[Raúl Aparicio Bustillo]

En las teorías de primer orden, siempre hay modelos no estandar (al menos algunos que no caracterizan bien el concepto de finitud) ¿En qué lógica está planteado el lenguaje natural que si nos permite percibirlo como tal?

[Carlos Ivorra]

Sobre eso se puede filosofar mucho. Mi opinión personal es que, cuando hablamos de lógica, queremos decir "lógica formal", y lo que sucede es que el lenguaje natural no es formal, sino que tiene en cuenta el significado preciso de las palabras que empleamos. Cuando decimos "sumar una unidad un número finito de veces", sabemos exactamente qué significa eso, y lo tenemos en cuenta en nuestros razonamientos. Sucede que este concepto de finitud no puede caracterizarse formalmente mediante la lógica de primer orden, es decir, no es posible dar unos axiomas que no dependan del significado posible de los conceptos involucrados y que obligue a que una posible definición de "finitud" signifique necesariamente lo que entendemos por "finito".

En teoría podemos caracterizar la finitud mediante lógica de segundo orden, pero eso es mera apariencia, porque no sabemos (siempre en mi opinión) atribuir un significado a los conceptos propios de la lógica de segundo orden (concretamente, a la cuantificación sobre variables de segundo orden), así que en realidad con eso no tenemos nada.

Pero no es que haya una lógica (formal) subyacente al lenguaje natural que sí caracterice el concepto de finitud, sino que lo que sucede es que el lenguaje natural NO es un lenguaje formal, no manipula las palabras prescindiendo de su posible significado, sino todo lo contrario, justifica numerosas afirmaciones, no a través de implicaciones formales, sino a partir del análisis de su significado concreto, justo lo que está prohibido en cualquier clase de lógica formal.

[Raúl Aparicio Bustillo]

Y ¿cómo crees? (esto ya es casi filosofía), que el lenguaje natural nos enseña el concepto de infinito, ¿ a qué ejemplos crees que recurre?


Y no se puede hacer un calculo deductivo en lógica de segundo orden, lo suficientemente restrictivo, que le dote de expresividad para habla del infinito. Supongo que no, porque en el momento en que metes un cuantificador  y dices \( \forall{} \), ya estás basando dicha lógica en una teoría de conjuntos subyacentes, pero bueno, no habrá una lógica intermedia que lo permita

Y siempre lo citas, pero nunca expones las razones por las que no crees que tengamos esa noción intuitiva de conjunto, al menos, de conjunto puro de ZFC. A veces aludes a la hipótesis del continuo, pero eso no es una razón, tampoco sabemos la solución de la conjetura de Goldbach, y sin embargo, nadie duda de su certeza o falsedad. De hecho, podría  ocurrir que fuera verdad o mentira sólo en el modelo estándar, ¿ qué respuesta daríamos aquí entonces? Obviamente, afirmaríamos que es verdad o mentira (según lo que ocurriera en el modelo estandar). Aunque no sé, ¿hay cuestiones para las cuales se puede plantear el teorema sobre números naturales metamatemáticamente, o algunos en los que sólo por principio ya se ve que tenemos que recurrir a demostraciones formales en lógica de primer orden, como por ejemplo, la sentencia de Gödel, es obvio que probando números, puedes encontrar una solución a una ecuación, pero probando números a ver si es solución, nunca vas a poder demostrar la no existencia de solución si el conjunto es infinito?

[Carlos Ivorra]

Y ¿cómo crees? (esto ya es casi filosofía), que el lenguaje natural nos enseña el concepto de infinito, ¿ a qué ejemplos crees que recurre?

Es que el lenguaje natural no puede enseñar el concepto de infinito. Piensa en un ejemplo más simple:

Imagina que unos extraterrestres del planeta Melmak han sido capaces de captar emisiones de radio de la Tierra y han aprendido a hablar castellano. Imagina que uno de ellos se pone en contacto contigo por radio y podéis hablar y entenderos a la perfección, pero no podéis veros. Imagina que tu amigo extraterrestre te dice que ha conseguido una foto de un humano, pero que tiene una duda al respecto: no sabe cuál de sus manos es la que llamamos "derecha" y cuál es la izquierda.

