Autor Tema: Construcción de los sistemas numéricos

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16 Octubre, 2011, 09:57 pm
Respuesta #60

argentinator

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Principal * N Z Q R C +


Bueno, la forma algorítimica de la suma se puede hacer más o menos fácilmente, pero tiene que ser con dígitos binarios.

Con dígitos en base diez no sé, tendría que pensarlo un poco más.



Lo que puede hacerse con el mismo procedimiento, usando cualquier base b de dígitos, es lo de las aproximaciones.



Como lo problemático está en la parte decimal, diría que mejor conviene trabajar sólo con esa parte, y lo demás es sólo rutina.

Sean \( x=(0, m), y=(0, m') \), donde \( m,m' \) son "mantisas".
Esto quiere decir que \( m,m' \) son sucesiones \( m=\{a_n\}_{n=1}^\infty,m'=\{b_n\}_{n=1}^\infty \), tal que \( a_n,b_n\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \), para todo \( n=1,2,3,... \).

Ahora hay que trabajar con las truncaciones a \( n \) dígitos, para luego pasar al caso infinito.

Definimos \( <x>_n=(0, \{a_1,a_2,...,a_n,0,0,0,...\}) \), o sea, hemos tomado los primeros \( n \) dígitos de \( x \), y el resto, en vez de dejarlo en blanco, hemos puesto "0"s.

Lo mismo se puede hacer para \( y \).

Ahora, es fácil definir la suma de los números "truncados" \( <x> _n\oplus<y> _n \).
El algoritmo es conocido, y se puede especificar con precisión (basta que me lo pidan).
Pero lo hago resumido: uno se "para" en la posición \( n \), y "suma" dígito a dígito, como nos han enseñado en la escuela,
yendo de "derecha a izquierda", llevando acarreos si fuera necesario.

Los dígitos "a la derecha" de la posición \( n \) se declaran todos como "0", como es natural.

Eso nos da como resultado un cierto objeto \( z_n=(e,M ) \), donde \( e \) es 0 ó 1, según como venga el acarreo, mientras que \( M \) es la "mantisa" que corresponde a \( z_n \).
La "mantisa" de \( z_n \) es una sucesión de dígitos, con esta pinta:

\( M=\{c_1^{(n)},c_2^{(n)},c_3^{(n)},c_4^{(n)},...\} \)

Se puede ser más precisos, y decir que cuando \( i\leq n \) el dígito en la posición \( i \) es un número entre 0 y 9, pero que cuando \( i> n \), el dígito \( i \)-ésimo es siempre 0.

Para "hacerlo más visual", muestro el resultado de esto, así:

\( M=\{c_1^{(n)},c_2^{(n)},c_3^{(n)},c_4^{(n)},...,c_n^{(n)},0,0,0,...\} \)



Lo que uno quisiera hacer acá es definir un objeto \( z=(e,M) \), con mantisa

\( \{c_1,c_2,c_3,...\} \)

de tal forma que los dígitos sucesivos \( c_1,c_2,c_3,... \) etc. coincidan acordemente con los obtenidos en cada suma "truncada".

Por ejemplo, quisiera que los dígitos de \( c_1 \) hasta \( c_{800} \) coincidan con los de la suma truncada \( z_{800} \).
Está claro que los dígitos de \( z \) desde la posición 801 en adelante no coincidirían (en general) con la "cola de 0s" que hemos dejado en la suma truncada \( z_{800} \), pero eso no importa.

Este "deseo" tiene dos problemas. Uno es que la suma truncada hasta el dígito 800 no necesariamente nos coincide con los dígitos que debiera tener \( z \) hasta la posición 800. Esto es por los problemas que trae el "acarreo desde la derecha" cuando se trabaja con infinitos dígitos.

Otra cuestión es que los dígitos pueden ir cambiando a medida que avanza el índice \( n \) en la sucesivas sumas truncadas \( z_n \).

Se necesita demostrar que, para cada posición \( i \)-ésima, el dígito en esa posición se estabiliza, no cambia a medida que \( n \) tiende a infinito.
Esto de hablar de que "tiende a infinito" en un contexto donde sólo tenemos alfabetos de dígitos, y nada de geometría, no nos conduce a nada...

Aunque en realidad tendremos suerte, porque veremos que a partir de un \( n \) bastante grande (que depende de \( i \)) el dígito \( c_i^{(n)} \) (o sea, el \( i \)-ésimo de la suma truncada \( z_n \)) empieza a ser siempre el mismo.

Esta propiedad nos permite definir con total certeza, en forma inambigua, cuál es "exactamente" el dígito \( i \)-ésimo de la suma.

Si vos me dieras los dígitos de \( e \) y de \( \pi \), yo tendría que trabajar de esta manera para determinar con precisión cada dígito.

Es una especie de "algoritmo", pero que escribiré más bien en formato de demostración.



Todo ese palabrerío puede quitarse, pero si no pongo la idea de la demostración, va a quedar como una construcción matemática pedante e intentendible, y no le veo el sentido.

En el post que sigue continúo.

17 Octubre, 2011, 03:17 am
Respuesta #61

argentinator

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Para resolver los dilemas anteriores sobre la "estabilidad" definitiva de un dígito en una posición dada, hay que separar el análisis en varios casos, para ver qué puede hacerse en cada uno.

Ciertamente, el problema surge cuando hay acarreo.

Consideremos el primer dígito \( c_1^{(n)} \)de cada suma truncada \( z_n \), para \( n=1,2,3,... \)

Ciertamente \( c_1^{(1)} \) es la cifra de las unidades de la suma de \( a_1 \) y \( b_1 \), lo cual se puede decir matemáticamente que es el resto módulo 10 de la suma \( a_1+b_1 \).

A medida que se van considerando más cifras en la suma, la primer cifra \( c_1^{(n)} \) para \( n=2,3,... \) puede ir variando.
Sin embargo, nosotros sabemos que a lo sumo puede variar en "1" unidad más, debido a que si hay "acarreo" desde los dígitos de la derecha, este acarreo es a lo sumo "1".

