Principal * N Z Q R C + A ver...
Un número entero positivo \( k \) está formado por la clase \( \{(k+m,m):m\in N\} \), cuando viene por la parte de "la construcción".
Cuanto se habla del racional entero positivo \( k \), se trata de la clase \( \{(km,m):m\in N\} \).
Ahora considero la suma de pares ordenados \( (a,b)\oplus{}(c,d)=(a+c,b+d) \).
Tengo que \( (k+m,m)\oplus{}(k+n,n)=(2k+m+n,m+n) \), lo cual es un elemento de la clase que define el entero "por construcción" \( 2k \).
Por otro lado, tengo que \( (km,m)\oplus{}(kn,n)=(k(m+n),m+n) \), lo cual es un elemento de la clase que define el entero "via racionales" \( k \).
En ambos casos, la operación \( \oplus{} \) está bien definida entre clases de equivalencia, porque el resultado que me da pertenece a una clase de equivalencia determinada, y así puede redefinirla como una operación entre esas clases.
En un caso, obtuve \( k\oplus{k}=2k \),
y en el otro caso obtuve \( k\oplus{k}=k \).
Son dos resultados diferentes para una misma operación entre las clases, vistas como conjuntos.
Pero más allá de ese ejemplo (que a mí tampoco me convence demasiado...
),
el hecho de que las clases que definen el entero positivo \( k \) sean simplemente diferentes en ambas situaciones: \( \{(k+m,m)\} \) y \( \{(km,m)\} \),
ya alcanza para notar que se trata de objetos matemáticos diferentes, y que para identificarlos no hay más remedio que poner una lista de propiedades comunes que deben cumplir.
Si no, ¿cómo sé yo que ambos sistemas definen correctamente al entero \( k \), aún siendo tan diferentes?
¿Qué criterio uso?
no es dificil demostrar que hay isomorfismo entre los naturales y un subconjunto de los racionales, ó entre los enteros y un subconjunto de los racionales, etc.
Ahora soy yo el que se pone exigente, y te aceptaría esto si me dijeras qué tipo de isomorfismo estás poniendo entre, por ejemplo, un subconjunto de los racionales y los enteros.
¿A qué le llamás
isomorfismo?
Hay muchos isomorfismos: de grupo, de anillo, de espacio vectorial, de relaciones de orden, de espacios topológicos.
¿De qué tipo ha de ser el isomorfismo en el caso de, por ejemplo, un subconjunto de enteros de Q y los enteros Z "construidos"?
¿En qué momento puedo decir: "he probado todas las propiedades que me dicen que efectivamente tengo un isomorfismo"?
Y si tengo un anillo ordenado tal que todos sus subconjuntos acotados inferiormente están bien ordenados.¿Puedo tratarlos como números enteros? ¿Hay isomorfismo con los enteros? ¿No es eso un sistema de números enteros?
¿Adónde empieza el ovillo?
(Lo que está en azul es la versión resumida del sistema de axiomas 1, 2, 3 y 4,
).