¿Cómo podrías explicarle la diferencia mediante el "lenguaje natural"? La respuesta es que no hay forma de hacerlo. Ignoro si hay algún fenómeno físico que permite distinguir la izquierda de la derecha, pero si es así, no es nada familiar, y podemos suponer que no se da el caso. Si tú pudieras ver la foto que ve tu amigo extraterrestre, podrías decirle: "la mano derecha es la que tiene más levantada" o "la que tiene con el puño cerrado", o "la que tiene junto a la barbilla", pero si no puedes ver la foto que él ve y no puedes hacer referencia a otras cosas, como la altura, la posición de los dedos, etc., no hay palabras que te permitan explicarle a un extraterrestre qué significa la palabra "derecha".

Y eso no significa que la palabra "derecha" no tenga un sentido absolutamente preciso e inequívoco. Pero la única forma en la que puedes explicarle a alguien cuál de tus dos manos es la derecha, es levantar la correcta y decir "ésta es ". No puedes definir "derecha", sólo "mostrar" el significado de la palabra. Si sólo puedes recurrir a las palabras, sólo te entenderá una frase en la que aparezca la palabra derecha aquel que ya sepa lo que significa la palabra derecha, si tiene que esperar a que tú se lo expliques (sólo con palabras) no hay ninguna posibilidad de entendimiento.

Con "finito" o "infinito" sucede lo mismo. No hay ninguna definición de estos conceptos que no sea circular e inválida (o, a lo sumo, reducirá el concepto a otros más elementales como "empezar" y "acabar" que a su vez no podrán ser definidos sin circularidad, pero eso sólo sería llevar el problema un paso atrás. La finitud o la infinitud, como la izquierda y la derecha, son conceptos intuitivos. La mente humana puede manejarlos, pero el lenguaje humano no puede definirlos. Lo máximo que podemos hacer es asociarlos a palabras por deixis (que es una forma fina de decir "señalando").

Y no se puede hacer un calculo deductivo en lógica de segundo orden, lo suficientemente restrictivo, que le dote de expresividad para habla del infinito. Supongo que no, porque en el momento en que metes un cuantificador  y dices \( \forall{} \), ya estás basando dicha lógica en una teoría de conjuntos subyacentes, pero bueno, no habrá una lógica intermedia que lo permita

Puedes crear semánticas para la lógica de segundo orden que en el fondo son teoría de conjuntos disfrazadas, con lo que en realidad no te resuelven ningún problema que no te resuelva la lógica de primer orden.

Y siempre lo citas, pero nunca expones las razones por las que no crees que tengamos esa noción intuitiva de conjunto, al menos, de conjunto puro de ZFC. A veces aludes a la hipótesis del continuo, pero eso no es una razón, tampoco sabemos la solución de la conjetura de Goldbach, y sin embargo, nadie duda de su certeza o falsedad. De hecho, podría  ocurrir que fuera verdad o mentira sólo en el modelo estándar, ¿ qué respuesta daríamos aquí entonces? Obviamente, afirmaríamos que es verdad o mentira (según lo que ocurriera en el modelo estandar).

No es cierto que nunca exponga razones. Lo que ocurre es que las he expuesto ya con tanto detalle y dando tantas vueltas que volver sobre ello sería para que me huyera todo lector. Me refiero al hilo

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=36072.msg200082#msg200082

El enlace es a mi primera intervención en él. Como es largo, algunos mensajes destacados son

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=36072.msg200617#msg200617

o

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=36072.msg203196#msg203196

y siguientes, y sobre todo a partir de

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=36072.msg203504#msg203504

y más aún a partir de aquí hacia el final:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=36072.msg203649#msg203649

Aunque no sé, ¿hay cuestiones para las cuales se puede plantear el teorema sobre números naturales metamatemáticamente, o algunos en los que sólo por principio ya se ve que tenemos que recurrir a demostraciones formales en lógica de primer orden, como por ejemplo, la sentencia de Gödel, es obvio que probando números, puedes encontrar una solución a una ecuación, pero probando números a ver si es solución, nunca vas a poder demostrar la no existencia de solución si el conjunto es infinito?