Ahora bien. Si en la "iteración" \( n \) (o sea, si al calcular la suma truncada \( z_n \)) la suma de los dígitos de \( x,y \) en la posición \( n \) es 8 o menor, o sea, \( a_n+b_n\leq 8 \), entonces NUNCA se producirá acarreo hacia la posición inmediata izquierda \( n-1 \).

En cambio, si \( a_n+b_n\geq 10 \), entonces SIEMPRE se producirá acarreo en "1" unidad en la posición inmediata izquierda \( n-1 \).

Si \( a_n+b_n=9 \), entonces no hay acarreo al calcular ese dígito en la suma truncada \( z_n \), pero no sabemos si en el paso siguiente \( z_{n+1} \) obligará a sumarle un "1" a ese 9 en la posición \( n \), produciendo un acarreo.

Ahora bien. En caso de que se produzca acarreo en la posición \( n-1 \) o no, hay que considerar la suma total de los dígitos \( a_{n-1}+b_{n-1} \)+"el acarreo desde posición n", y eso da el dígito \( c_{n-1}^{(n)} \) de \( z_n \).

Según que se hayan obtenido números \( \geq 9 \) el "acarreo" se seguirá contagiando hacia la izquierda hasta algún dígito donde no haya más acarreo.





Este análisis nos da la pista de cómo proceder.

Supongamos que \( a_2+b_2\geq 10 \). Entonces habrá acarreo en todas las sumas truncadas \( z_n \), para \( n=2,3,4,... \) etc.
De manera que \( c_1^{(n)}=a_1+b_1+1 \) (módulo 10).

Se ve claramente que esto no depende de \( n \), al menos para \( n> 1 \), y podemos estar tranquilos, pues, de que el primer dígito no va a variar nunca más.
Sólo ha diferido el \( c_1^{(1)} \) (primer dígito de la etapa 1) con el \( c_1^{(n)} \) (primer dígito de la etapa \( n \)) para \( n\geq 2 \).

Hemos probado (un poco conversado, lo sé) lo siguiente:

* Existe un valor \( n=N \) ("lo bastante grande") tal que para todo \( n\geq N \) el valor de \( c_1^{(n)} \) es siempre el mismo.



Pero sólo analizamos un caso, faltan otros dos.

Veamos qué pasa si \( a_2+b_2\leq 8 \).
Entonces el acarreo "hacia" la posición 1 siempre será "0" (o sea, no se produce jamás acarreo), y otra vez tenemos que \( c_1^{(n)} \) no varía a medida que \( n \) "se hace grande". Es constante.

El caso más problemático es aquel en que \( a_2+b_2=9 \).
Es problemático, porque en \( z_2 \) no se "ve" si a ese 9 habrá que sumarle algún acarreo desde la posición 3, y si hay un 9 en la 3, si hay que considerar o no el acarreo desde la posición 4, etc.

Sin embargo, "supongamos" que \( a_n+b_n\neq 9 \) para algún \( n\geq 2 \), y tomemos el mínimo \( n \) que cumple esa propiedad y denotémoslo N.

En ese caso, entre el dígito 1 de la suma, y el dígito \( n \), "todos son 9"s. ¡¡!!

Si \( a_N+b_N\leq 8 \), entonces no hay acarreo hacia la izquierda, luego los 9s intermedios no son afectados por acarreo alguno, y llegamos hasta el primer dígito, el de la posición 1, "sin acarreo alguno", con lo cual, podemos asegurar que para todo \( n\geq N \), el dígito \( c_1^{(n)} \) será siempre constante, sin importar el valor de \( n \).

Hemos encontrado el punto exacto a partir del cual las sumas "se estabilizan" en el primer dígito por lo menos.

En cambio, si \( a_N+b_N\geq 10 \), entonces para todo \( n\geq N \) siempre habrá acarreo de "1" unidad hacia la izquierda, lo cual afecta a todos los 9s intermedios, hasta llegar al dígito de la posición 1 de la suma.
Esto convierte a todos los 9s que había... en 0s, y se le suma 1 al dígito de la primer posición.

Pero lo importante es que, para \( n\geq N \) esto ya no va a sufrir más cambios, y el dígito \( c_1^{(n)} \) quedará estable.





Hemos casi resuelto todo el problema, al menos para dejar fijo, de una vez por todas, el primer dígito de la suma de \( x,y \).

Esto es así porque en la mayoría de los casos, siempre ocurrirá que al menos hay un índice \( n \) tal que \( a_n+b_n\neq 9 \).

La negación de esta situación es el caso especial en que "todas las sumas \( a_n+b_n=9 \), para \( n\geq 2 \)".

Este caso especial lo tratamos aparte.
En realidad, aquí lo que ocurre es que jamás se produce acarreo, en ninguna de las sumas truncadas \( z_n \), todo \( n \), y por lo tanto, \( c_1^{(n)} \) siempre permanece constante, igual a la suma obtenida en el primer paso.





Es cierto que se obtiene el caso "molesto" de dígitos con "cola de 9"s.
Pero eso no es un problema en esta etapa de la construcción, porque lo que estamos haciendo es simplemente definir una "suma" de sucesiones de dígitos.

Para que eso se "arregle" de modo que se obtenga un sistema de números reales sin esos desarrollos con "cola de 9"s, se hacen unas pequeñas tretas que vienen después.

Lo principal ha sido esto, de poder demostrar que para las sumas truncadas \( z_n \), existe un índice \( n=N \) tan grande como sea necesario, a partir del cual \( z_n \) siempre mantiene constante su primer dígito \( c_1^{(n)} \).

En virtud de que todos estos números \( c_1^{(n)} \) ahora son iguales para \( n=N,N+1,N+2, etc. \),
tenemos un modo NO-AMBIGUO de definir el primer dígito del objeto \( z=x\oplus y \) que estamos buscando.


Para su mantisa, definimos pues \( c_1=\lim_{n\to \infty} c_1^{(n)} \), lo cual tiene sentido (por la constancia de ese valor para \( n \) grande),
y es nada más ni nada menos que lo que hemos dicho: aquel valor de \( c_1^{(n)} \) que se vuelve siempre constante para \( n \) grande.



