Autor Tema: Construcción de los sistemas numéricos

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15 Octubre, 2011, 09:59 pm
Respuesta #40

Carlos Ivorra

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Jaja, Donald, es cierto, pero no es cuestión de decir que no va a funcionar. La dificultad es menor, y supongo que se resolverá cuando se presente.

De las soluciones que mencionaste, la preferible es la segunda, porque la primera sólo va a traer problemas al definir la suma por ejemplo.

Además, estas cosas son conocidas. No entiendo por qué decís que no va a funcionar.

No he dicho que el proyecto no vaya ha funcionar. Sólo que no va a funcionar tal y como está enunciado, es decir, para mantisas arbitrarias. Como Jabato se proponía ponerse a hacer la construcción con detalle, consideré oportuno advertirlo porque, la dificultad no se resolverá cuando se presente, sino que, si se da cuenta de ella después de haber llenado cuatro páginas de comprobaciones, tendrá que volver al principio, modificar las definiciones, y reescribir lo escrito teniendo en cuenta la definición modificada.

16 Octubre, 2011, 12:09 am
Respuesta #41

argentinator

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Está bien Donald, entiendo tu punto y tu intención.

Pero me parece más interesante que sea Jabato mismo el que se dé cuenta de eso mientras intenta hacer la construcción, y volver a reescribirla.

Después de todo, no hay que reescribir tanto, sino sólo agregar un paso más.

Al trabajar con clases de equivalencia, se aprovecha todo el trabajo previo. Pienso que no habrá que "reescribir" demasiado.

De hecho, hay muchas dificultades que uno ve antes de empezar, pero me parece más productivo analizar cada uno a medida que aparezcan.
Ya me ha pasado que hago comentarios generales sobre "lo que va a pasar" y nadie me los cree, porque yo los veo por anticipado, pero los demás no.
La única forma de que se convenzan es haciendo las cuentas.





En cuanto al problema que menciono sobre la multiplicación, Jabato dice que seguramente tiene arreglo, y esto es así.
El problema no es matemático, sino estético, pues se pierde la intención original de tener cómodamente separadas la parte entera y la parte fraccionaria.
Es inevitable, pues deben interactuar.

Pero con algo de paciencia, se arregla sin muchos problemas.

Saludos

16 Octubre, 2011, 12:18 am
Respuesta #42

argentinator

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Evidentemente trabajar con secuencias infinitas tiene su dificultad pero solo la reconoceré si alguien aquí me dice cual es el valor exacto del producto \( e\times{}\pi \)


Sólo te lo diré si me dices cuál es el valor exacto de \( e \) y de \( \pi \).  :D

16 Octubre, 2011, 12:35 am
Respuesta #43

Jabato

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Bueno, para ir haciendo boca antes voy a intentar haceros notar que el modelo (con la exclusión de las mantisas que presentan colas de periodo 9, como ya indiqué antes) es el mismo conjunto que el de los reales y por lo tanto el problema tiene solución, para ello me basta con haceros notar dos cosas muy fáciles de probar:

a) A cada número real le corresponde uno y solo un par de la forma \( (e,m) \)

b) A cada par de la forma \( (e,m) \) le corresponde uno y solo un número real.

¿Hace falta que plantee las demostraciones ó me las puedo ahorrar?. Basta solo notar que un número real solo presenta una única parte entera y una única parte fraccionaria, hecho que vuelve a ser válido para los pares del modelo, con lo que al identificar la parte entera del par con la parte entera del número real y hacer lo propio con las mantisas tenemos establecida la correspondencia elemento a elemento, lo que nos garantiza que el modelo es válido.

Claro está que eso no prueba de una forma directa que se cumplen todos los axiomas, aunque sí lo hace de una forma indirecta, "tramposa" si quereis, como la calificó argentinator, pero matemáticamente correcta y por lo tanto tan válida como prueba como la que más. ¿Alguna duda de que el modelo funciona?

Saludos, Jabato. ;D

16 Octubre, 2011, 01:00 am
Respuesta #44

argentinator

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No sé si tan "tramposa".

Imaginemos que nadie ha construido los números reales de ninguna forma hasta el día de hoy.

