[jacks]

Let \( S = \left\{20,21,22,23,.....210\right\} \). Consider all positive differences of elements of \( S \).

If \( M \) is the Sum of all these differences, find the Sum of the digits of \( M \)

[filomates]

La suma de los dígitos de M da 18
Por otra parte M=1137150.
Si he acertado, expondré el razonamiento. En caso contrario, seguiré pensando.
Adelanto que la idea principal es que las diferencias positivas entre todos los números son sucesiones finitas {1,2,3,...,190},
{1,2,3,..., 189}, ....{1,2,3}, {1,2}, {1}.
En total hay 190 de tales sucesiones cada vez más cortas.
Si sumamos todas ordenadamente, vemos que el 1 aparece 190 veces, el 2 aparece 189 veces, ...., el 190 aparece 1 vez
y que la suma es \(  \displaystyle\sum_{k=1}^{190}{k(190-k)}  \)
Esta suma puede hacerse aplicando las propiedades de los símbolos sumatorios y las formulas de la suma de los n primeros números naturales y la delos n primeros cuadrados de los números naturales.
¿Me equivoqué o acerté? En caso de error,¿en los cálculos o en el planteamiento?
Bueno, espero respuesta.
Saludos.

[jacks]

Thanks filomates for Nice answer

but original question is

Let \( S = \left\{2^0,2^1,2^2,2^3,.....2^{10}\right\} \). Consider all positive differences of elements of \( S \).

If \( M \) is the Sum of all these differences, find the Sum of the digits of \( M \)

[filomates]

Bueno, parece que una confusión creó otro problema diferente del original, pero también interesante.
Gracias jacks, por corregir la confusión .
Ahora me centro en el problema "auténtico"
Bien, creo que el problema se resuelve de la misma manera.
Razonando de igual manera que en la entrada anterior, se llega a que la suma de las diferencias que nos piden es \(  \displaystyle\sum_{k=1}^{10}{k\cdot 2^k}  \)
Ahora la dificultad está en encontrar una fórmula para esa suma. Esa fórmula existe y aunque no la he deducido, si que la he encontrado en un libro y es \(  \displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k\cdot 2^k}=2(2^n\cdot n-2^n+1)  \).
Aplicando esa fórmula para n=10 llegamos a M=18434. La suma de las cifras de M es 20.

¿Es correcto el resultado? ¿Es correcto el razonamiento?
Además me pregunto: ¿Existirá algún procedimiento para resolver este problema que nos de la suma de las cifras de M sin necesidad de encontrar previamente M?
Saludos y hasta la próxima

[pierrot]

Hello jacks, filomates

Ahora la dificultad está en encontrar una fórmula para esa suma. Esa fórmula existe y aunque no la he deducido, si que la he encontrado en un libro y es \(  \displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k\cdot 2^k}=2(2^n\cdot n-2^n+1)  \).

One way to deduce this formula is defining \( \displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n k\cdot 2^k \). Then:

\( \left\{\begin{align*} a_1&=2 \\a_{n+1}&=a_n+(n+1)\cdot 2^{n+1}\end{align*}\right. \)

From this equations we can find an explicit formula for \( a_n \) using the theory of linear recurrence relations.

Greetings from Uruguay

[jacks]

Thanks Pablon and filomates

[filomates]

Se que es raro contestar a un mensaje de hace 10 años, pero me he topado con este problema, lo he vuelto a resolver y he encontrado algunas cosas que hay que corregir

Hello jacks, filomates

Ahora la dificultad está en encontrar una fórmula para esa suma. Esa fórmula existe y aunque no la he deducido, si que la he encontrado en un libro y es \(  \displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k\cdot 2^k}=2(2^n\cdot n-2^n+1)  \).

One way to deduce this formula is defining \( \displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n k\cdot 2^k \). Then:

\( \left\{\begin{align*} a_1&=2 \\a_{n+1}&=a_n+(n+1)\cdot 2^{n+1}\end{align*}\right. \)

From this equations we can find an explicit formula for \( a_n \) using the theory of linear recurrence relations.