Finalmente, recordemos que lo único que hicimos en los párrafos anteriores fue demostrar que tenía sentido definir en forma inambigua al "primer dígito" de la mantisa de \( z \).

Sin embargo, el mismo procedimiento puede repetirse para el "2do dígito", luego el "3er dígito", y así sucesivamente.

En general, la fórmula que se obtiene para dichos dígitos es siempre la misma, y sigue las ideas anteriores, resultando que existe el límite:

\( c_j=\lim_{n\to\infty} c_j^{(n)} \),

Se define, pues, la mantisa de \( z \) como \( \{c_1,c_2,c_3,c_4,...\} \).




Espero que se haya entendido.


17 Octubre, 2011, 02:44 pm
Respuesta #62

Dani

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Yo desde mis humildes conocimientos voy a criticar el método de Jabato para construir números reales.

Su método no me parece nada novedoso, en el sentido de que no introduce ideas o conceptos nuevos. Lo único que hace es poner nombres y apellidos a los números. De ese par ordenado que él define, a lo que él llama "mantisa", desde siempre se ha llamado "parte decimal". Y las propiedades que él 'descubre' de la "mantisa" (que si es cíclica define un número racional, etc.) son ya las que se conocen de la "parte decimal" desde hace siglos.

No me parece nada "matemático" (en el sentido de que no sigue un método axiomático, sino que lo único que hace es juntar las piezas de un puzzle al tun-tún) coger, por ejemplo, del número pi, el 3, llamarlo parte entera, coger el 141592... llamarlo "mantisa", juntarlo en (e,m) = (3,141592...) y concluir que (con un par ordenado) hemos construído el número pi. Y esa es otra, el concepto de par ordenado ya viene implícito en el concepto de número real, en el sentido de que hay una parte entera, que va siempre al principio, y otra parte llamada "parte decimal", que siempre va después y separada por una coma.

Es absurdo demostrar las propiedades ya conocidas de los números reales a partir del par ordenado de Jabato porque, en realidad, y dicho así burdamente, es lo mismo que demostrar esas mismas propiedades utilizando los números reales y encerrándolos con paréntesis para que tengan aspecto de pares ordenados. Por supuesto, definir las operaciones básicas entre los pares ordenados de Jabato se reduce a un ejercicio de aritmética básica, que es identificar y formalizar los axiomas que rigen las operaciones definidas en ésta.

Tampoco veo que tenga mucho sentido demostrar que el conjunto de pares ordenados de Jabato coincide con el conjunto de los números reales, ya que, como digo, realmente no veo que haya construido nada nuevo, lo único que ha hecho ha sido cambiar la notación de los elementos de \( \mathbb{R} \) simplemente añadiéndoles paréntesis y redefiniendo las palabras castellanas con las que nos referimos a ellos ('número' por 'par ordenado' (como digo, los números ya llevan implícitamente el concepto de par ordenado), 'parte decimal' por 'mantisa'...).

En mi opinión, lo único que veo que ha hecho Jabato ha sido redefinir la notación y las palabras con las que nos referimos todos al mismo concepto y redescubrir reescribir las propiedades que ya conocemos todos en otra notación; y considero que todas las dificultades que se encuentre para tal menester son las mismas dificultades que se encontraría si hiciera el mismo ejercicio con los números "de toda la vida", por lo que, para mí, su método no aporta ninguna idea nueva ni mejora lo que ya tenemos.

17 Octubre, 2011, 03:53 pm
Respuesta #63

feriva

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Voy a contar algo sobre la intuición y cómo nos confunde; se trata de una “paradoja” que “inventé yo” y que, como siempre, habrán inventado muchas personas a través de los tiempos.

 La intuición nos hace pensar en un primer y único hombre que está al principio en el tiempo (en la historia del hombre) en  una sola porción de materia que también está al principio del tiempo del Universo... en definitiva, que siempre intuimos que todas las singularidades están al principio y que en “la parte final” todo es pluralidad (salvo con las especies extinguidas o alguna cosa así).

 Sin embargo, pensemos matemáticamente: todos hemos tenido un padre y una madre, dos abuelos y dos abuelas, cuatro bisabuelos y cuatro bisabuelas... si seguimos así hasta “el principio” del tiempo, el número de personas que habría en ese principio del tiempo serían muchísimas; es verdad que todas las especies, incluso la humana, son endogámicas, pero la endogamia difícilmente puede justificar que al principio de los tiempos hubiera sólo una pareja que diera lugar a toda la especie.
Y lo mismo se puede decir para cualquier especie, para la “primera” especie que pudiera haber existido.

Del mismo puede ocurrir a la hora de pensar en la construcción de los números: ¿había al principio de los tiempos una sola dimensión?

El hecho de estudiar primero con una sola variable se debe a que es más fácil operar con una variable que con dos, pero a la hora de observar cosas como las que se tratan en este post, ¿tiene que ser así?

 Un profesor que tenía yo -explicando estructuras algebraicas- recuerdo que contó una vez que los rusos -al menos en algunos libros de la editorial Mir- empezaban por estudiar primero los cuerpos y después les iban quitando propiedades hasta llegar a los grupos.

 Si pensamos en el sistema numérico como decía -partiendo la unidad y considerando unidades las partes resultantes- entonces podremos “inventar” la suma e ir dando lugar a un conjunto cada vez mayor de elementos distintos; hasta llegar a infinitos elementos. A partir de ahí podemos comparar esos elementos porque todos tienen un número distinto de unidades (y podríamos ordenarlos al darles valor) No habrá nunca números negativos, lo que habrá será una unidad cambiante y menguante (ambas cosas). Evidentemente, tampoco habrá números “Q” ni complejos al no haber negativos; tendríamos LOS NÚMEROS, sin apellidos.

