[AlanMath]

Hola. Sea R un anillo (puede ser SIN unidad). Si x^n=x para todo x en R, existe alguna prueba corta (para n particulares) que implique que R es conmutativo?

Lo he resuelto para el caso n=2,3,4,5,6,7.

Alguien lo puede resolver para n=8?

[León]

Estoy un poco oxidado con estos temas pero, Mario, el inverso multiplicativo de cualquier elemento solo está en los anillos de división. En este caso se aclara que puede incluso no tener unidades, el anillo.

Me parece que AlanMath está haciendo preguntas difíciles de verdad, que tienen que ver con cosas mas o menos profundas de teoría. Los problemas de cardinalidad me tienen lemadezormizado hasta el mareo, por ejemplo 

[mario]

Tenés toda la razón, León. Lo mío ha sido medio trasnochado, y se ve que me quedé pensando en un grupo.
Lo siento

[carsecor]

Si R fuera Dominio de integridad, se tendría que es cuerpo, ya que x^n = x -->por ser DI --> x^n-1 =1 ---> x^n-2 = x^-1  , con n mayor o igual que 2.

Entonces (x^-1)*(y^-1)=(x^n-2)*(y^n-2) = (x*y)^n-2= (x*y)^-1 = (y^-1)*(x^-1)


osea, (x^-1)*(y^-1) = (y^-1)*(x^-1)    ----> x*y=y*x .


Es decir, sólo suponiendo que es dominio de integridad ya se tiene la conmutatividad para todo n mayor o igual que 2. Si no fuera DI , entonces ... no podríamos simplicar el x^n = x  , y a ver por donde se coge, ni idea ahora mismo.

[León]

Carlos, disculpame que siga rompiendo, pero...

> Si R fuera Dominio de integridad, se tendría que es cuerpo, ya que x^n = x -->por ser DI --> x^n-1 =1 ---> x^n-2 = x^-1  , con n mayor o igual que 2.

Creo que querés decir, si fuera 'un anillo sin divisores de cero' (no necesariamente conmutativo en las hipótesis...) ¿Un 'dominio de integridad' no es ya un anillo conmutativo además de sin divisores de cero? ¿O querés decir que es un anillo de división?

En este caso lo que querés probar es que es conmutativo y para peor fijate todos los elementos de los anillos de Alan son divisores de cero.

Me parece que tengo una punta para esto, pero todavía tengo que masticarla no se si poco o mucho todavía.

[carsecor]

si fuera 'un anillo sin divisores de cero'

Eso quería decir. Supongo que será cuestión de los libros de referencia. Yo siempre he considerado DI como anillo sin divisores de cero, sin tener en cuenta la conmutatividad.

Un saludo.

[AlanMath]

Pues las sugerencias que proponen facilitan la resolucion del problema en ciertos casos. Pero el problema no dice que el anillo sea dominio o sin divisores de cero, etc. Solo se sabe que es anillo.

Me han mencionado que Jacobson probo para n en general(n>=2). Alguno de ustedes saben si Jacobson asumio que el anillo tenga unidad?

Gracias.

[teeteto]

Si n es par puedes suponer, sin pérdida de generalidad que R tiene unidad.
Para el caso n impar no te se decir nada.

Podrías decirnos como has demostrado todos esos casos? no te dan ninguna idea para n cualquiera?

[AlanMath]

Para n=2
 -z=(-z)^2=z^2=z. Asi z=-z para todo z en R  (*)
    x+y=(x+y)^2=x^2+xy+yx+y^2=x+xy+yx+y. Entonces xy=-yx, pero por (**) -yx=yx. Luego xy=yx para todo x,y en R.

Para n=3
Si xz=0, zx=(zx)^3=zxzxzx=z00z=0    (**)
 x((x^2)y-y)=(x^3)y-xy=xy-xy=0, entonces por (**) anterior ((x^2)y-y)x=0, entonces (x^2)yx=yx, entonces (x^2)y(x^2)=yx^2, similarmente (x^2)y(x^2)=(x^2)y.
 Asi x^2 conmuta con todos (-x^2 tambien).
Por otro lado (x^2+x)^2=x^4+x^3+x^3+x^2=xx^3+x+x+x^2=x+x^2+x+x^2
           entonces (x^2+x)^3=(x+x^2)^2+(x+x^2)^2

luego x=x+x^2 -x^2=(x+x^2)^3 - x^2 =suma de elementos que conmutan con todos
Asi R es conmutativo.

Para n=4
Tambien se cumple (**) luego se prueba que x^3 conmuta con todos. Tambien x=-x .
(x+x^2)^2=(despues de simplificar) x+x^2 luego (x+x^2)^3=x+x^2

entonces x+x^2 conmuta con todos (#), luego (x+y+(x+y)^2)x=x(x+y+(x+y)^2) entonces despues de simplificar  y usar (#) resulta yx^2=(x^2)y  entonces x^2 conmuta con todos

Asi x=x+x^2  - x^2 =suma de elementos que conmutan con todos. Entonces x conmuta con todos para todo x.

Para n=5 y n=6 n=7 es similar pero es mas largo.

Las cosas que se observan es que para n par x=-x.
Para cualquier n , x^(n-1) conmuta con todos.

Creo que el truco es saber combinar las potencias sumas , multiplicaciones etc. para obtener que x conmuta con todos.