Si con la limitación de tamaño impuesta por Cantor se evitaban las paradojas en la teoría de conjuntos, y hasta ahora parece ser que sigue siendo así, ¿qué necesidad había de hacer una axiomática?
La necesidad impuesta por el hecho de que no tenemos ningún conocimiento intuitivo sobre los conjuntos que nos permita hace afirmaciones sobre ellos con la seguridad de que lo que decimos sea verdadero. Ante esta situación, en la que no podemos improvisar cosas del estilo de "esto es obviamente cierto", como podemos hacer, por el contrario, en el caso de la aritmética o de la geometría euclídea, exige, para que el trabajo matemático pueda considerarse riguroso, que se especifiquen las afirmaciones sobre conjuntos que se consideran aceptables (ya que verdaderas no tiene sentido asegurar que lo son) en el trabajo de los matemáticos. La matemática ha estado siempre rodeada de contradicciones, mucho antes de que apareciera la teoría de Cantor, lo que pasa es que los matemáticos las resolvían dando por hecho que los razonamientos que llevaban a contradicciones no servían. Me refiero a contradicciones relacionadas con el uso de infinitésimos, o de sumas infinitas, etc. Con una teoría axiomática presumiblemente consistente, como es ZFC o NBG, todo esto desaparece: ya no se trata de aceptar lo que parece que va bien y rechazar lo que claramente va mal, como se hacía antes, sino que hay un criterio claro y específico sobre qué es aceptable y que no.
Por lo demás, la axiomatización es imprescindible para demostrar resultados negativos, como que ciertas afirmaciones no pueden demostrarse ni refutarse.
Y, en cualquier caso, la axiomatización de la matemática no supone ninguna restricción. Supone comprender (mucho) mejor la naturaleza del razonamiento matemático, pues no introduce ninguna limitación relevante al razonamiento matemático y permite saber exactamente cuáles son sus limitaciones (limitaciones naturales, es decir, no impuestas por la axiomática, sino reveladas por ella).
Quizás alguna paradoja se podría generar usando definiciones circulares que también se podrían evitar, pero no creo que surja ninguna paradoja por otro lado.
Las paradojas son lo que menos preocupa a un matemático. Como te digo, han venido conviviendo con ellas durante siglos y nunca les han molestado. Simplemente, se apartaban de ellas y ya está. Para eso no hace falta una axiomática. Si por eso fuera, a los matemáticos les bastaría con no hablar de la clase de todos los conjuntos y similares. Y ya tendrían sus problemas resueltos en lo tocante a las paradojas. Lo verdaderamente importante de las teorías axiomáticas es que determinan con precisión qué razonamientos son válidos y cuáles no lo son. No en un sentido "nuevo" que los matemáticos se vean obligados a acatar, sino en el sentido de que lo permitido por la axiomática es exactamente lo que cualquier matemático aceptaría sin tenerla en cuenta sin más que un sentido crítico "moderno" que le haga rechazar ambigüedades y conceptos mal definidos que durante mucho tiempo se aceptaron sin más.
NBG maneja clases propias, pero ¿quién sabe? Quizá la restricción a fórmulas normales en la formación de clases nos esté quitando alguna clase interesante sin definición circular.
Claro que nos la quita. Si trabajas en MK (es decir, si eliminas esa restricción) puedes definir la clase de las sentencias del lenguaje de ZFC que son verdaderas tomando a la clase universal V como modelo. Dicha clase no puede definirse en NBG, porque permite demostrar que ZFC es consistente, luego si puediera definirse en NBG, la consistencia de ZFC podría demostrarse en ZFC (porque puede expresarse en términos de números naturales, y todo resultado sobre conjuntos demostrable en NBG es demostrable en ZFC) y entonces ZFC (luego también NBG) sería contradictoria.
De hecho, en muchos sitios dicen que NBG no es impredicativa porque no permite cuantificar sobre clases propias, esto no tiene mucho sentido, puedes estar cuantificando sobre conjuntos y la clase que vas a definir sea también un conjunto, con lo que serían definiciones circulares.
Mientras no tengas una definición operativa de circularidad, no soy capaz de dar sentido a esas afirmaciones.
La axiomatización finita del esquema de reemplazo sí que es claramente no circular, lo cual creo que le da buena credibilidad a esa teoría, al menos para matemáticos con un poco de prejuicios (aunque sólo los que mencioné arriba).
Y que sepan asignarle un significado a "circular".
Y otra cosa que no entiendo, el esquema de formación de clases de NBG, ¿no incluye gran cantidad de los axiomas como el par, partes, la gran unión, reemplazo....?
No, en absoluto. El axioma de formación de clases te permite probar, por ejemplo, que dados dos conjuntos, existe una clase que los tiene a ellos dos por elementos, y sólo a ellos, pero el axioma del par afirma que esa clase es un conjunto, lo cual no se deduce de lo primero.