 Más tarde se podría intentar determinar una única unidad principal para establecer posteriormente relaciones de equivalencia; y ahí la cosa se hace imposible, porque tendremos que tomar un número que no es nadie respecto de los otros, que está en medio de una sucesión infinita, es decir, que no está ni en un extremo ni en otro y a ninguna distancia determinada de los extremos, y darle propiedades de unidad; esto es como hacer capitán general a Merceditas la de la pescadería; que seguro que es muy buena, la pobre, no tengo nada contra ella, pero hacer eso es una barbaridad; una barbaridad inevitable, ya lo sé, pero una barbaridad en sentido matemático con la que no nos queda más remedio que vivir.

Saludos.

17 Octubre, 2011, 07:18 pm
Respuesta #64

Jabato

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Contestando a Dani: Solo te diré una cosa Dani, si fuera así como tu dices yo creo que argentinator, que es un buen matemático, no se habría molestado en escribir sus dos últimos mensajes, ¿no te parece? Podría decirte más cosas pero creo que con eso es suficiente.

Lee más despacio las cosas que hemos escrito en este hilo, medítalas y luego haz una crítica un poco menos apasionada, más racional. Piensa que la mantisa no es la parte decimal de nada porque debe suponerse que ni los números racionales ni los números reales existen todavía, porque los estamos construyendo con el modelo. La construcción de este modelo presupone que solo existen los números naturales y los enteros, lo que por otra parte es uno de sus mayores alicientes ya que la construcción de los racionales y de los reales se hace simultaneamente, y además resulta que la mantisa no es un número sino una cadena infinita de caracteres que en principio no tiene valor numérico, no puede tenerlo al menos hasta que se complete la construcción, por razones evidentes.

Saludos, Jabato. ;D

17 Octubre, 2011, 07:56 pm
Respuesta #65

Jabato

  • Visitante
Intentando entender a argentinator:

Bueno, la forma algorítimica de la suma se puede hacer más o menos fácilmente, pero tiene que ser con dígitos binarios.

Con dígitos en base diez no sé, tendría que pensarlo un poco más.



Lo que puede hacerse con el mismo procedimiento, usando cualquier base b de dígitos, es lo de las aproximaciones.



Como lo problemático está en la parte decimal, diría que mejor conviene trabajar sólo con esa parte, y lo demás es sólo rutina.

Sean \( x=(0, m), y=(0, m') \), donde \( m,m' \) son "mantisas".
Esto quiere decir que \( m,m' \) son sucesiones \( m=\{a_n\}_{n=1}^\infty,m'=\{b_n\}_{n=1}^\infty \), tal que \( a_n,b_n\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \), para todo \( n=1,2,3,... \).

Ahora hay que trabajar con las truncaciones a \( n \) dígitos, para luego pasar al caso infinito.

Definimos \( <x>_n=(0, \{a_1,a_2,...,a_n,0,0,0,...\}) \), o sea, hemos tomado los primeros \( n \) dígitos de \( x \), y el resto, en vez de dejarlo en blanco, hemos puesto "0"s.

Lo mismo se puede hacer para \( y \).

Ahora, es fácil definir la suma de los números "truncados" \( <x> _n\oplus<y> _n \).
El algoritmo es conocido, y se puede especificar con precisión (basta que me lo pidan).
Pero lo hago resumido: uno se "para" en la posición \( n \), y "suma" dígito a dígito, como nos han enseñado en la escuela,
yendo de "derecha a izquierda", llevando acarreos si fuera necesario.

Los dígitos "a la derecha" de la posición \( n \) se declaran todos como "0", como es natural.

Eso nos da como resultado un cierto objeto \( z_n=(e,M ) \), donde \( e \) es 0 ó 1, según como venga el acarreo, mientras que \( M \) es la "mantisa" que corresponde a \( z_n \).
La "mantisa" de \( z_n \) es una sucesión de dígitos, con esta pinta:

\( M=\{c_1^{(n)},c_2^{(n)},c_3^{(n)},c_4^{(n)},...\} \)

Se puede ser más precisos, y decir que cuando \( i\leq n \) el dígito en la posición \( i \) es un número entre 0 y 9, pero que cuando \( i> n \), el dígito \( i \)-ésimo es siempre 0.

Para "hacerlo más visual", muestro el resultado de esto, así:

\( M=\{c_1^{(n)},c_2^{(n)},c_3^{(n)},c_4^{(n)},...,c_n^{(n)},0,0,0,...\} \)



Lo que uno quisiera hacer acá es definir un objeto \( z=(e,M) \), con mantisa

\( \{c_1,c_2,c_3,...\} \)

de tal forma que los dígitos sucesivos \( c_1,c_2,c_3,... \) etc. coincidan acordemente con los obtenidos en cada suma "truncada".

Por ejemplo, quisiera que los dígitos de \( c_1 \) hasta \( c_{800} \) coincidan con los de la suma truncada \( z_{800} \).

Está claro que los dígitos de \( z \) desde la posición 801 en adelante no coincidirían (en general) con la "cola de 0s" que hemos dejado en la suma truncada \( z_{800} \), pero eso no importa.

Este "deseo" tiene dos problemas. Uno es que la suma truncada hasta el dígito 800 no necesariamente nos coincide con los dígitos que debiera tener \( z \) hasta la posición 800. Esto es por los problemas que trae el "acarreo desde la derecha" cuando se trabaja con infinitos dígitos.

Otra cuestión es que los dígitos pueden ir cambiando a medida que avanza el índice \( n \) en la sucesivas sumas truncadas \( z_n \).

Se necesita demostrar que, para cada posición \( i \)-ésima, el dígito en esa posición se estabiliza, no cambia a medida que \( n \) tiende a infinito.
Esto de hablar de que "tiende a infinito" en un contexto donde sólo tenemos alfabetos de dígitos, y nada de geometría, no nos conduce a nada...

Aunque en realidad tendremos suerte, porque veremos que a partir de un \( n \) bastante grande (que depende de \( i \)) el dígito \( c_i^{(n)} \) (o sea, el \( i \)-ésimo de la suma truncada \( z_n \)) empieza a ser siempre el mismo.