Gran parte de la matemática puede exponerse con todo rigor sin necesidad de ninguna teoría formal. Eso vale en particular para la demostración de los teoremas de incompletitud.

Por supuesto, aunque creo que en este caso es obvio, como suelo aclararlo, aclaro que todo lo que digo en este mensaje son opiniones mías cuestionables y no hechos estándar sobre lógica (aceptadas por cualquier especialista), que es lo que pretenden ser mis afirmaciones cuando no aclaro lo contrario.

[argentinator]

aclaro que todo lo que digo en este mensaje son opiniones mías cuestionables y no hechos estándar sobre lógica (aceptadas por cualquier especialista), que es lo que pretenden ser mis afirmaciones cuando no aclaro lo contrario.

¿Y cómo puede hacer yo para darme cuenta de cuándo algo es "estándar" en un procedimiento, definición o concepto metamatemático?

Lo estándar tiene el objetivo de ser homogéneo para todo el mundo, y da una base sólida para argumentar y rebatir.

Si yo quiero hacer una afirmación sobre los fundamentos, al igual que sobre cualquier otra cosa, necesito estar en pie de igualdad ante quien me va a rebatir el argumento. O bien, saber dónde estoy parado para poder decir "a partir de aquí lo que digo no es lo estándar".

Soy conciente de que estoy desviando el tema. (Por si les parece que haga falta dividirla).

[Carlos Ivorra]

¿Y cómo puede hacer yo para darme cuenta de cuándo algo es "estándar" en un procedimiento, definición o concepto metamatemático?

Lo estándar tiene el objetivo de ser homogéneo para todo el mundo, y da una base sólida para argumentar y rebatir.

Creo que no has entendido mi aclaración. Con "estándar" me refería a lo que uno puede encontrar en cualquier libro de lógica. Precisamente, sobre todo cuando hablo con Sailor, procuro dejar bien claro cuando doy una respuesta "estándar" en el sentido de que si le pregunta a cualquier otro matemático le responderá lo mismo (por ejemplo, si le digo que tal cosa es un teorema de ZFC, o que la consistencia de tal teoría es equivalente a la de tal otra) y cuándo estoy respondiendo cosas sobre los que otros matemáticos pueden tener puntos de vista distintos.

Lo estándar tiene el objetivo de ser homogéneo para todo el mundo, y da una base sólida para argumentar y rebatir.

Si yo quiero hacer una afirmación sobre los fundamentos, al igual que sobre cualquier otra cosa, necesito estar en pie de igualdad ante quien me va a rebatir el argumento. O bien, saber dónde estoy parado para poder decir "a partir de aquí lo que digo no es lo estándar".

Soy conciente de que estoy desviando el tema. (Por si les parece que haga falta dividirla).

No estaba tratando de marcar ninguna frontera sutil, sino una muy clara y elemental: si en un momento digo que la consistencia de ZFC implica la de NFA, se trata de algo bastante complicado de probar, y no sería plan tratar de justificarlo aquí, pero en ese caso debo aclarar que Sailor puede aceptar mi palabra (aunque no justifique mi afirmación) en la medida en que esté dispuesto a aceptar lo que dicen los libros, con la seguridad (salvo error por mi parte, pues cualquiera puede equivocarse) de que no hay en mi afirmación nada que dependa de puntos de vista personales cuestionables. Por el contrario, cuando afirmo que no existe una definición formal de "infinitud", ahí ya no puedo asegurar que no haya algún matemático que sepa mucho más que yo y que opine lo contrario. Por lo que cualquiera que me lea deberá decidir si comparte o no mi criterio y bajo ningún concepto aceptar que lo que digo es "un hecho", como es un hecho lo que digo si digo que el último teorema de Fermat está demostrado.

