Autor Tema: Diagonalizar esta matriz

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12 Febrero, 2015, 03:36 pm
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morphete

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Buenas, me gustaría saber si es posible de obtener una expresión exacta y analítica (o en forma de serie) de los valores propios de esta matriz simétrica de orden \( n \):

\( \begin{pmatrix} 0 &  a_1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ a_1 & 0 & a_2 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & a_3 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & 0 & ... & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & a_{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & a_{n-1} & 0 \end{pmatrix} \)

En principio no necesito los vectores propios.

Muchas gracias y un saludo

12 Febrero, 2015, 05:02 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 mmm... no estoy muy seguro de que halla una expresión demasiado cómoda. Quizá puedan orientarte estos enlaces:

http://mathoverflow.net/questions/131527/eigenvalues-of-symmetric-tridiagonal-matrices

http://cpsc.yale.edu/sites/default/files/files/tr1460.pdf

Saludos.

15 Febrero, 2015, 11:25 am
Respuesta #2

morphete

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Muchas gracias por responder.

Me he mirado los enlaces, pero no me han servido, ya que no me aclaro con las recurrencias

Voy a poner lo que tengo que hacer de forma más concreta y partiendo de que conozco las soluciones a ver si así se puede demostrar, aunque sea de forma inductiva:

Sea la matriz \( n \times n \)

\( \begin{pmatrix} 0 &  a_1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ a_1 & 0 & a_2 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & a_3 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & 0 & ... & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & a_{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & a_{n-1} & 0 \end{pmatrix} \)

Donde \( a_i = \sqrt{\dfrac{i(n-i)(2k-i)(2k-n-i)}{4(k-i)^2-1}} \) y \( k \) es un parámetro cualquiera, se trata de demostrar que los autovalores de esta matriz son, independientemente de \( k \): \( 0, \pm 2 , \pm 4 , \dots , \pm (n-1) \) si \( n \) es impar, o bien \( \pm 1 , \pm 3 , \dots , \pm (n-1) \) si \( n \) es par. Si no es posible demostrar tanto, también podría valerme demostrar que el mayor (o al menos dos) de los autovalores son \( \pm (n-1) \).

Bueno, muchísimas gracias por la ayuda. Saludos cordiales