Esta propiedad nos permite definir con total certeza, en forma inambigua, cuál es "exactamente" el dígito \( i \)-ésimo de la suma.

Si vos me dieras los dígitos de \( e \) y de \( \pi \), yo tendría que trabajar de esta manera para determinar con precisión cada dígito.

Es una especie de "algoritmo", pero que escribiré más bien en formato de demostración.



Todo ese palabrerío puede quitarse, pero si no pongo la idea de la demostración, va a quedar como una construcción matemática pedante e intentendible, y no le veo el sentido.

Para resolver los dilemas anteriores sobre la "estabilidad" definitiva de un dígito en una posición dada, hay que separar el análisis en varios casos, para ver qué puede hacerse en cada uno.

Ciertamente, el problema surge cuando hay acarreo.

Consideremos el primer dígito \( c_1^{(n)} \)de cada suma truncada \( z_n \), para \( n=1,2,3,... \)

Ciertamente \( c_1^{(1)} \) es la cifra de las unidades de la suma de \( a_1 \) y \( b_1 \), lo cual se puede decir matemáticamente que es el resto módulo 10 de la suma \( a_1+b_1 \).

A medida que se van considerando más cifras en la suma, la primer cifra \( c_1^{(n)} \) para \( n=2,3,... \) puede ir variando.
Sin embargo, nosotros sabemos que a lo sumo puede variar en "1" unidad más, debido a que si hay "acarreo" desde los dígitos de la derecha, este acarreo es a lo sumo "1".

Ahora bien. Si en la "iteración" \( n \) (o sea, si al calcular la suma truncada \( z_n \)) la suma de los dígitos de \( x,y \) en la posición \( n \) es 8 o menor, o sea, \( a_n+b_n\leq 8 \), entonces NUNCA se producirá acarreo hacia la posición inmediata izquierda \( n-1 \).

En cambio, si \( a_n+b_n\geq 10 \), entonces SIEMPRE se producirá acarreo en "1" unidad en la posición inmediata izquierda \( n-1 \).

Si \( a_n+b_n=9 \), entonces no hay acarreo al calcular ese dígito en la suma truncada \( z_n \), pero no sabemos si en el paso siguiente \( z_{n+1} \) obligará a sumarle un "1" a ese 9 en la posición \( n \), produciendo un acarreo.

Ahora bien. En caso de que se produzca acarreo en la posición \( n-1 \) o no, hay que considerar la suma total de los dígitos \( a_{n-1}+b_{n-1} \)+"el acarreo desde posición n", y eso da el dígito \( c_{n-1}^{(n)} \) de \( z_n \).

Según que se hayan obtenido números \( \geq 9 \) el "acarreo" se seguirá contagiando hacia la izquierda hasta algún dígito donde no haya más acarreo.





Este análisis nos da la pista de cómo proceder.

Supongamos que \( a_2+b_2\geq 10 \). Entonces habrá acarreo en todas las sumas truncadas \( z_n \), para \( n=2,3,4,... \) etc.
De manera que \( c_1^{(n)}=a_1+b_1+1 \) (módulo 10).

Se ve claramente que esto no depende de \( n \), al menos para \( n> 1 \), y podemos estar tranquilos, pues, de que el primer dígito no va a variar nunca más.
Sólo ha diferido el \( c_1^{(1)} \) (primer dígito de la etapa 1) con el \( c_1^{(n)} \) (primer dígito de la etapa \( n \)) para \( n\geq 2 \).

Hemos probado (un poco conversado, lo sé) lo siguiente:

* Existe un valor \( n=N \) ("lo bastante grande") tal que para todo \( n\geq N \) el valor de \( c_1^{(n)} \) es siempre el mismo.



Pero sólo analizamos un caso, faltan otros dos.

Veamos qué pasa si \( a_2+b_2\leq 8 \).
Entonces el acarreo "hacia" la posición 1 siempre será "0" (o sea, no se produce jamás acarreo), y otra vez tenemos que \( c_1^{(n)} \) no varía a medida que \( n \) "se hace grande". Es constante.

El caso más problemático es aquel en que \( a_2+b_2=9 \).
Es problemático, porque en \( z_2 \) no se "ve" si a ese 9 habrá que sumarle algún acarreo desde la posición 3, y si hay un 9 en la 3, si hay que considerar o no el acarreo desde la posición 4, etc.

Sin embargo, "supongamos" que \( a_n+b_n\neq 9 \) para algún \( n\geq 2 \), y tomemos el mínimo \( n \) que cumple esa propiedad y denotémoslo N.

En ese caso, entre el dígito 1 de la suma, y el dígito \( n \), "todos son 9"s. ¡¡!!

Si \( a_N+b_N\leq 8 \), entonces no hay acarreo hacia la izquierda, luego los 9s intermedios no son afectados por acarreo alguno, y llegamos hasta el primer dígito, el de la posición 1, "sin acarreo alguno", con lo cual, podemos asegurar que para todo \( n\geq N \), el dígito \( c_1^{(n)} \) será siempre constante, sin importar el valor de \( n \).

Hemos encontrado el punto exacto a partir del cual las sumas "se estabilizan" en el primer dígito por lo menos.

En cambio, si \( a_N+b_N\geq 10 \), entonces para todo \( n\geq N \) siempre habrá acarreo de "1" unidad hacia la izquierda, lo cual afecta a todos los 9s intermedios, hasta llegar al dígito de la posición 1 de la suma.
Esto convierte a todos los 9s que había... en 0s, y se le suma 1 al dígito de la primer posición.

Pero lo importante es que, para \( n\geq N \) esto ya no va a sufrir más cambios, y el dígito \( c_1^{(n)} \) quedará estable.





Hemos casi resuelto todo el problema, al menos para dejar fijo, de una vez por todas, el primer dígito de la suma de \( x,y \).

Esto es así porque en la mayoría de los casos, siempre ocurrirá que al menos hay un índice \( n \) tal que \( a_n+b_n\neq 9 \).

