[MagnusBarfod]

Tengo un problema, tengo que demostrar que K[x,y] / I, es un dominio integro, donde K es un cuerpo algebraicamente cerrado.

I es el ideal generado por x^2 - y^2 + x^3.

Se que si I es primo entonces es un dominio integro, pero no pude.

Tambien se me ocurrio es ver que x^2 - y^2 + x^3, es irreducible. Pero las cuentas me quedaron muy largas.

Alguna idea?

[sauron]

Vamos a ver. Necesitamos un par de resultados que ya conoceras de los anillos de polinomios con coeficientes en Z y en Q:

Criterio de Einsestein: sea R un DFU y F su cuerpo de fracciones. Sea f(X)=a_n X^n + ... + a_0 \in R{X}. Sea p \in R un primo y supongamos que se cumple:
1) p no divide a a_n
2) p divide a a_i para i=1, ..., n-1
3) p^2 no divide a a_0
Entonces f es irreducible en F{X}

Teorema (Gauss): Si R es un DFU con cuerpo de fracciones F y f(X) es un polinomio primitivo en R{X} entonces f(X) es irreducible en F{X} si y solo si es irreducible en R{X}.

Este teorema lo he visto demostrado para el caso R=Z y F=Q, se basa en el lema de Gauss y sospecho que se generaliza inmediatamente a como lo he escrito arriba, pero no lo he visto probado y tampoco me he puesto a hacerlo (son las 2:15 de la mañana)

Vamos al problema. Es inmediato con esto tomando R=K{X}, que es un DFU, F=K(X) (cuerpo de las fracciones racionales sobre K), p=1+X que es un primo en R=K{X} y f(Y)=X^2(1+X)-Y^2 como polinomio en Y con coeficientes en R=K{X}. Por el criterio de Eisenstein f es irreducible en K(X){Y} y como es primitivo, por el teorema se tiene que f es irreducible en K{X}{Y}=K{X,Y}.

Creo que el razonamiento es correcto y solo queda comprobar la veracidad del teorema. Si tengo tiempo ya lo mirare a ver si sale.

Espero que te haya servido. Un saludo

[sauron]

He comprobado el teorema y en efecto es correcto.  Otra manera de demostrar que el polinomio es irreducible es, nuevamente considerandolo como polinomio en Y con coeficientes en K{X}, observar que tiene grado dos y es primitivo, entonces tiene alguna raíz en K(X). El numerador de esta raíz ha de dividir al término independite que es X^2 + X^3 y el denominador ha de dividir al coeficiente director que es -1. Se comprueba que ninguno de los divisores de X^2+X^3 es raíz y por tanto es polinomio es irreducible en K(X){Y} y por ser primitivo, también lo es en K{X,Y} (uso las llaves en lugar de corchetes porque no me deja).

Adjunto un archivo pdf y otro con las fuentes en tex (aunque tiene extension txt) para el que quiera saber algo mas de esto. Personalmente, me parace un tema interesante pues los teoremas mencionado solo se sulen tratar para el caso R=Z y F=Q, o lo que es peor, se explican en general pero a la hora de dar ejemplos solo se ponen de este ultimo caso. Por eso me he dedicado hoy un rato a recopilar información y pasarla a tex tratando este tema y haciendo incapié en los casos R=K{X} y F=K(X). Seguro que hay unos cuantos errores, por eso mando tambien las fuentes para que quien quiera los corriga y amplie los contenidos si quiere. Cuando tenga un poco de tiempo y si el tema le interesa a alguien, lo ampliare yo mismo (con mas ejemplos, algunas demostraciones que faltan, el caso del anillo K{X,Y,Z} y el algoritmo de la división entre otros. Puede que el algoritmo de factorización de Kronecker se pueda extender tambien, aunque de eso no estoy seguro).

[sauron]

No he podido mandar las fuentes en el mismo mensaje. Por eso las mando en este.

[MagnusBarfod]

Muchas gracias, conocia los teoremas, pero jamas se me hubiera ocurrido aplicarlos a este problema.

[sauron]

Es sin duda curioso. Yo nunca he visto los teoremas estos aplicados a anillos de polinomios en varias indeterminadas en ningún libro, a pesar de ser unos de los mejores ejemplos que los ilustran. Quiza ha sido un poco confuso todo lo que he puesto, pero pensandolo un poco se llega fácilmente a que el caso de K{X_1, ..., X_n} es completamente análogo al caso de Z{X}. Dado un polinómio de grado a lo sumo tres en cada una de sus variables en K{X_1, ..., X_n}, se pueden aplicar estos métodos para factorizarlo sin problemas. Si el grado es mayor que tres en alguna de sus variables, entonces la cosa se complica y ya no hay una "receta general" para factorizarlo (al menos con estos métodos ).

Un buen libro donde hablan de pólinomios es el de Cox, Little y O'Shea, "Ideals, varieties and algorithms". Este libro es sencillo de entender y es muy interesante (aunque creo que no menciona estas cosas). Habla sobre todo de bases de Groebner y algoritmos relacionados. Quizá para el verano tenga tiempo para terminar un poco las notas de los anteriores mensajes (aunque si alguien se anima ...). Un saludo.