Greetings from Uruguay

Me voy a dedicar primero a deducir la fórmula para \(     \displaystyle\sum_{k=1}^n{k2^k}     \)

Spoiler

  Considero un valor de k fijo y la diferencia \(  (k+1)2^{k+1} -k2^k   \) y vamos a desrrollarla
\(   (k+1)2^{k+1} - k2^k = 2^k (2(k+1)-k)=2^k (k+2)    \)
Ahora sumamos todas esas igualdades desde k=1 hasta k=n
\( \displaystyle\sum_{k=1}^n{ (k+1)2^{k+1} - k2^k} = \displaystyle\sum_{k=1}^n{2^k (k+2)} \)
El primer miembro de la igualdad es una suma telescópica, de manera que queda \(  (n+1)2^{n+1}-2    \), mientras que el segundo miembro lo podemos expresar como \(   \displaystyle\sum_{k=1}^n{k2^k}+2\displaystyle\sum_{k=1}^n{2^k}   \)
Sabemos además que \(   \displaystyle\sum_{k=1}^n{2^k} = 2^{n+1} -2  \)
Hemos llegado a que \(  (n+1)2^{n+1} - 2 = \displaystyle\sum_{k=1}^n{k2^k} +2(2^{n+1}-2)   \)
De ahí podems despejar, simplificar y llegar a \(   \displaystyle\sum_{k=1}^n{k2^k} =(n-1)2^{n+1}+2  \), que es la fórmula que manejaba en entradas antriores de este hilo
 

[cerrar]

En una próxima entrada/respuesta pretendo resolver los dos problemas que se plantean en el mismo. A ver si ahora doy la respuesta correcta, que me parece que la que di en su momento, aunque nadie intervino para aclarar, no es la correcta.
Por supuesto, si alguien "se motiva" es bienvenido a poner su solución, faltaría más

[Richard R Richard]

Otra forma de calcular M es


\( M=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^n(2i-n)2^i \)


Pero no te libras de resolver \( i2^i \) que vuelve a aparecer.


Si existe una  forma de calcular la suma de los dígitos me imagino debe provenir desde la perspectiva de  hacer esto en binarios, números de base 2.

[Juan Pablo Sancho]

Para sacar el sumatorio en general:
\( P = 1 \cdot k + 2 \cdot k^2 + 3 \cdot k^3 \cdots +  n \cdot k^n  \)
\( kP = k^2 + 2 \cdot k^3 + 3 \cdot k^4 + \cdots + n \cdot k^{n+1}  \)
Restamos:
\( P-kP = k + k^2 + k^3 + \cdots + k^n - n \cdot k^{n+1}  \)
\( P-kP = \dfrac{k-k^{n+1}}{1-k} - n \cdot k^{n+1}  \)
Si \(  k\neq 1 \) en nuestro caso \( k=2 \).
\( P = \dfrac{k-k^{n+1}}{(1-k)^2} - n \cdot \dfrac{k^{n+1}}{1-k}  \)

[Richard R Richard]

 Aplicando lo antedicho por Juan Pablo
Obtengo \( M=4+n+2^{n+1}(n-2) \) 

solo se me ocurre hacer que

\( 4=2^2 \)\( n=10=2^3+2 \)
entonces para el caso particular \( n=10 \)
\( M=2^2+2^3+2+2^{n+1}(2^3+2-2)=2^2+2^3+2^1+2^{n+4}=2^2+2^3+2^1+2^{14}= \)
quizá exista una forma mas fácil que  desconozco para \( n \) arbitrario

en binario es fácil ver que \( M=10000000001110 \)
pero no veo forma de evitar calcular M en decimal para sumar sus cifras, \( M=2+4+8+16384=16398 \)
luego la suma de sus dígitos es \( \mathbf{27} \) Oopps!!! corregido.
 

Spoiler

para verificar empíricamente en \( n=3 \)
 con valores 1,2,4,8  las diferencias son \( 7+6+4+2+3+1=23 \)

y

\( M(3)=4+n+2^{n+1}(n-2)=4+3+2^{3+1}(3-2)=7+16=23 \)


verifica y la suma de sus dígitos es 5.

[cerrar]

Saludos