La negación de esta situación es el caso especial en que "todas las sumas \( a_n+b_n=9 \), para \( n\geq 2 \)".

Este caso especial lo tratamos aparte.
En realidad, aquí lo que ocurre es que jamás se produce acarreo, en ninguna de las sumas truncadas \( z_n \), todo \( n \), y por lo tanto, \( c_1^{(n)} \) siempre permanece constante, igual a la suma obtenida en el primer paso.





Es cierto que se obtiene el caso "molesto" de dígitos con "cola de 9"s.
Pero eso no es un problema en esta etapa de la construcción, porque lo que estamos haciendo es simplemente definir una "suma" de sucesiones de dígitos.

Para que eso se "arregle" de modo que se obtenga un sistema de números reales sin esos desarrollos con "cola de 9"s, se hacen unas pequeñas tretas que vienen después.

Lo principal ha sido esto, de poder demostrar que para las sumas truncadas \( z_n \), existe un índice \( n=N \) tan grande como sea necesario, a partir del cual \( z_n \) siempre mantiene constante su primer dígito \( c_1^{(n)} \).

En virtud de que todos estos números \( c_1^{(n)} \) ahora son iguales para \( n=N,N+1,N+2, etc. \),
tenemos un modo NO-AMBIGUO de definir el primer dígito del objeto \( z=x\oplus y \) que estamos buscando.


Para su mantisa, definimos pues \( c_1=\lim_{n\to \infty} c_1^{(n)} \), lo cual tiene sentido (por la constancia de ese valor para \( n \) grande),
y es nada más ni nada menos que lo que hemos dicho: aquel valor de \( c_1^{(n)} \) que se vuelve siempre constante para \( n \) grande.



Finalmente, recordemos que lo único que hicimos en los párrafos anteriores fue demostrar que tenía sentido definir en forma inambigua al "primer dígito" de la mantisa de \( z \).

Sin embargo, el mismo procedimiento puede repetirse para el "2do dígito", luego el "3er dígito", y así sucesivamente.

En general, la fórmula que se obtiene para dichos dígitos es siempre la misma, y sigue las ideas anteriores, resultando que existe el límite:

\( c_j=\lim_{n\to\infty} c_j^{(n)} \),

Se define, pues, la mantisa de \( z \) como \( \{c_1,c_2,c_3,c_4,...\} \).




Espero que se haya entendido.


Hasta aquí leído, entendido y más ó menos conforme. No veo errores, aunque la última parte del desarrollo está un poco revuelta y cuesta leerla, pero parece correcta.

De todas forma se me ha ocurrido una forma que quizás permitiera simplificar un poco el desarrollo, consistiría en realizar un desarrollo similar, más sencillo, para mantisas periódicas, lo que permitiría definir los números racionales en primer lugar (*), y después solo bastaría identificar las mantisas no periódicas con los irracionales (ya que a fin de cuentas los números irracionales son todos aquellos que no son racionales por propia definición). Bueno esa es más ó menos la idea.

(*) NOTA: Habría que demostrar además que cuando la mantisa es periódica existe un número natural que al realizar el producto por la mantisa se obtiene una mantisa periódica de perido 0, aunque eso no parece muy complicado (recuerdas aquello de tantos nueves como cifras tiene la parte periódica seguida de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica).

Saludos, Jabato. ;D

17 Octubre, 2011, 10:34 pm
Respuesta #66

Dani

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Contestando a Dani: Solo te diré una cosa Dani, si fuera así como tu dices yo creo que argentinator, que es un buen matemático, no se habría molestado en escribir sus dos últimos mensajes, ¿no te parece? Podría decirte más cosas pero creo que con eso es suficiente.

Lee más despacio las cosas que hemos escrito en este hilo, medítalas y luego haz una crítica un poco menos apasionada, más racional. Piensa que la mantisa no es la parte decimal de nada porque debe suponerse que ni los números racionales ni los números reales existen todavía, porque los estamos construyendo con el modelo. La construcción de este modelo presupone que solo existen los números naturales y los enteros, lo que por otra parte es uno de sus mayores alicientes ya que la construcción de los racionales y de los reales se hace simultaneamente, y además resulta que la mantisa no es un número sino una cadena infinita de caracteres que en principio no tiene valor numérico, no puede tenerlo al menos hasta que se complete la construcción, por razones evidentes.

Saludos, Jabato. ;D

No discuto que argentinator sea un buen matemático, y además he leído parte de sus (vuestros) mensajes. Pero por eso mismo pienso que no es necesario introducir esa nueva notación que has introducido tú (yo no la llamaría nuevo modelo, porque realmente de nuevo no veo que tenga nada) para llevar a cabo todos los desarrollos que ha hecho él, sino que pueden hacerse prescindiendo de ella. Lo que veo que está haciendo argentinator en varios de sus mensajes es formalizar los algoritmos que conocemos de la aritmética básica en axiomas, pero también veo que para eso no es requisito imprescindible definir los números reales como lo haces tú. Considero que éste es uno de esos casos en los que los árboles no nos dejan ver el bosque. Es más, sigo pensando que realmente no estáis descubriendo nada nuevo, sino que estás reinventando la rueda y comprobando si ésta gira si en vez de "rueda" le pones otro nombre.

No he dicho que la "mantisa" que defines tú pretenda ser la parte decimal de nada, sino que los resultados que obtienes y obtendrás trabajando con tus pares ordenados en su totalidad son los mismos que los que obtendrás considerando los números reales sin paréntesis. Los números reales ya incorporan implícitamente el concepto de par ordenado ( (parte real, parte decimal) ). Y al igual que la "mantisa" de tu definición, no hay nada que te impida ver en la parte decimal de un número real una sucesión de dígitos sin valor numérico (de hecho, el concepto de "valor númerico" yo lo veo solo como una construcción psicológica que nos hacemos nosotros por necesidad; matemáticamente los números no tienen ningún significado).

Análogamente, tampoco veo problema en construir los números reales como los conocemos utilizando solo los números enteros.

