[sauron]

Varias veces me he encontrado con el siguiente problema:
Sea G un conjunto con una operacion de multiplicacion que cumple
1) Es asociativa
2) existe e en G tal que ea=a para todo a en G
3) para todo a en G existe a-1 de modo que a-1a=e
Probar que G es un grupo.

Seguro que es muy sencillo, pero no termina de salirme a no ser que imponga hipotesis de unicidad para e y para a -1. ¿Alguien me ayuda?

Otro problema curioso que he visto es el siguiente:

Sea G un conjunto con una operacion denotada por / que cumple:
1) existe un elemento 1 en G tal que a/b=1 si y solo si a=b
2) Si a,b,c estan en G, entonces (a/c)/(b/c)=a/b
Probar que G junto con la operacion definida por ab=a/(1/b) es un  grupo

Un saludo

[xhant]

El unico truco  es ver que el inverso a izquierda tambien es inverso a la derecha, tomando b = aa-1, entonces bb = aa-1aa-1 = aa-1 = b, de donde b = e.

[sauron]

Tienes razon en lo que dices, pero empleas mas cosas de las que se suponen ciertas en los apartados 1,2 y 3. En concreto de bb=b y de 1,2,3 no se deduce que e=b.

Al final me salio el primer problema, pero os dejo que lo penseis un tiempo mas a ver cual es la solucion que obteneis.

[narun]

Que bb=b se extrae de la siguiente cadena
bb = (aa-1)(aa-1 ) = a(a-1(aa-1 ))=a((a-1a)a-1 ) =a(ea-1) =aa-1= b

Es decir,  bb = b. Y por tanto e = b-1b-1bb = b-1b-1b = b-1e

Entonces, multiplicando por b a la derecha
 b = eb = b-1eb = b-1b = e

Sin usar nada más que las condiciones dadas.

[xhant]

Tienes razon en lo que dices, pero empleas mas cosas de las que se suponen ciertas en los apartados 1,2 y 3. En concreto de bb=b y de 1,2,3 no se deduce que e=b.

Pero usando que b-1b = e, entonces b = eb = b-1bb = b-1b = e.

[narun]

    Del segundo ejercicio se me atravesó la asociatividad.

[narun]

Me puse el cerebro en remojo, me pasé un poco de piedra pómez para quitar el callo y (aunque lioso) salió el segundo sin demasiadas complicaciones.

Espero que se entienda y que no haya metido mucho la pata.

Un saludo