Autor Tema: Definición sigma álgebras numerables

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17 Diciembre, 2009, 02:33 pm
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*Rafa*

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Hola.

Tengo un par de preguntas sobre una definición.

Un \( \sigma \)-algebra, \( \mathfrak{A} \), es una familia de sucesos de \( \Omega \) con las siguientes propiedades:

\( A\in{\mathfrak{A}} \) sii \( A^c\in{\mathfrak{A}} \)
Si \( \{A_n\} \) es una clase numerable de sucesos de \( \mathfrak{A} \), \( \cap_{1}^\infty{A_n}\in{\mathfrak{A}} \) y \( \cup_{1}^\infty{A_n}\in{\mathfrak{A}} \)

Mi pregunta es, ¿Qué es una clase? Es que ya lo he visto en varios sitios, y yo siempre he traducido "clase" por "familia", pero no sé si habrá algún matiz que lo diferencie. Por ejemplo, arriba si sustituyo "clase" por "familia", creo que la definición sería la misma... pero no sé, prefiero asegurarme.
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La otra pregunta que tengo es:
Esta definición de \( \sigma \)-algebra la estamos viendo en un curso de probabilidad de 2º, y no quieren meterse mucho en cosas de \( \sigma \)-algebras y medidas, pero... ¿la definición que puse arriba podría ser equivalente a esta que he visto en un libro?

Una clase \( \mathfrak{A}\in{P(\Omega)} \) tiene estructura de \( \sigma \)-algebra si y solo si verifica:
\( \Omega\in{\mathfrak{A}} \),  \( A\in{\mathfrak{A}} \) sii \( A^c\in{\mathfrak{A}} \)
Si \( \{A_n\} \) es una clase numerable de sucesos de \( \mathfrak{A} \), \( \cup_{1}^\infty{A_n}\in{\mathfrak{A}} \)

Es que no veo cómo pueden quitar la condición de la intersección resultado equivalente.


Saludos.

17 Diciembre, 2009, 05:31 pm
Respuesta #1

argentinator

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Clase = Familia = Conjunto.

Las palabras clase y familia se suelen usar cuando hablamos de un conjunto que contiene a otros conjuntos.
Es sólo una distinción pedagógica, no matemática.

18 Diciembre, 2009, 03:33 pm
Respuesta #2

*Rafa*

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Hola.

Vale argentinator, muchas gracias.

Saludos.