Si no es mucho pedir, intenta responderme a estas preguntas:

1) ¿Qué idea nueva introduce tu 'modelo' que no esté ya contenida en el modelo que conocemos de los números reales?

2) ¿Qué desarrollos permite hacer tu 'modelo' que no permita el otro?

3) El problema que apuntaba antes donald. ¿Cómo lo solventas? No parece muy lícito decidir sobre la marcha que ahora esto es una "mantisa", o ahora no lo es, según te convenga. Y aunque lo hagas, no salvas el problema. Por definición, si \( (a,b) \) es un par ordenado, \( (a,b) = (a,c) \Rightarrow{} b = c  \). ¿Qué haces cuando en dos pares ordenados que representan a un mismo número tengas dos "mantisas" distintas?

17 Octubre, 2011, 10:53 pm
Respuesta #67

Jabato

  • Visitante
Es que acaso yo he hecho semejantes afirmaciones. Yo no he dicho tales cosas, eres tu el que me las asigna, pero ni yo he dicho que mi modelo sea algo nuevo ni que permita hacer cosas que no puedan hacerse con otros modelos de números reales. La única novedad es el propio modelo, que no cabe duda que es otro más de los muchos que existen, pero concretamente este modelo parece que no está establecido, al menos por lo que yo sé y por lo que afirma argentinator no parece que esté descrito en los textos conocidos.

Respecto a que haya dos pares ordenados que representen el mismo número real pero que contengan mantisas distintas es un caso que no puede darse, siempre que se excluyan las mantisas de periodo nueve, que ya lo están porque así le contesté yo mismo a donald hace ya varios mensajes. Aunque parece que no te has enterado de eso. (Si conoces algún contra ejemplo exponlo aquí por favor, no te coartes)

Por cierto ¿cuando hablas de números reales de que modelo estas hablando? Porque probablemente con este modelo si puedan hacerse cosas que con otros no se pueda aunque eso habría que investigarlo si queremos saberlo a ciencia cierta, pero para eso tienes que explicarme que modelo de numeros reales es al que te refieres. Desde luego el modelo que yo he propuesto cumple con todas las propiedades de los reales, pero también tendrá algunas propiedades que no tengan otros modelos, ¿no te parece? Por ejemplo, los números reales se muestran aquí como el conjunto formado como producto cartesiano de dos conjuntos bien definidos, el de los números enteros y el de las sucesiones de dígitos. ¿Podrías demostrar semejante propiedad usando el modelo de Dedekind ó el de Cantor?

De hecho aún te diría más, para poder descomponer un número real en su parte entera y su parte fraccionaria es necesario demostrar que este modelo es viable, por el procedimiento que más te guste, pero si no lo demuestras estás hablando del sexo de los ángeles cada vez que realizas tal descomposición. ¿Puedes decirme en base a que construcción justificas la expresión decimal de los números reales? ¿Quien dice que tal cosa puede hacerse? Porque no te documentas un poco antes de hablar Dani.

Vamos, digo yo, Jabato.

18 Octubre, 2011, 12:36 am
Respuesta #68

feriva

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) El problema que apuntaba antes donald. ¿Cómo lo solventas? No parece muy lícito decidir sobre la marcha que ahora esto es una "mantisa", o ahora no lo es, según te convenga. Y aunque lo hagas, no salvas el problema. Por definición, si \( (a,b) \) es un par ordenado, \( (a,b) = (a,c) \Rightarrow{} b = c  \). ¿Qué haces cuando en dos pares ordenados que representan a un mismo número tengas dos "mantisas" distintas?

Eso no es ni siquiera un problema menor, como ha dicho Argentinator, es que no es un problema, o al menos no es un problema de Jabato, lo es de las bases, si acaso; en este caso de la base diez. Y nuestro propio sistema de números reales, escrito con comas detrás de las unidades enteras, tiene ambas representaciones, ¿qué le obliga a quitarlos? Si no quiere no tiene por qué hacerlo.   
Las calculadoras convierten automáticamente esos números en cuanto ven varios nueves: 0.999999=1, pero porque son máquinas y aproximan como si hubiera infinitos nueves; multiplicando a mano no saldría nunca:

\( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=3(0.333..)=0.999...= \dfrac{3}{3}=1 \)

sale por eso, porque \( \dfrac{a}{a}=1 \), pero a mano no sale nunca.

Y para ver que es un problema de la base basta fijares que al dividir 1/3 lo que hacemos es partir ese uno en diez partes y poner un cero en el cociente:

\( \dfrac{1}{3}=0.333..\Rightarrow 10=3 \cdot 0,333... \)

Pero si usamos base 6, y partimos el 1 en seis partes:

\( \dfrac{1}{3}\Rightarrow 6=3 \cdot 0,2 \)

No sale periódico, sale 0,2 escrito en base decimal, pero que multiplicado por 3 es:

\( 0,2+0,2+0,2=0,6=1_{en\,\,base\,\,6} \)

Saludos.
 
 

18 Octubre, 2011, 07:05 am
Respuesta #69

argentinator

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En respuesta a Dani: Creo que has malentendido el punto central de la discusión.

Has hablado del "modelo de los reales que ya conocemos".

Bueno, pero eso supone que "ya" conocemos un "modelo".
¿Cuál?

Mi respuesta es: ninguno, hasta tanto se haya construido al menos un modelo.

((Debido a que los posts me han quedado largos, voy a poner trozos de texto en Spoilers, para que sea más cómodo seguirlos))

________________

Una analogía ilustrativa...


Trataré de demostrar la cuestión con una analogía:

Supongamos que nos interesa estudiar "los subgrupos de orden 7 de los grupos de orden 73".
Hablamos de ellos, desarrollamos una hermosa teoría, y después nos damos cuenta que... ¡no hay ninguno!
¿Entonces, de qué estuvimos hablando?: De nada. No hay grupos de orden 73 con subgrupos de orden 7.

Lo mismo pasa con los números reales: Damos una lista de Axiomas que definen lo que significará un "sistema de números reales".
¿Existe algún ejemplo de conjunto (sistema) al que podamos atribuir los axiomas correspondientes?

