Autor Tema: Exámenes de Calificación

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29 Julio, 2011, 06:46 am
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enloalto

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Saludos compañeros del foro, hace muuuuuuucho tiempo que no entraba, me da alegría volver a escribir un post acá, espero que todos se encuentren muy bien ;). Felizmente fui aceptado para hacer maestría en la Universidad Federal Fluminense, de Niterói-Río de Janeiro-Brasil y al terminar el primer ciclo se da un examen, llamado " examen de calificación" que consta de una prueba escrita de dos exámenes, Análisis en \( \mathbb{R}^n \) y Álgebra Lineal (dura aproximadamente 4 horas) que es muy importante para seguir o no en la maestría(en el caso de que sean becados); el motivo de mi mensaje es preguntar a los administradores si puedo colocar los exámenes y con ayuda de ustedes resolverlos. Podría simplemente colocar cada pregunta en los foros correspondientes como ejercicios separados, pero creo que se perdería la esencia de ser un examen. Debo indicar además, que el examen generalmente es igual a los que se toman en el desarrollo del curso, que no asuste el nombre.

Creo que puede ayudar a muchos compañeros para que se tenga una idea de esa clase de exámenes.
Espero con mucho gusto su respuesta.
Saludos a todos.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

29 Julio, 2011, 05:27 pm
Respuesta #1

enloalto

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Adjunto el primer examen, no sé cuando se tomó. Espero comentarios, un abrazo a todos.
Parte I: Algebral Lineal

1. Sea \( V \) un espacio vectorial de dimensión finita. Determine la forma canónica de Jordan de un operador nilpotente \( T:V\rightarrow{V} \) de índice 4 tal que \( \dim V=11 \), \( \dim T(V)=6 \), \( \dim T^2(V)=3 \) y \( \dim T^3(V)=1 \).

2. Considere los polinomios:
\( f(x)=(x^2+1)^3(x-2)^4 \) y \( g(x)=(x^2+1)^2(x-2)^2 \)
(a) Determine todas las formas de Jordan posibles para matrices \( n\times n \) complejas cuyos polinomios mínimo y característico sean, respectivamente, \( f(x) \) y \( g(x) \)
(b) Para cada forma de Jordan encontrada, determine la foma canónica racional correspondiente.

3. Sea \( V \) el espacio vectorial de las matrices \( n\times n \) con entradas reales. Considere el producto interno \( <A,B>=traza (A^tB) \).

(a) Sea \( P \) una matriz ortogonal, esto es \( P^t=P^{-1} \). Pruebe que la aplicación lineal \( \rho_P:V\rightarrow{V} \) dada por \( \rho_P(A)=PAP^{-1} \) es una isometría de \( V \) con respecto a \( <,> \).

(b) Sean \( A\in V \) y \( ||A||=\sqrt[ ]{<A,A>} \) la norma de \( A \). Pruebe que toda \( A\in V \) simétrica posee al menos un autovalor menor o igual a \( ||A||/\sqrt[ ]{n} \) y al menos un autovalor mayor o igual a \( ||A||/\sqrt[ ]{n} \). Sugerencia: expresar \( ||A|| \) en términos de los autovalores de \( A \).

4. Sea \( T \) un operador lineal en un espacio vectorial complejo \( V \) con producto interno.
(a) Muestre que si \( W \) es un subespacio de \( V \) invariante por \( T \), entonces \( T*(W^{\perp{}})\subset{W^{\perp{}}} \).
(b) Muestre que las siguientes afirmaciones sobre \( T \) son equivalentes:

i) \( T \) es normal.
ii) \( ||T(v)||=||T*(v)|| \) para todo \( v\in V \).
iii) Si \( v\in V \) y \( c\in\mathbb{C} \) son tales que \( T(v)=cv \),entonces \( T*(v)=\bar{c}v \).
iv) Existe una base ortonormal de \( V \) formada por autovectores de \( T \). 
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

29 Julio, 2011, 07:57 pm
Respuesta #2

Tanius

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Una idea para el primero. Si \( T \) es nilpotente, su polinomio característico es de la forma \( (-1)^nt^n \) donde \( n \) es la dimensión del espacio vectorial. También puedes ver que el cero es su único valor propio, esto ya te debe dar una idea de la forma canónica de Jordan. Para determinarla explícitamente, puedes recurrir a un diagrama de puntos (teniendo en cuenta además que \( \dim T^n(V) =0 \) para todo \( 4\le n \)).

29 Julio, 2011, 09:05 pm
Respuesta #3

enloalto

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Hola Tanius, muchas gracias por participar, digité la primera parte sobre álgebra, ahora estoy saliendo, cuando regrese hago lo de análisis, voy a ver como resuelvo la 1 con tu indicación, crees que sería bueno ponerlo en spoiler? he visto que en un post del foro hacen eso. Qué opinas??

Abrazos.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

29 Julio, 2011, 09:35 pm
Respuesta #4

Tanius

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Sería adecuado que las pusieras en spoiler por si alguien quiere intentar hacer los problemas por su cuenta, pero no me parece estrictamente necesario (no es el foro de problemas propuestos).

03 Agosto, 2011, 06:04 am
Respuesta #5

Arturo Gómez

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Suerte en la prueba. Acabo de terminar ese mismo mestrado, es muy buen ambiente y cursos serios.