Autor Tema: 3 problemas de combinanatoria

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12 Noviembre, 2011, 09:46 pm
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Enigma

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
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Hola.
¿Quién me puede ayudar con los siguientes tres problemas de combinatoria?

1.-  Hay tres deportistas destacados que van a recibir premios. Si hay 4 candidatos a esto premios, ¿de cuántas maneras diferentes pueden distribuirse estos premios (suponiendo que ninguna persona puede recibir más de un premio)?

2.- Se tira una sola vez un par de dados. Si la suma de los dos es cuando menos igual a 7, calcular la probabilidad de que sea igual a\(  i \) para \( i = 7,8,9,10,11,12. \)

3.- En una prisión cuya población es de 100 individuos, se van a seleccionar al azar dos personas para ponerlas en libertad. ¿Cuál es la probabilidad de que el más viejo de los presos sea 1 de los 2 elegidos? ¿Qué se seleccione la pareja formada por el más viejo y el más joven?

Mil gracias!!

13 Noviembre, 2011, 10:54 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 1) El primer premio lo puede conseguir cualquiera de los cuatro; para el segundo cualquiera de los tres restantes; para el tercero...

 2) Se trata de una probabilidad condicionada.

 Si llamas:

 \( X \)=suma de los dos dados

 tienes que calcular:

\( \color{red} P(X=i/X\geq 7)=\dfrac{P(X=i\cap X\geq 7)}{P(X\geq 7)}=\dfrac{P(X=i)}{P(X\geq 7)}\color{black} \)

 Nota que:

\( \color{red} P(X\geq 7)=P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)+P(X=11)+P(X=12)\color{black} \)

 y finalmente ten en cuenta que:

\(  P(X=i)=\dfrac{casos\quad favorables}{casos\quad totales} \)

 Los casos totales son los distintos resultados de tirar dos dados: \( 6\times 6=36 \) opciones.

 Ahora los favorables por ejemplo para obtener un diez, serían \( 6-4,5-5,4-6 \), es decir, tres casos.

 Concluye...

 3) Por ejemplo la probabilida de que se elija al más viejo es:

 - Qué se elija de primero:

\(  \dfrac{1}{100}\cdot \dfrac{99}{99} \)

 - Qué se elija de segundo:

\(  \dfrac{99}{100}\cdot \dfrac{1}{99} \)

 En total:

\(  \dfrac{2}{\color{red}100\color{black}} \)

Con estas ideas completa los ejercicios.

Saludos.

CORREGIDO (gracias PabloN)

20 Noviembre, 2011, 12:16 am
Respuesta #2

pierrot

  • pabloN
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En (2) se puede hallar la distribución de esa VA discreta. Llamemos \( \displaystyle X_1 \) al resultado del primer dado y \( \displaystyle X_2 \) al resultado del segundo. Entonces \( \displaystyle X_1 \) y \( \displaystyle X_2 \) son iid cuya función de probabilidad es \( \displaystyle  p_{X_1}(x)=p_{X_2}(x)=\frac{1}{6},\ \forall x\in \{1,2,\dots,6\}=R_{X_1}=R_{X_2} \). Sea \( \displaystyle Y=X_1+X_2 \). Sabemos que el rango de \( Y \) es \( R_{Y}=\{2,3,\dots,12\} \) y queremos determinar su función de probabilidad. Si \( k\in R_Y \) se tiene que

\( \begin{align*}p_Y(k)=P(\{Y=k\})=P(\{X_1+X_2=k\})&=\sum_{x \in \mathbb{R}}P(\{X_1+X_2=k\}\cap\{X_1=x\})\\&=\sum_{x\in \mathbb{R}}P(\{X_1=x\}\cap \{X_2=k-x\})\\ &\stackrel{X_1,X_2\ iid}{=}\sum_{x\in \mathbb{R}}P(\{X_1=x\})\cdot P(\{X_2=k-x\})\\ &=\sum_{\substack{x\ \in\ R_{X_1}\\ k-x\ \in\ R_{X_2}}} \underbrace{p_{X_1}(x)}_{=\frac{1}{6}}\underbrace{p_{X_2}(k-x)}_{=\frac{1}{6}}\end{align*} \)

