Autor Tema: (P y Q) implica que (si P, entonces Q)

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19 Octubre, 2012, 10:20 am
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Dani

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Estoy intentando demostrar la afirmación del título del post. Es decir, si \( \alpha \) y \( \beta \) son fórmulas, entonces es cierto que:

\( (\alpha \wedge \beta) \vdash (\alpha \rightarrow{ \beta}) \)

Esto significa que \( ¬ (\alpha \rightarrow{ ¬ \beta}) \vdash (\alpha \rightarrow{ \beta}) \)

Pero a partir de aquí no se me ocurre cómo deducir la parte de la derecha de la de la izquierda. Algo me hace intuir que, partiendo de \( \alpha \) y \(  ¬(\alpha \rightarrow{\beta})  \) y tomando el recíproco del teorema de la deducción, puedo llegar a \( \beta \) mediante la regla TND (es decir, \( \vdash \beta \vee ¬\beta \)), pero no consigo llegar a nada. ¿Alguna idea?

PD: La intuición me hace pensar que si no es cierto que P implica no Q (es decir, que P y Q), entonces es cierto que P implica Q, porque "o Q es, o no es" (TND).

19 Octubre, 2012, 10:49 am
Respuesta #1

teeteto

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\( (\alpha\wedge \beta)\rightarrow \beta \)

\( \beta \rightarrow (\alpha\rightarrow\beta) \)

Concluye.
Debemos saber...sabremos (David Hilbert)

19 Octubre, 2012, 12:41 pm
Respuesta #2

Dani

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\( (\alpha\wedge \beta)\rightarrow \beta \)

\( \beta \rightarrow (\alpha\rightarrow\beta) \)

Concluye.


Vale, y Modus Barbara del primero al segundo. Entonces el "truco" era utilizar el axioma K1. No lo veía.

Gracias por tu respuesta  :)

22 Octubre, 2012, 06:03 pm
Respuesta #3

Dani

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Tengo que hacer una aclaración sobre el origen de mi problema, ya que utilizando el resultado del título del post estoy teniendo algunos conflictos.

Originariamente quería demostrar lo siguiente (abrir spoiler):

Spoiler
Sean \( A \) y \( B \) dos conjuntos y \( f:A\rightarrow{B} \) una función. Sea \( R \) el grafo de esta función, esto es, \( R = \left\{{(a, f(a)) | a \in{ A}}\right\} \).

Entonces \( R \) tiene la siguiente propiedad: cada elemento de \( A \) es el primer componente de uno y solo un par ordenado de \( R \).
[cerrar]

Yo he entendido que he de demostrar esto (y aunque no lo fuera, me interesa igualmente demostrar su verdad o su falsedad):

\( \left ({a} \in{(a,f(a))} \wedge {a} \in{(a, f'(a))}\right) \Rightarrow{(a, f(a)) = (a, f'(a))} \), siendo \( f:A\rightarrow{B} \) y \( f':A\rightarrow{B} \) funciones distintas.

A simple vista es evidente que esto es falso. ya que por ejemplo \( x \in{(x, x^{2})} \)  y  \( x \in{(x, 3x)} \), y no es verdad que \( f(x) = x^{2} \)  y  \( f'(x) = 3x \) sean la misma función.
Pero veamos qué pasa cuando a partir de una conjunción (\( \alpha \wedge \beta \)) infiero una implicación (\( \alpha \rightarrow{\beta} \)).

Tomando \( \alpha \equiv{(a, f(a))} \)  y  \( \beta \equiv{(a, f'(a))} \), tenemos que

\(  \left ({a} \in{(a,f(a))} \wedge {a} \in{(a, f'(a))}\right) \),

como el orden en el que escribamos la conjunción es equivalente ("P y Q" es lo mismo que "Q y P"), tenemos que

\( \left ({a} \in{(a,f(a))} \Rightarrow{{a} \in{(a, f'(a))}\right)} \)   y   \( \left ({a} \in{(a,f'(a))} \Rightarrow{{a} \in{(a, f(a))}\right)} \)

por lo que, aplicando la definición de subconjunto en ambos casos,

\( (a, f(a)) \subseteq{(a, f'(a))} \)   y   \( (a, f'(a)) \subseteq{(a, f(a))} \),

lo que implica

\( (a, f(a)) = (a, f'(a)) \).

Así, \( f(a) = f'(a) \).

Yo lo que veo es que es a partir del momento en el que utilizo el resultado que ha demostrado teeteto es cuando se empiezan a "descontrolar" las cosas y llego a un resultado que no es cierto.

¿Dónde me estoy equivocando?

Editado: lo siento, dentro del spoiler olvidé cerrar entre paréntesis los elementos R, que dan a entender que lo que contiene éste son pares ordenados.

24 Octubre, 2012, 05:07 am
Respuesta #4

specu

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No sé si logro entender bien el planteo, pero veamos. Una cosa es afirmar \( q \) y otra muy distinta  \( p \to q \).

Consideremos:
 
\( (x \in A) \wedge (x \in B) \  \to \  (A = B) \)

La validez del antecedente implica, si se trata de un lenguaje de primer orden con \( x \) arbitrario y con \( A \) y \( B \) constantes, que es verdadero para cualquier sustitución de \( x \), o sea, que es equivalente con:

\( \forall x (x \in A \wedge x \in B) \)

Es decir, todo individuo pertenece tanto a \( A \) como a \( B \). De ello se sigue naturalmente que A y B son ambos el conjunto de todos los individuos y, por tanto, son, por su puesto, iguales.

Saludos

25 Octubre, 2012, 11:14 pm
Respuesta #5

Dani

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Parece que ha habido un error en el foro y se han perdido muchos mensajes. Solo decir que el tema ya había quedado solucionado gracias a Carlos Ivorra. Gracias por tu ayuda, Carlos, como siempre  :)

Al final mi error consistía en que no escribía el cuantificador cuando debía, y eso hacía que a partir del caso particular \( x = \left\{{{a}}\right\} \in{(a, f(a))} \)  y  \( x = \left\{{{a}}\right\} \in{(a, f(a))} \Rightarrow{(a, f(a)) = (a, f'(a))} \) me despistara y generalizara erróneamente que eso se cumplía para todo \( x \).

También tenía otros fallos, pero si mal no entendí eran consecuencias de éste.

25 Octubre, 2012, 11:24 pm
Respuesta #6

Carlos Ivorra

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También tenía otros fallos, pero si mal no entendí eran consecuencias de éste.

Ese era esencialmente el único fallo. Lo otro que te comentaba en el mensaje que se ha perdido era en relación a tu pregunta más general sobre la posibilidad de omitir cuantificadores.