Autor Tema: Estadístico suficiente y completo , UMVUE , intervalo de confianza

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28 Julio, 2007, 08:55 pm
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dakgabry

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Hola , me dirijo a ustedes porque he realizado un ejercicio de estadística y me gustaría saber si está bien o mal ( es que me huele a que hay algo que falla ) y a parte tengo una duda en uno de los apartados (apartado "c"), el ejercicio es el siguiente :

Sea X1, ... ,Xn una m.a.s extraida de una población cuya función de densidad viene dada por :

\( f(x,\alpha) = \displaystyle\frac{x}{\alpha}exp\left\{{-\displaystyle\frac{x^2}{2\alpha}}\right\} \) , x>0 , \( \alpha \)>0

Hallar :

    a) Un estadístico suficiente y completo para la familia dada.
    b) El UMVUE de \( \alpha \)
    c) Un intervalo de confianza asintótico para \( \displaystyle\frac{1}{\alpha} \) a un nivel del 95% , utilizando las propiedades asintóticas del estimador de máxima verosimilitud de \( \displaystyle\frac{1}{\alpha} \)


Ahora bien , yo como he realizado dicho ejercicio es de la siguiente forma :

       a) Para este apartado , para poder calcular dicho estadístico suficiente y completo lo más sencillo es utilizar el método de karakostas , así pues :
                     \( f(\underline{x},\alpha) = \displaystyle\frac{\displaystyle\prod_{i=1}^n X_i}{\alpha} exp \left\{{-\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n X^2_i }{2\alpha}}\right\} \)

                     \( lnf(\underline{x},\alpha) = -\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n X^2_i }{2\alpha} ln \displaystyle\frac{\displaystyle\prod_{i=1}^n X_i}{\alpha} \)


Asi pues he tomado como estadístico suficiente y completo :
       
                     T(x) = \( \displaystyle\sum_{i=1}^n X^2_i  \)

         b) Para dicho apartado lo que me huele mal un poco es lo que escribire a continuación , que es que \( X^2_i\sim{exp(\displaystyle\frac{1}{2\alpha})}\sim{G(\displaystyle\frac{1}{2\alpha},1)} \), asi pues \( \displaystyle\sum_{i=1}^n X^2_i\sim{G(\displaystyle\frac{1}{2\alpha},n)}  \) .

ahora bien para calcular dicho UMVUE , llamando s=T(x)

          \( f_s(s) = \displaystyle\frac{(\displaystyle\frac{1}{2\alpha})^n}{(n-1)!}s^n^-^1exp\left\{{-\displaystyle\frac{s}{2\alpha}}\right\} \)

         ahora bien multiplicamos y dividimos por 2\( \alpha \) y multiplicamos y dividimos por n y s para poder ajustar la formula y sacar el UMVUE  y nos quedaría :

                \( f_s(s) = 2\alpha \displaystyle\frac{1}{(2\alpha)^n^+^1}\displaystyle\frac{1}{n!}s^n exp\left\{{-\displaystyle\frac{s}{2\alpha}}\right\}\displaystyle\frac{n}{s} \)

Asi pues el UMVUE de \( \alpha \) es \( \displaystyle\frac{s}{n} \) o más explícito \( \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n X^2_i }{n} \) , el hecho de suponer que hay algo que huele mal es al pricipio del apartado el afirmar que \( X^2_i\sim{Exp(\displaystyle\frac{1}{2\alpha})} \) , porque el procedimiento del cálculo del UMVUE "creo" que está bien pero lo anterior es lo que me hace sospechar de que podría estar mal el apartado b)

     c) Para este apartado lo que he intentado es aplicar el metodo asintótico basado en el teorema central del límite , pero claro no me atrevo a aplicarlo porque no sé que distribución sigue X , porque si lo supiera aplicando dicho método que es de sustitución de los parámetros de la hipótesis hallaria \( K_1 \) y \( K_2 \) a un nivel del 95 %

Muchas gracias de antemano , Un saludo