Este cálculo nos dice que \( p_Y(k) \) será \( \displaystyle \frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\cdots+\frac{1}{36} \) donde habrá tantos sumandos como soluciones enteras haya de la ecuación \( \displaystyle x_1+x_2=k \) donde \( \displaystyle 1\leq x_1\leq 6 \) y \( \displaystyle 1\leq x_2 \leq 6 \). Lo primero que se advierte es que \( \displaystyle x_1+x_2=k \Leftrightarrow{} \underbrace{(x_1-1)}_{\bar{x}_1}+\underbrace{(x_2-1)}_{\bar{x}_2}=k-2 \). Por tanto el problema de calcular la función de probabilidad de \( Y \) se reduciría a calcular la cantidad de soluciones enteras de \( \bar{x}_1+\bar{x}_2=k-2 \) donde ahora \( 0\leq \bar{x}_1\leq 5 \) y \( 0\leq \bar{x}_2\leq 5 \). Si se aplica inclusión-exclusión, se llega a que la cantidad de sumandos es \( C^{k-1}_{k-2}-2C^{k-7}_{k-8}+C^{k-13}_{k-14} \). Ahora imponiendo la restricción de \( 2\leq k \leq 12 \) se tiene que \( C^{k-1}_{k-2}=k-1 \), \( C^{k-7}_{k-8}=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \mbox{si}& 2\leq k\leq 7\\k-7 & \mbox{si}& 8\leq k\leq 12\end{array}\right. \) y el tercer término vale 0. Entonces la función de probabilidad de \( Y \) será:

\( \displaystyle p_Y(k)=P(Y=k)=\left\{\begin{array} (k-1)\frac{1}{36} & \mbox{ si }& 2\leq k\leq 7\\(13-k)\frac{1}{36} & \mbox{ si }& 8\leq k\leq 12\end{array}\right. \)

Teniendo la ley que rige a \( Y \) es fácil calcular lo que se pide.

Si la suma de los dos es cuando menos igual a 7, calcular la probabilidad de que sea igual a\(  i \) para \( i = 7,8,9,10,11,12. \)

Ahí no me queda claro qué quiere decir "cuando menos igual a 7". Supongo que quiere decir cuándo suma menos, suma 7. Si es así lo que sabemos de antemano es que \( Y\geq 7 \). No estoy seguro de ésto, al parecer el_manco ha interpretado que se trata exactamente de lo contrario. La verdad que yo nunca sentí de una expresión similar; si dijera "cuando más igual a 7" interpretaría \( Y\leq 7 \) pero es algo que a mi me parece, vuelvo a repetir que nunca sentí hablar de estas expresiones. Si fuera así como digo, lo que se pide hallar es \( \displaystyle P(\{Y=i\}|\{Y\geq 7\})=\frac{P(\{Y=i\}\cap \{Y\geq 7\})}{P(\{Y\geq 7\})} \). Como \( i=7,8,\dots,12 \) y todos estos valores son mayores o iguales a 7, la probabilidad anterior es: \( \displaystyle \frac{P(\{Y=i\})}{P(\{Y\geq 7\})} \). Si fuera como dice el_manco las probabilidades pedidas valdrían todas 0 a excepción del caso \( i=7 \), ya que si \( i>7 \), los sucesos \( \{Y=i\} \) y \( \{Y\leq 7\} \) son disjuntos.

En el ejercicio (3) una alternativa a la planteada por el_manco sería pensar que se elige a la pareja de personas de una vez sola, y no en forma separada primero una y luego la otra, y finalmente multiplicar las probabilidades por independencia. Entonces para la primer pregunta, "¿Cuál es la probabilidad de que el más viejo de los presos sea 1 de los 2 elegidos?" tenemos que contar todos los subconjuntos de 2 personas en que está el más viejo y dividirlo entre la cantidad total de subconjuntos de 2 personas que se pueden formar a partir de las 100 que conforman la población carcelaria. Este número sería \( \displaystyle \frac{99}{C^{100}_2}=\frac{1}{50} \) que es el mismo resultado que le da a el_manco (hay una errata en el mensaje, se ve claramento que la idea era \( \displaystyle \frac{1}{100}\cdot \frac{99}{99}+\frac{99}{100}\cdot \frac{1}{99}=\frac{2}{100} \) y ha quedado un denominador 99 seguramente del típico CTRL+C, CTRL+V  :laugh:). Análogamente para la segunda pregunta, será un subconjunto particular de 2 personas (el formado por el más joven y el más viejo) sobre todos los suconjuntos posibles, o sea, \( \displaystyle \frac{1}{C^{100}_{2}} \).

Saludos a ambos.
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21 Noviembre, 2011, 10:10 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Gracias por las correcciones PabloN.

 En cuanto al "cuando menos igual a 7" yo lei "menor o igual que siete". Pero sin duda "cuando menos igual a 7" se refiere a \( \geq 7 \). En otro caso no tendría sentido calcular la condicionada bajo esas condiciones para \( i=8,9,10,11,12 \) (sería trivialmente nula).

Saludos.