[DNBracco]

Hola tengo demasiadas dudas sobre los espacios vectoriales,si tengo un conjunto  que bajo las condiciones estandar de suma, o sea,
 sea v=(x,y,z) y w=(l,m,n) => v+w=(x+l,y+m,z+n), y la multiplicacion por un escalar definida como kv=(kx,ky,kz), No cumple con las condicines de espacio vectorial, no es posible,(en muchas casos), redefinir la suma y el producto de tal forma que se cumplan las condiciones buscadas?, y que es lo que se logra haciendo esto?.
Que es lo que me proporciona un espacio vectorial? un tipo de geometria?, que es lo que varia cuando redefino la suma y el producto.??.
Podría decirse que toda la matematica practica gira en torno a los espacios vectoriales?', o sea todos los elementos con los que uno trabaja, funciones, numeros, etc. son elementos de un espacio vectorial?

[teeteto]

Es cierto que la estrucutra de espacio vectorial es muy importante, no obstante, creo que LA estructura por antonomasia y la que más frutos da es la de módulo. Por si no lo conoces, te diré que es "como un espacio vectorial" solo que los escalares no están en un cuerpo sino en un anillo.
Puedes buscar más sobre módulos en cualquier libro de algebra conmutativa

[MagnusBarfod]

DN: En general no va a ser posible, definir sobre tu conjunto una operacion suma y producto "como uno quiera", como tenes bases, y todo lo que hagas sobre una base se puede extender linealmente a todos los demas elementos del conjunto vas a estar limitado.

Un espacio vectorial es una de las estructuras matematicas, con las que es mas facil de trabajar. Podes definir casi cualquier operacion sobre una base del espacio vectorial y despues extendes por linealidad.

No ganas mucho cuando definis la suma y el producto de otra forma, al fin y al cabo todo espacio vectorial de dimension finita es isomorfo a algo de la forma  Kn, donde K es el cuerpo con el que estas trabajando (reales, complejos, etc.). Esto es no importa lo dificil que sea la suma y el producto, siempre lo podes tomar como el producto y la suma en Kn (la identificacion se hace tomando coordenadas).