[poolnikov]

Hola a todos.
Busco exámenes de oposiciones de matemáticas, tengo especial interés en conseguir los exámenes de la comunidad de Madrid y de Valencia de los últimos años, esto es, del 2010 y 2012. Pero bueno, cualquier exámen de problemas de los últimos años es bien recibido.
El objetivo es intentar resolverlos y colgarlos aquí.
Gracias a todos por vuestra ayuda.
Saludos.

[poolnikov]

Cantabria 2012

Ejercicio 1:

"Demostrar que \( x(x+1)(x+2)(x+3)+1 \) es un cuadrado perfecto.

[Luis Fuentes]

Hola

Cantabria 2012

Ejercicio 1:

"Demostrar que \( x(x+1)(x+2)(x+3)+1 \) es un cuadrado perfecto.

Por ejemplo si hacemos el cambio \( x=y-\dfrac{3}{2} \) (y el objetivo es buscar simetría en el producto) queda:

\( (y-3/2)(y-1/2)(y+1/2)(y+3/2)+1=(y^2-9/4)(y^2-1/4)+1= \)

\( =y^4-\dfrac{5}{2}y+\dfrac{25}{16}=\left(y^2-\dfrac{5}{4}\right)^2 \)

Deshaciendo el cambio:

\( y^2-\dfrac{5}{4}=x^2+3x+1 \)

y por tanto:

\( x(x+1)(x+2)(x+3)+1=(x^2+3x+1)^2 \)

Saludos.

P.D. Otra opción es igualar a \( (x^2+bx+c)^2 \), desarrollar igular coeficientes y hallar \( b \) y \( c \).

[poolnikov]

Hola.
Gracias, yo estaba intentándolo por inducción, y no había llegado a nada.
En breve pongo más.
Un saludo.

[Fernando Revilla]

Como curiosidad. Una vez hechos los cálculos obtendrás:

          \( p(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)+1=(x^2+3x+1)^2. \)

Te planteo una especie de recíproco: dado \( p(x)=(x^2+3x+1)^2 \), expresarlo en la forma:

          \( p(x)=c_0+c_1x+c_1x(x+1)+c_2x(x+1)(x+2)+c_3x(x+1)(x+2)(x+3), \)

y naturalmente obtendrás \( c_0=1,\;c_1=c_2=0,\;c_3=1. \)

Spoiler

En el problema 5.11 tienes una solución general del problema:

http://fernandorevilla.es/wp-content/uploads/2014/01/Problemas-de-A%CC%81lgebra-Lineal1.pdf

[cerrar]

[poolnikov]

Gracias por el aporte.
Saludos

[poolnikov]

Aragón 2006

Problema 2:
Un gerente sólo da plazas de restaurante mediante reserva de mesa.
Sabe que el 15% de las reservas no asistirán. Si el restaurante acepta
25 reservas pero sólo dispones de 20 mesas, calcular la probabilidad de:
a) Que dos reservas se queden sin mesa.
b) Que se ajusten las reservas a las mesas.
c) Que no haya "overbooking" (más reservas que mesas).

[Luis Fuentes]

Hola

 Si llamas \( X \) a la variable aleatoria número de asistentes es una binomial \( B(25,0.85) \).

 Entonces:

 a) \( P(X=22) \)
 b) \( P(X=20) \)
 c) \( P(X\leq 20)=1-P(X=25)-P(X=24)-P(X=23)-P(X=22)-P(X=21) \)

Saludos.

[poolnikov]

Que fácil.
Yo estaba metiendome en un charco sin fondo.
Gracias. Saludos.

[poolnikov]

Aragón 2006

Problema 3:

Considerar un cono de revolución con una esfera inscrita tangente a la
base del cono. Circunscribimos a esta esfera un cilindro de forma que
una de sus bases esté sobre la base del cono. Sean \( V_1 \) el volumen del
cono y \(  V_2 \) el del cilindro.
a) Probar que \( V_1 \) es desigual a \( V_2 \).
b) Encontrar el menor número \( k \) para el que \( V_1 = kV_2 \); para este caso
construir el ángulo bajo el que se ve un diámetro de la base del
cono desde el vértice del mismo.