Lo que está en este spoiler se debe a que había asumido que \( S=\{20,\ldots ,210\} \), luego he visto el tercer mensaje del hilo mostrando que era un error de transcripción.La suma de las diferencias positivas viene dada por la expresión \( \sum_{20\leqslant j<k\leqslant 210}(k-j) \). Con algo de álgebra y cálculo finito obtenemos
\( \displaystyle{
\begin{align*}
\sum_{20\leqslant j<k\leqslant 210}(k-j)&=\sum_{20\leqslant j\leqslant k\leqslant 210}(k-j)\\
&=\sum_{k=20}^{210}\sum_{j=20}^{k}(k-j)\\
&=\sum_{k=20}^{210}\left(k(k-19)-\tfrac1{2}(k+1)^{\underline{2}}+190\right)\\
&=\sum_{k=20}^{210}(k^{\underline{2}}-18k-\tfrac1{2}(k+1)^{\underline{2}}+190)\\
&=\left[\frac{k^{\underline{3}}}{3}-9k^{\underline{2}}-\frac{(k+1)^{\underline{3}}}{6}+190\right]_{20}^{211}\\
&=\frac1{6}\left[ k^{\underline{2}}(k-59)\right]_{20}^{211}+191^{\underline{2}}\\
&=1161280
\end{align*}
} \)
donde \( a^{\underline{k}} \) es un factorial descendente y donde el último paso lo he hecho con una calculadora. Por tanto la suma de los dígitos sería \( 19 \) (la cuenta anterior también la he comprobado con el Wolfram y me da lo mismo).
Igualmente la expresión "la suma de todas las diferencias positivas" es un poco vaga, quizá no se corresponda con la suma anterior sino con "la suma de todas las diferencias positivas distintas", entonces la suma inicial sería \( \sum_{k=1}^{190}k=191\cdot 95=18145 \) por lo que el resultado final sería entonces \( 19 \) (curiosamente da el mismo resultado, no sé si será una coincidencia o hay algo más profundo ahí a considerar).
Añado: bueno, el primer cálculo se puede simplificar mucho si hacemos el cambio de variable \( k-j=r \), entonces tenemos que
\( \displaystyle{
20\leqslant j\leqslant k\leqslant 210\iff 0\leqslant r\leqslant 210-j\,\land\, 20\leqslant j\leqslant 210\\
\therefore\quad \sum_{20\leqslant j<k\leqslant 210}(k-j)=\sum_{j=20}^{210}\sum_{r=0}^{210-j}r=\frac1{2}\sum_{j=20}^{210}(211-j)^{\underline{2}}=\frac1{2}\sum_{s=1}^{191}s^{\underline{2}}=\frac1{6}192^{\underline{3}}=64\cdot 95\cdot 191=1161280
} \)