[Raúl Aparicio Bustillo]

¿Por qué algunos procesos se pueden repetir un número transfinito de veces,como cuando decimos para una variable\(  \forall{x}P(x) \) donde x es una fórmula de primer orden con variable libre x y quizás variables ligadas, que equivale a la disyunción  (en el caso de que el dominio sea numerable)\(  P(a_0)\wedgeP(a_1)\wedgeP(a_2)... \), y otras veces, como en el caso de sumas infinitas de números reales, no es válido (se define a través de un limite que no siempre existe, y no se conservan las propiedades del caso finito)

No vale decir que el \( \forall{x} \)sólo lo aplicamos un número finito de veces para números concretos, aunque a priori sabemos cuales son, porque a la vez estamos considerando la existencia del infinito actual admitiendo la existencia de conjuntos infinitos.

[Carlos Ivorra]

No veo el sentido a tu pregunta: está claro que siempre podemos plantear si una propiedad la cumplen todos los objetos o no (al menos una vez fijado un modelo que dé sentido a ese "todos"), mientras que no existe ningún concepto de "suma de infinitos números" que garantice la existencia de la suma de cualquier sucesión, como muestran los ejemplos obvios.

[Raúl Aparicio Bustillo]

Pero un proceso que esté bien definido, por ejemplo , el conjunto de las partes, lo puedes aplicar metamatemáticamente hasta un cierto ordinal metamatemático, con una buena definición claro, si estamos en un ordinal límite, siempre podemos definirlo como la gran unión de todos los Ps anteriores. Así que en algunos procesos si tiene sentido metamatemático hablar de repetirlos un número metamatemáticamente transfinito de  veces

[Carlos Ivorra]

Pero no es cierto que todo proceso que esté bien definido se pueda iterar transfinitamente. El operador "partes" sí, pero la suma de números naturales, o reales, está bien definida y no siempre tienen sentido sumas con infinitos sumandos. Y el ejemplo que pones en el primer hilo sobre cuantificadores ni siquiera es una iteración transfinita de nada. Estás poniendo en el mismo saco tres cosas que no tienen nada que ver entre sí. Sigo sin ver el sentido a tu pregunta.

[Raúl Aparicio Bustillo]

Pero por eso, que pararse en lo finito cuando hay procesos que se pueden iterar a lo transfinito no tiene mucho sentido. Con el mismo derecho puedo decir, aplico el poder\(  P^{-1}(V_\alpha)=V_{sup {V_\beta<\alpha} \) y completo la definición que\(  V_{\alpha+1}=P(V_\alpha) \) y ya tengo un proceso iterable hasta lo transfinito.

Pero eso mismo que haces aquí, no se puede hacer con un sumatorio. Las series condicionalmente convergentes es el claro ejemplo

[Carlos Ivorra]

Con el mismo derecho puedo decir, aplico el poder\(  P^{-1}(V_\alpha)=V_{sup {V_\beta<\alpha} \)

No entiendo qué significa eso.

[Raúl Aparicio Bustillo]

\( sup \beta<\alpha \) quiero decir la cota superior de los ordinales que están por debajo de \( \alpha  \), y la función P "las partes de" me refiero a la función convencional que asigna a un conjunto el conjunto de todos los subconjuntos propios de ese conjunto

[Carlos Ivorra]

\( sup \beta<\alpha \) quiero decir la cota superior de los ordinales que están por debajo de \( \alpha  \), y la función P "las partes de" me refiero a la función convencional que asigna a un conjunto el conjunto de todos los subconjuntos propios de ese conjunto

Sigo sin entenderlo. Los ordinales que están por debajo de  \( \alpha  \) tienen infinitas cotas, y si te refieres al supremo, entonces es \( \alpha \), así que no le veo el sentido al circunloquio. Tampoco sé qué es el -1 que pones encima de la P, pero en cualquier caso estás diciendo que \( P^{-1}V_\alpha = V_\alpha \), y no le veo sentido alguno.