Respuesta: Sí, pero hay que construirse uno "desde la nada".
[cerrar]

_________________

¿Como se construye un ejemplo (o "modelo", si se prefiere esta palabra) de "sistema de números reales"?

Hay muchas alternativas, pero lo cierto es que uno puede construir uno, usarlo como "el" sistema de números reales, y después demostrar que es equivalente a cualquier otro modelo dado.

(Abrir para continuar leyendo la explicación)


Mientras no tengamos modelo alguno, si uno escribe (e, m), siendo e un entero y "m" una sucesión de dígitos, eso no es un número real, es sólo un par ordenado que consta de un entero y una sucesión de dígitos.
Llamarlo "mantisa" no tiene nada de malo.

A continuación, uno tiene que "demostrar" que esos pares (e, m) satisfacen realmente las propiedades de un sistema de números reales.

Para hacerlo, hay que ir paso a paso, desde "cero", porque no tenemos ningún modelo previo de números reales en qué basarnos.
[cerrar]

Desde el punto de vista lógico, lo que vos llamás "números reales de toda la vida" en realidad NO EXISTEN.

Van a existir después de que hayamos construido al menos un primer modelo.

___________

Y la pregunta acá es: ¿qué pasa si elegimos que, el primer modelo de reales que construimos sea directamente a través de dígitos?
¿Cómo se efectúa la construcción?

Uno tiene que definir "a mano" la suma, la multiplicación, la relación de orden, y finalmente probar que se cumplen cada uno de los axiomas de los números reales: los axiomas algebraicos, los axiomas ordinales, los axiomas algebraico-ordinales, y por último el axioma del supremo.

_____________________

Cuando vos decís que "los dígitos" están asociados a los "reales de toda la vida" estás pensando en una situación diferente:

(Abrir para seguir los detalles)


* Si existe un "modelo" (algún otro, claro) de números reales, R, entonces cada elemento de ese conjunto R tiene asociado un desarrollo decimal (e, m).

* En ese caso, el comportamiento de la suma y el producto se describen, claro está, como un "algoritmo" sobre los dígitos, y no hace falta ponerse a comprobar muchas cosas, porque todas las propiedades de los números reales ya están comprobadas desde antes, por vía axiomática.

* Al definir de esta manera la representación en dígitos de los reales, se está asumiendo que "ya" se tiene un modelo de reales que "funciona", y entonces la aplicación que asigna a cada número real su correspondiente desarrollo decimal, lo único que está haciendo es "contagiar la estructura algebraica" de R al conjunto de pares (e, m), o sea, el desarrollo decimal.

Siendo así, no hay nada que probar en la familia de dichas representaciones, porque la estructura de R ha sido "contagiada" automáticamente.

__________________

Pero si no tenemos ningún R desde el cual "contagiar" la estructura, entonces no hay modo de saber si los desarrollos decimales satisfacen o no las propiedades de los números reales.

_______________________-

Hay otras formas de construir los reales, que son las que aparecen en los libros con más frecuencia:

* El método de cortaduras de Dedekind, que se basa en conjuntos ordenados de racionales acotados superiormente.

* El método de sucesiones de intervalos encajados de racionales.

El método de cortaduras de Dedekind toma la misma actitud que estamos tomando acá:

* LOS REALES NO EXISTEN, y alguien los tiene que construir. Se asume la existencia de los números racionales, se define una familia de conjuntos especiales que se llaman cortaduras, y se verifica, paso a paso, arduamente, que esas cortaduras satisfacen cada una de las propiedades (o axiomas) de un sistema de números reales.

¿Acaso una cortadura (o sea, un subconjunto ordenado de Q, acotado superiormente) te parece a vos que es un "número real de toda la vida"?

Como yo lo veo, eso no es otra cosa que un conjunto de números racionales.
La colección de todos ellos no es otra cosa que una colección de dichos conjuntos de racionales.
Eso no tiene la pinta de un "sistema de números reales".

Y sin embargo lo es, porque satisface los axiomas.

Lo propio pasa con el método de encaje de intervalos.

* SE ASUME QUE NO HAY REALES, sólo racionales, y se toman intervalos encajados de racionales cuya longitud tiende a 0.

Si los reales ya "existieran", la intersección de una tal sucesión de intervalos siempre daría como resultado un único número real concreto, que se asocia a la sucesión.

Pero mientras no se tienen los números irracionales, una sucesión de encajes de intervalos asociada al número \( \pi \) tiene intersección "vacía", porque el \( \pi \) en realidad no existe todavía.

________________________________--

Sin embargo, no hace falta construir los reales por cortaduras de Dedekind, ni por encajes de intervalos, sino que uno puede usar cualquier método que se le ocurra, con tal de que funcione.

Uno de esos métodos es el de usar "desarrollos decimales".
Esos desarrollos no son más que sucesiones de dígitos, los cuales se ordenan mediante el "orden lexicográfico".

Si uno no tiene ningún modelo de reales, es legítimo construir un primer modelo usando desarrollos decimales.
Es tan legítimo como cualquier otro.

Y por eso hay que probar que cumple todas las propiedades "a mano", porque como es el primer modelo, no hay punto de comparación posible.

[cerrar]

No es lícito probar las propiedades de los desarrollos decimales "desde los axiomas", porque los axiomas PUEDEN SER FALSOS.
Una lista de axiomas SIN MODELOS es falsa, no sirve para nada.

___________________

Por otra parte, al usar uno desarrollos decimales tiene la certeza de que va a llegar a buen puerto, porque uno sabe por experiencia que, de existir de verdad los números reales (mejor dicho, algún modelo de ellos), entonces automáticamente aparecen asociados los desarrollos decimales.

Pero estos desarrollos decimales "sólo tienen sentido" después que se ha demostrado que LOS AXIOMAS TIENEN SENTIDO, y esto ocurre sólo DESPUÉS que se ha construido un modelo válido.

Este tipo de cosas van en la dirección del trabajo de Hilbert, al tratar de fundar la matemática sobre la base de los números naturales.