[filomates]

La fórmula \(  M=n+4+(n-2)2^{n+1}  \) es correcta, me parece, pero hay que explicar de dónde viene.
Por lo demás los resultados coinciden con lo que me sale. La suma de las cifras de M sale 27.
Aparte de esto, el reto está en encontrar una manera de hallar las suma de las cifras de M sin saber M, si es que es posible

[Richard R Richard]

Cada termino de la suma de M es \( 2^i-2^j \)  si desarrollas


\( M=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=0}^{i-1}2^i-2^j \)

Si haces factor común verás que \( 2^n \) aparece \( n \) veces sumando  y ninguna restando, \( 2^{n-1} \) aparece \( n-1 \) veces sumando y una vez restando por lo que operando sumará solo \( n-2 \) veces...
\( 2^0 \) resta las n veces.

Entonces \( (2i-n) \) representa el resultado de calcular el factor común \( 2^i \) al desarrollar los sumatorios

Rearmando un nuevo sumatorio queda

\( M=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^n(2i-n)2^i \)


Luego se aplica lo juan pablo indica




\( M=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^n(2i-n)2^i=2\left[\dfrac{2-2^{n+1}}{(1-2)^2} - n \cdot \dfrac{2^{n+1}}{1-2}\right]-n\displaystyle \sum\limits_0^n 2^i \)




luego recordar que


cuando \( k=2 \)este termino queda


\(  \displaystyle \sum\limits_0^n 2^i=2^{n+1}-1 \)


luego reemplazamos y el resto es operar



\( M=2\left[2-2^{n+1} + n 2^{n+1}\right]-n2^{n+1}+n \)



\( M=4+n+2^{n+1} (-2+ 2n -n) \)

\( M=n+4+(n-2)2^{n+1}  \)


Saludos

[Masacroso]

EJERCICIO ALTERNATIVO

Lo que está en este spoiler se debe a que había asumido que \( S=\{20,\ldots ,210\} \), luego he visto el tercer mensaje del hilo mostrando que era un error de transcripción.

La suma de las diferencias positivas viene dada por la expresión \( \sum_{20\leqslant j<k\leqslant 210}(k-j) \). Con algo de álgebra y cálculo finito obtenemos

\( \displaystyle{
\begin{align*}
\sum_{20\leqslant j<k\leqslant 210}(k-j)&=\sum_{20\leqslant j\leqslant k\leqslant 210}(k-j)\\
&=\sum_{k=20}^{210}\sum_{j=20}^{k}(k-j)\\
&=\sum_{k=20}^{210}\left(k(k-19)-\tfrac1{2}(k+1)^{\underline{2}}+190\right)\\
&=\sum_{k=20}^{210}(k^{\underline{2}}-18k-\tfrac1{2}(k+1)^{\underline{2}}+190)\\
&=\left[\frac{k^{\underline{3}}}{3}-9k^{\underline{2}}-\frac{(k+1)^{\underline{3}}}{6}+190\right]_{20}^{211}\\
&=\frac1{6}\left[ k^{\underline{2}}(k-59)\right]_{20}^{211}+191^{\underline{2}}\\
&=1161280
\end{align*}
} \)

donde \( a^{\underline{k}} \) es un factorial descendente y donde el último paso lo he hecho con una calculadora. Por tanto la suma de los dígitos sería \( 19 \) (la cuenta anterior también la he comprobado con el Wolfram y me da lo mismo).

Igualmente la expresión "la suma de todas las diferencias positivas" es un poco vaga, quizá no se corresponda con la suma anterior sino con "la suma de todas las diferencias positivas distintas", entonces la suma inicial sería \( \sum_{k=1}^{190}k=191\cdot 95=18145 \) por lo que el resultado final sería entonces \( 19 \) (curiosamente da el mismo resultado, no sé si será una coincidencia o hay algo más profundo ahí a considerar).

Añado: bueno, el primer cálculo se puede simplificar mucho si hacemos el cambio de variable \( k-j=r \), entonces tenemos que

\( \displaystyle{
20\leqslant j\leqslant k\leqslant 210\iff 0\leqslant r\leqslant 210-j\,\land\, 20\leqslant j\leqslant 210\\
\therefore\quad \sum_{20\leqslant j<k\leqslant 210}(k-j)=\sum_{j=20}^{210}\sum_{r=0}^{210-j}r=\frac1{2}\sum_{j=20}^{210}(211-j)^{\underline{2}}=\frac1{2}\sum_{s=1}^{191}s^{\underline{2}}=\frac1{6}192^{\underline{3}}=64\cdot 95\cdot 191=1161280
} \)

[cerrar]

Ups, no había observado que el problema original estaba mal transcrito y que \( S=\{2^k: k\in\{0,\ldots ,10\}\} \), en ese caso la suma sería

\( \displaystyle{
\begin{align*}
\sum_{0\leqslant j<k\leqslant 10}(2^k-2^j)&=\sum_{0\leqslant j\leqslant k\leqslant 10}(2^k-2^j)\\
&=\sum_{j=0}^{10}\sum_{r=0}^{10-j}2^j(2^r-1)\\
&=\sum_{j=0}^{10}2^j\left(2^{11-j}-1-11+j\right)\\
&=\sum_{j=0}^{10}(2^{11}-12\cdot 2^j+j2^j)\\
&=11\cdot 2^{11}-12\cdot 2^{11}+12+\left(j2^j-\sum 2^{j+1}\delta j\right)_{0}^{11}\\
&=-2^{11}+11\cdot 2^{11}-2\cdot 2^{11}+14\\
&=2^{14}+14\\
&=16398
\end{align*}
} \)

donde el último paso se hizo con una calculadora. Si se consideran los dígitos en binario entonces la suma sería \( 4 \). En cifras decimales sería \( 27 \).