No podrías decir: "a cada real le corresponde un objeto \( (e,m) \) tal que bla bla ...".
¿A cuál "real" te estás refiriendo, si no hay ninguno?

Si ya hay alguna construcción por ahí, entonces te podrías referir a esa construcción, y asignarle un par \( (e,m) \), de un modo bastante sencillo, sistemático.

Si no hay ninguna construcción hecha, no se sabe si el concepto de números reales tiene sentido.
Por eso hace falta tener a mano al menos una construcción que sea válida.

Si no, no se sabe si los reales "existen" o no.
No basta con dar los axiomas.
Si los axiomas se contradijeran, la lista de sistemas que los cumple... sería vacía, no existirían o no tendría sentido hablar de números reales.

Sin embargo, los axiomas en sí mismos se pueden dar sin más, y entonces quedaríamos en una situación "hipotética", en la cual uno supone que tiene un conjunto que cumple tales y tales propiedades.

Bajo esa hipótesis, es posible asignar a cada número real su desarrollo (e, m). Pero esto seguiría siendo hipotético.

Lo malo de eso es que a partir de hipótesis falsas uno puede construir o demostrar lo que se le dé la gana, y entonces la construcción no tendría ningún valor.

Lo que has expresado es sólo la idea, el puntapié inicial.
Para llamarla construcción, se necesita todo lo que enuncié.
Hace falta comprobar los "axiomas" de números reales.

Si no, sólo estás diciendo que hay una biyección entre los reales y los desarrollos con dígitos, y eso no dice nada.

Después de todo, también hay una biyección entre los reales y \( \mathcal P(\mathbb N) \), y no hay modo de definir en ese conjunto una suma y un producto, ni un orden, que funcionen como lo hacen los números reales.



¿Te fijaste cómo hice la construcción con el método de intervalos encajados?
¿Por qué es tan larga y por qué la hice?
¿Qué es lo que fallaría si no lo hago así?

Es el problema de "petición de principio" lo que intento evitar.
No puedo definir algo en términos de sí mismo.

Visualicemos la cosa geométricamente, la recta numérica con los puntos racionales e irracionales formando la recta real.

Es fácil entender que a cada punto real x lo puedo encerrar entre dos números racionales, formando un intervalo cerrado, y que dicho intervalo lo puedo hacer cada vez más estrecho, formando una sucesión de intervalos con extremos racionales,
cuya INTERSECCIÓN es el punto x señalado.

Pero ahora imaginemos que solamente me han dado los puntos racionales de la recta, y que los irracionales no están.
Cuando hacemos lo mismo que antes, con los intervalos racionales que se aproximan por ejemplo al número \( \pi \),
lo que va a pasar es que en la INTERSECCIÓN de esos intervalos no hay nada, hay un "hueco", porque el \( \pi \) no está en ninguna parte, no me lo dieron.

Lo tengo que "construir".
Así que tengo que "inventar" \( \pi \).
Como no tengo de dónde sacarlo, digo que \( \pi \) es ¡la sucesión de intervalos con la que estoy intentando aproximarlo!

Detalles técnicos obligan a dar un paso más y trabajar con clases de equivalencia de estas sucesiones.
Pero no importa.

Lo que importa es que ahora estoy inventando algo: una sucesión de intervalos. Eso forma un cierto conjunto matemáticamente complicado, al cual llamo o etiqueto \( \pi \), y lo pongo en el "hueco" donde tendría que ir el "punto" \( \pi \).

Pero no es cuestión no más de rellenar huecos, sino de ver que estos objetos así incrustados cumplen todas las propiedades.
Si no, ¿de qué estamos hablando?

¿Cómo me aseguro que todos los "huecos" de puntos irracionales están debidamente rellenados, que al sumarlos o multiplicarlos da lo que tiene que dar, y que respetan el orden que corresponde?

Esta es la única manera de saber que el sistema construido son números reales.

Si no, si es sólo por poner una biyección, ponemos \( \mathcal P(\mathbb N) \) y listo.




La situación con los desarrollos decimales es parecida.
Si no hubiera nadie que hubiese construido algún sistema de reales antes, el de los desarrollos decimales sería el primero, y como no hay base de comparación con otro sistema, no queda más opción que verificar uno a uno los axiomas.

