Autor Tema: Mediana y modo de una variable más una constante

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18 Diciembre, 2009, 02:57 pm
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aesede

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Hola.

Si una variable es en realidad una variable más una constante, demuestre:
a) cuánto vale la media
b) cuánto vale la mediana
c) cuánto vale el modo
d) cuánto vale el desvío


Eso dice el enunciado, nada más. Supongo que hace referencia a una variable \( Y_i = X_i + c \) donde \( X \) e \( Y \) son variables y \( c \in \mathbb{R} \). Supongo también que conozco la media, mediana y modo de la variable \( X \), que son \( \overline{X} \), \( \widetilde{X} \) y \( Mo_X \), respectivamente.

a) \( \overline{Y} = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{Y_i} = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i+c)} = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{X_i} + \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{c} = \overline{X} + \displaystyle\frac{n \cdot c}{n} = \overline{X} + c \)

b) y c) Supongo que si corremos la distribución \( c \) unidades, el modo y la mediana también se correrán \( c \) unidades, por lo que \( \widetilde{Y} = \widetilde{X} + c \) y \( Mo_Y = Mo_X + c \), pero no sé cómo demostrarlo.

d) \( {\sigma_Y}^2 = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{(Y_i - \overline{Y})^2} = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i + c - \overline{X} - c)^2} = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i - \overline{X})^2} = {\sigma_X}^2 \). Luego \( \sigma_X = \sigma_Y \).

Gracias de antemano, saludos.

20 Diciembre, 2009, 08:33 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

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Los apartados a) y d) están perfectamente demostrados. Entiendo que digas que b) y c) te sean difíciles de demostrar, suele ocurrir con cuestiones aparentemente triviales.

b) Sean los datos \( x_1\leq{x_2\leq{\ldots\leq{x_n}}} \) y sea \( m_x \) la mediana de estos.

Caso 1: \( n \) impar. Entonces, \( m_x=x_{(n+1)/2} \). Tenemos:

\( y_1=x_1+c\leq{y_2=x_2+c\leq{\ldots\leq{y_n=x_n+c}}} \)

Por tanto \( m_y=y_{(n+1)/2}=x_{(n+1)/2}+c=m_x+c \)

Caso 2: \( n \) par. Entonces \( m_x=\displaystyle\frac{x_{n/2}+x_{n/2+1}}{2} \) y en consecuencia

\( m_y=\displaystyle\frac{y_{n/2}+y_{n/2+1}}{2}=\displaystyle\frac{(x_{n/2}+c)+(x_{n/2+1}+c)}{2}=m_x+c \)

Intenta el apartado c) con la misma idea.

Saludos.

20 Diciembre, 2009, 09:16 pm
Respuesta #2

aesede

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Pff, a veces las cosas más sencillas son las que más cuesta ver... :)

Gracias por la explicación, entiendo todo.

Una última cosa. Para el modo, no tengo ninguna fórmula para empezar más que \( Mo_x = x_k \; / \; n_k = max(f_i) \; ; \; i = 1,2,...,n \). Evidentemente, al sumarle a todas las variables la misma constante, las relaciones entre ellas no se alteran, por lo que el valor modal sigue siendo el k-ésimo valor. Pero creo que ésto no es suficiente demostración.

Agradecería que me digas cómo seguir, y disculpas por ser tan insistente.

Gracias de nuevo, saludos.

20 Diciembre, 2009, 09:38 pm
Respuesta #3

Dogod

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Hola, para el a), un humilde aporte, parece y si no recuerdo mal esta es una propiedad que afirma que si a los valores de esa variable se les suma una misma cantidad, la media queda aumentada en esa cantidad:

\( y_i = x_i + k \). Como el valor de la variable de este problema, se entiende que se repite \( n_i \) veces, tu media es:

\(  \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{y_i.n_i}}{n} \)

\( \overline{Y}= \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{y_i.n_i}}{n} \), reemplazando el valor de \( y_i = x_i + k... \) y utilizando las propiedades de la sumatoria se llega lo que ya demostraste. También hay un caso similar no para cuando se suma si no para cuando se multiplica por una constante.



Un saludo ;)
Las cosas pasan es por algo, y no hay mal que por bien no venga dicen en mi tierra...

20 Diciembre, 2009, 09:54 pm
Respuesta #4

Fernando Revilla

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Si \( x_1,\ldots,x_k \) son datos distintos dos a dos y \( f_1,\ldots,f_k \) son sus respectivas frecuencias, entonces su moda \( M_x \) se define por:

\( M_x=x_i\Leftrightarrow{f_i=\max\left\{{f_j:j=1,\ldots,k}\right\}} \)

La aplicación \( f:\left\{{x_1,\ldots,x_k}\right\}\rightarrow{\left\{{c+x_1,\ldots,c+x_k}\right\}} \) dada por \( f(x_j)=y_j=c+x_j \) es biyectiva. Puedes concluir.

Saludos.

P.D. Sinceramente, no creo que el examinador te obligue a tal grado de formalidad en estas cuestiones. Puede ser similar a demostrar \( 2+2=4 \), al final caemos en una cierta circularidad.

20 Diciembre, 2009, 09:59 pm
Respuesta #5

aesede

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Tenés razón, quizás sea demasiado. Probablemente alcance con una explicación, sin demostrarlo, ya que es un poco (bastante) evidente. De todos modos entendí esto último.

Muchísimas gracias Phidias :)

Saludos.