Autor Tema: Ecuación de autoreferencia para el conjunto de Cantor.

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15 Enero, 2015, 09:07 pm
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yotas

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Hola

Dadas las funciones reales \( f_1(x)=x/3 \) y \( f_2(x)=(x+2)/3 \) tenemos que el conjunto de Cantor $C$ cumple la ecuación
\( C=f_1(C)\cup f_2(C) \)
la demostración -que la comprendo- consiste en que se toma como probado la ecuación
\( C_{k+1}=f_1(C_k)\cup f_2(C_k) \)
sin embargo esta última no entiendo cómo probarla formalmente, aunque intuitivamente es más que clara. ¿Cómo probar esta ecuación? Sé que es por inducción, pero este tipo de argumentos por inducción se me hacen particularmente complicados, en parte porque me dan la "sensación" de ser informales y no se me ocurren. Así mismo la prueba de que \( C \) consiste de los puntos que en base tres sólo consiste de \( 0 \) y \( 1 \) se me hace extraña y un poco informal.

¿Podrían mostrarme una demostración de esta ecuación?

EDITADO: La definición aquí asumida del conjunto de Cantor es por medio de la siguiente contrucción, definimos \( C_0=[0,1] \), el conjunto \( C_1 \) es retirar el intervalo \( (1/2,2/3) \) de \( C_0 \), en general definido  \( C_k \), el conjunto \( C_{k+1} \) se obtiene de \( C_k \) retirando de cada intervalo que lo compone el intervalo abierto del medio. El conjunto \( C \) es la intersección de los \( C_k \)

¡Gracias!
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Creo debes tener un problema en tu mente por el cual complicas las cosas y las afirmaciones más sencillas.

Sí, es un problema muy frecuente en este foro. Se llama saber matemáticas.

16 Enero, 2015, 01:35 am
Respuesta #1

Gustavo

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16 Enero, 2015, 08:42 am
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

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16 Enero, 2015, 03:53 pm
Respuesta #3

yotas

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Hola, yotas. ¿Qué es \( C_k \)?

He editado la pregunta colocando la definición. Los \( C_k \) son el k-ésimo paso de la construcción del conjunto de Cantor.
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Creo debes tener un problema en tu mente por el cual complicas las cosas y las afirmaciones más sencillas.

Sí, es un problema muy frecuente en este foro. Se llama saber matemáticas.

16 Enero, 2015, 11:15 pm
Respuesta #4

Fallen Angel

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Hola,

En ese caso, dado un intervalo (en la unión de un numero finito de intervalos es lo mismo) \( I=(a,b) \), \( f_{1}(I)=(\frac{a}{3},\frac{b}{3})\cup (\frac{a+2}{3},\frac{b+2}{3}) \) que es precisamente la forma de construir el conjunto de Cantor.

PS:Tienes una errata en tu edición, dice (1/2,2/3) y supongo que es (1/3,2/3) como usualmente.

Un saludo.
La Geometría es el arte de pensar bien, y dibujar mal.- H.Poincaré

17 Enero, 2015, 12:30 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

¿Podrían mostrarme una demostración de esta ecuación?

EDITADO: La definición aquí asumida del conjunto de Cantor es por medio de la siguiente contrucción, definimos \( C_0=[0,1] \), el conjunto \( C_1 \) es retirar el intervalo \( (1/2,2/3) \) de \( C_0 \), en general definido  \( C_k \), el conjunto \( C_{k+1} \) se obtiene de \( C_k \) retirando de cada intervalo que lo compone el intervalo abierto del medio. El conjunto \( C \) es la intersección de los \( C_k \)

Para poder tener una demostración totalmente formal de lo que pides, primero tienes que tener una definición totalmente rigurosa del conjunto de Cantor. Entonces primero tienes que decidir una forma de escribir formalmente el proceso de "retirar de cada intervalo que lo compone el intervalo abierto del medio". Precisamente una forma de formalizar esto es usar las aplicaciones auxiliares \( f_1 \) y \( f_2 \) que te dan y en ese caso no tendrías nada que probar, porque precisamente lo que te mandan probar sería tu definición formal del conjunto de Cantor.


Saludos.