Me parece que es importante hacer esta distinción para evitar malentendidos.

[Raúl Aparicio Bustillo]

Y ¿cómo crees? (esto ya es casi filosofía), que el lenguaje natural nos enseña el concepto de infinito, ¿ a qué ejemplos crees que recurre?

Con "finito" o "infinito" sucede lo mismo. No hay ninguna definición de estos conceptos que no sea circular e inválida (o, a lo sumo, reducirá el concepto a otros más elementales como "empezar" y "acabar" que a su vez no podrán ser definidos sin circularidad, pero eso sólo sería llevar el problema un paso atrás. La finitud o la infinitud, como la izquierda y la derecha, son conceptos intuitivos. La mente humana puede manejarlos, pero el lenguaje humano no puede definirlos. Lo máximo que podemos hacer es asociarlos a palabras por deixis (que es una forma fina de decir "señalando").

Pero tú cuando manejas conceptos intuitivos como el de recta, pintas una franja muy fina e intuitivamente lo simplificas a una linea "infinitamente" delgada, intuitivamente entendemos que debemos despreciar el grosor para razonar sobre el concepto matemático de recta, aunque es necesario un grosor mínimo para que nuestros sentidos lo detecten. Sin embargo, ¿con qué asociamos lo finito metamatemáticamente hablando?. ¿Qué ejemplo del mundo real le asociamos? Con lo de la idea de conjunto como tal que es demasiado concebirlo metamatemáticamente para nuestra mente, incluso los conjuntos de números reales. Es imposible imaginarse por ejemplo la forma de un conjunto sin medida

[Carlos Ivorra]

Pero tú cuando manejas conceptos intuitivos como el de recta, pintas una franja muy fina e intuitivamente lo simplificas a una linea "infinitamente" delgada, intuitivamente entendemos que debemos despreciar el grosor para razonar sobre el concepto matemático de recta, aunque es necesario un grosor mínimo para que nuestros sentidos lo detecten. Sin embargo, ¿con qué asociamos lo finito metamatemáticamente hablando?. ¿Qué ejemplo del mundo real le asociamos?

No me lo preguntes a mí, pregúntaselo a un niño de diez años, que lo sabe tan bien como tú y como yo. Un niño tiene claro que 1 es una cantidad finita, 2 también, 3, también, pero cuando pregunta cuál es el mayor número y se le explica que siempre que llegamos a un número podemos sumarle uno y tenemos otro mayor, entiende perfectamente lo que significa que los números son infinitos. No porque le hayamos "definido" infinito en el lenguaje natural, sino porque entiende lo que significa "empezar a contar y no terminar nunca".

Con lo de la idea de conjunto como tal que es demasiado concebirlo metamatemáticamente para nuestra mente, incluso los conjuntos de números reales. Es imposible imaginarse por ejemplo la forma de un conjunto sin medida

Ahí tienes un ejemplo de por qué no podemos decir que conocemos intuitivamente la totalidad de los conjuntos de números reales. Nuestra intuición no nos permite "visualizar" algo así, pero tampoco nos asegura que no exista tal cosa. La existencia de conjuntos no medibles no es ni verdadera ni falsa intuitivamente (al contrario que la existencia de cuatro líneas perpendiculares dos a dos, que sí que podemos decir que es falsa intuitivamente). No es que no sepamos si existen o no conjuntos no medibles, sino que no tenemos ningún criterio para asegurar que, intuitivamente, o bien es cierto o bien es falso que existen conjuntos no medibles. (Por el contrario, podemos decir que intuitivamente la conjetura de Goldbach es verdadera o falsa, aunque no sepamos cuál es el caso.)

Por eso, no es posible hacer teoría de la medida sin fijar una teoría formal suficientemente potente como para que, a falta de un criterio que nos determine si una afirmación es verdadera o falsa, al menos tengamos un criterio que determine si es demostrable o refutable. En ZFC resulta ser demostrable, en ZF más el axioma de determinación es refutable, mientras que en ZF es indecidible.