Adjunto el primer examen, no sé cuando se tomó. Espero comentarios, un abrazo a todos.
Parte I: Algebral Lineal1. Sea \( V \) un espacio vectorial de dimensión finita. Determine la forma canónica de Jordan de un operador nilpotente \( T:V\rightarrow{V} \) de índice 4 tal que \( \dim V=11 \), \( \dim T(V)=6 \), \( \dim T^2(V)=3 \) y \( \dim T^3(V)=1 \).
2. Considere los polinomios:
\( f(x)=(x^2+1)^3(x-2)^4 \) y \( g(x)=(x^2+1)^2(x-2)^2 \)
(a) Determine todas las formas de Jordan posibles para matrices \( n\times n \) complejas cuyos polinomios mínimo y característico sean, respectivamente, \( f(x) \) y \( g(x) \)
(b) Para cada forma de Jordan encontrada, determine la foma canónica racional correspondiente.
3. Sea \( V \) el espacio vectorial de las matrices \( n\times n \) con entradas reales. Considere el producto interno \( <A,B>=traza (A^tB) \).
(a) Sea \( P \) una matriz ortogonal, esto es \( P^t=P^{-1} \). Pruebe que la aplicación lineal \( \rho_P:V\rightarrow{V} \) dada por \( \rho_P(A)=PAP^{-1} \) es una isometría de \( V \) con respecto a \( <,> \).
(b) Sean \( A\in V \) y \( ||A||=\sqrt[ ]{<A,A>} \) la norma de \( A \). Pruebe que toda \( A\in V \) simétrica posee al menos un autovalor menor o igual a \( ||A||/\sqrt[ ]{n} \) y al menos un autovalor mayor o igual a \( ||A||/\sqrt[ ]{n} \). Sugerencia: expresar \( ||A|| \) en términos de los autovalores de \( A \).
4. Sea \( T \) un operador lineal en un espacio vectorial complejo \( V \) con producto interno.
(a) Muestre que si \( W \) es un subespacio de \( V \) invariante por \( T \), entonces \( T*(W^{\perp{}})\subset{W^{\perp{}}} \).
(b) Muestre que las siguientes afirmaciones sobre \( T \) son equivalentes:
i) \( T \) es normal.
ii) \( ||T(v)||=||T*(v)|| \) para todo \( v\in V \).
iii) Si \( v\in V \) y \( c\in\mathbb{C} \) son tales que \( T(v)=cv \),entonces \( T*(v)=\bar{c}v \).
iv) Existe una base ortonormal de \( V \) formada por autovectores de \( T \).
