gr(r)<gr(t) y p(x)=q(x).t(x)+r(x))

2) Para la segunda, una ayuda que se me ocurre ahora -por ahi alguien tiene una idea mas fácil/corta- es que hagas lo mismo que se hace con la conjugación de complejos.

Define la conjugación.

C: Q+raiz(b)Q -> Q+raiz(b)Q tal que C(x+y.raiz(b))=x-y.raiz(b).

Primero deberías fijarte en que el conjunto Q+raiz(b)Q := {x+yraiz(b) en R/ x,y están en Q} es cerrado con la suma y el producto usual para cualquier b en Q positivo y raiz(b) fuera de Q. (Es de hecho un cuerpo mas grande que Q y mas chico que R.)

Prueba después que C(u+v)=C(u)+C(v) y que C(u.v)=C(u).C(v). Fíjate que C(0) = 0. Una vez que lo has hecho aplícale C al número p(a+raiz(b)) (que es cero, claro)... y fíjate qué queda.

Por último, tu sistema de ecuaciones también estaba bien analizado. Obviamente me puedo equivocar como cualquiera -y me suelo equivocar seguido, de hecho- pero lo miré un par de veces.


23 Marzo, 2005, 03:09 pm
Respuesta #2

Ocean_Soul

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Gracias por laS ayudaS. Te hago otra pregunta. Vos no sabes de donde puedo sacar las demostraciones de las propiedades de los determinantes? Me refiero de alguna paguina o algo...

Gracias...




23 Marzo, 2005, 04:23 pm
Respuesta #3

León

  • Lathi
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He estado mirando recién los libros que hay en el rincón y no encontré todavía nada satisfactorio.

Vi un libro de Algebra n castellano que parece muy bueno Algebra, pero por ahi es difícil para una primera lectura. ¡Deberías leer los capítulos anteriores sobre grupos para entender el asunto cabalmente!

Una introducción muy simple a los determinantes en inglés, pero le faltan las demostraciones por lo que ví: Elementary Linear Algebra

Si lees francés hay uno lindo que toma las propiedades elementales como definición (multilineal y alternado) y de ahi deduce el resto: Algèbre.

El libro que yo lei con mas placer de Algebra lineal es de Serge Lang (probablemente 'Linear Algebra', no recuerdo).

También si quieres puedo intentar guiarte para que tú hagas esas demostraciones.

Quizás algo de esto te sirva. Ahora me tengo que ir, pero seguiré buscando porque es una cosa buena para tener ubicada, un buen libro de introducción al algebra lineal en castellano en la red. Un abrazo.

25 Marzo, 2005, 03:36 pm
Respuesta #4

xhantt

  • Visitante
La última pregunta se podria responder más o menos así: sea a+sqrt(b) raíz de p(x), tomemos el polinomio q(x) = p(x-a), notar que q tiene todos sus coeficientes enteros. Entonces a - sqrt(b) es raíz de p(x) si y solo si -sqrt(b) es raíz de q(x), y notar que nos sacamos a de encima!

Ahora en q(x) miramos los monomios de exponente par e impar, los de exponente par no hay problemas si pongo sqrt(b) o -sqrt(b) es lo mismo cuando elevo al cuadrado. Entonces sólo me quedan los de exponente impar... (mira algún ejemplo un rato.... si no se te ocurre nada.... saca factor común....)


29 Marzo, 2005, 04:47 am
Respuesta #5

Ocean_Soul

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Saludos...

Gracias por la ayuda con la demostración, ya no sabia que ''inventar'' para poder hacerla...

Pero no se como hacer el problema del polinomio:
Hallar a en Q tal que el resto de dividir a X4-2aX2+3-a por x-1 sea 4.

Esque si “El resto de dividir a un polinomio P(x) por otro de la forma x-c es P(c)…” entonces como puede ser el resto 4? Se entiende lo que digo??? O será que yo estoy re-perdido???

No se...  >:(


29 Marzo, 2005, 07:12 am
Respuesta #6

León

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Es que si “El resto de dividir a un polinomio P(x) por otro de la forma x-c es P(c)…” entonces como puede ser el resto 4? Se entiende lo que digo??? O será que yo estoy re-perdido???

Si el resto tiene que ser 4, pero además el resto es igual a P(c), eso quiere decir que P(c)=4, no hay otra... Lo que tenés que interpretar es, quien es c en tu problema, y qué quiere decir P(c). Si te contestas bien esas preguntas no es muy difícil averiguar a.

¿Cual es esa universidad en la que te dejan tan sólo?

30 Marzo, 2005, 01:10 pm
Respuesta #7

Ocean_Soul

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Leon, porque no me decir de una vez como se hace el bendito ejercicio, ya no quiero verlo mas... ;D

PD: Es una Universidad nacional del comahue, es una de Neuquen, Argentina...

Gracias...


30 Marzo, 2005, 03:57 pm
Respuesta #8

León

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Tu polinomio es p(x)=X4-2aX2+3-a

El teorema del resto te dice que el resto de dividirlo por (x-1) es p(1) y el enunciado te dice que tiene que ser 4.

p(1) = 4 equivale a,

a.14-2a.12+3-a=4 equivale a,

3-2a=4 que equivale (despejando) a,

a=-1/2

Como ves este ejercicio era mucho mas fácil que el otro, que de hecho era una demostración.

Eh, lo que sé de la universidad del Comahue es que tiene la fama de tener los mejores equipos de investigación argentinos en un par de temas de matemática. Un abrazo.

31 Marzo, 2005, 01:22 am
Respuesta #9

Ocean_Soul

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Gracias leon!!!  I'm happy ;D ....

Pero tengo otra duda. Ahora voy a usar lo que vos me dijiste. El ejercicio es hallar a en Q tal que P(x)=x2+ax+4 de el mismo resto que al dividirlo por x+2 y x-2.

Yo lo resolvi asi: Por el teorema del resto: P(2)=P(-2) <----> 22+2a+4=8+2a=(-2)2-2a+4=8-2a luego a=0...
Esta bien?