Es lo mismo que cuando te tiran un conjunto con unas operaciones, y te piden verificar si es un espacio vectorial o no.
Hay varias maneras: o bien es la imagen de una transformación lineal de otro espacio vectorial "ya construido" o que "previamente se sabe" que es espacio vectorial, o bien es subespacio de otro espacio vectorial ya conocido,
o bien simplemente verificar a mano la lista de propiedades de un espacio vectorial, una a una.

Con los sistemas numéricos hay más trabajo que con espacios vectoriales.
Es tedioso. Pero también es sistemático, trivial. Las cuentas salen.

16 Octubre, 2011, 01:05 am
Respuesta #45

argentinator

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Como sea, me dejás con las ganas de hacer la construcción.
Yo sí tengo ganas de hacerla.

Se puede hacer con el formato (e, m) como vos querés, o directamente con sucesiones de dígitos (sin separar parte entera y decimal).

Si no tenés ganas de hacer las cuentas, entonces yo me pondría a desarrollar el segundo de estos dos métodos, porque me gusta más así.


16 Octubre, 2011, 08:35 am
Respuesta #46

Jabato

  • Visitante
No, no, déjame a mi, que la idea fué mía, si acaso tu ayuda será bienvenida pero déjame hacerlo a mi. Ya sabía que la pega de mi último mensaje era esa, pero a pesar de eso lo expuse para asegurarme de que el modelo es válido. Es decir que ese modelo es un modelo de los reales, falta escalar la montaña, claro, pero vamos pasito a pasito.

El primer paso será establecer las operaciones de la suma, del producto y la relación de orden. Pero no me adelantes, déjame a mi, que vaya a mi ritmo.

Saludos, Jabato. ;D

16 Octubre, 2011, 08:53 am
Respuesta #47

argentinator

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Ok, de acuerdo.

Pero que el modelo funciona es obvio, porque como bien sabés, a cada número real le corresponde su desarrollo decimal.
Si uno "ya" tiene los reales construidos, es como vos decís, se vuelve casi trivial demostrar que satisface los axiomas de los números reales, y no hay mucho más que hacer.

Saludos

16 Octubre, 2011, 09:41 am
Respuesta #48

Jabato

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El algoritmo de la suma Esto es casi más difícil explicarlo que hacerlo. Se realiza en los pasos siguientes:

\( (e_1,m_1)+(e_2,m_2)=(e,m) \)

a) Cálculo de la mantisa resultante, \( m \), para lo cual basta sumar los dígitos de las mantisas sumandos, dos a dos, como si fueran números naturales, empezando por la izquierda, y aumentando una unidad en el dígito anterior cada vez que la suma de los dígitos sea mayor que nueve, en análoga forma a como se hace para la suma de números naturales. Si la mantisa resultante presentara periodo 9 se anularán todos los digitos del periodo y se incrementara en una unidad la última cifra no periódica ó la parte entera si todas las cifras de la mantisa fueran periódicas.

b) Calculo de la parte entera resultante \( e \), se suman las partes enteras como si fueran números enteros y se incrementa este resultado en una unidad si el primer dígito en la suma de mantisas resultó ser mayor que 9 ó la mantisa resultante resultó ser periódica de periodo 9.

Creo que está bastante mal explicado pero aún así la idea se entiende bastante bien así que de momento lo dejo en esta forma.

Saludos, Jabato. ;D

16 Octubre, 2011, 11:03 am
Respuesta #49

feriva

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El algoritmo de la suma Esto es casi más difícil explicarlo que hacerlo. Se realiza en los pasos siguientes:


Hola, Jabato. Ayer estaba yo un poco cegato, no me di cuenta de lo buena que es tu idea. Puedes llegar a definir un espacio vectorial erre dos restringido y usar el producto escalar; de hecho ya tienes todo el conjunto usando este producto escalar (e,m)(1,1); sólo hay que ir justificándolo (que no digo que sea fácil). Claro que está la dificulta de que en uno de los ejes tengamos sólo enteros, pero yo creo que lo podrás solucionar.

Saludos.