Hola. ¿Alguien sabe sobre teoría de semianillos?
Estoy interesado en lo siguiente:
Consideremos en Z53 la siguiente función:
f(x1,x2,x3)=(x1x3,x23,x1x2).
Tal función se puede expresar como una matriz:
A = 1 0 1
0 3 0
1 1 0
Las entradas de A son las potencias de las variables.
A x1 = x11x20x31 = f(x1,x2,x3)(puesto como columna)
x2 x10x23x30
x3 x11x21x30
donde por convención: 00=1
para determinar f compuesto con f, simplemente tomamos A2. Pero si una entrada de A2 es 5, escribimos 1; si es 6, escribimos 2 (pues x5=x1, x6=x2 para todo x en Z5) y asi sucesivamente. Es decir, las entradas de A2 solo serian números entre 0 y 4. Lo mismo sucede para Ak.(Es decir, cuando vemos un numero mayor o igual que 5, lo
"reducimos")
Se puede definir una suma y producto en B={0,1,2,3,4}. Por ejemplo: 4+3=7,
pero en B tendríamos 4+3="Reduccion de 7"=3 (pues x7=x3 para todo x en Z5). Analogamente se define un producto.
Asi tenemos una suma y producto definidos en B. Pero no para todo elemento existe inverso aditivo; por eso no es un anillo. Sin embargo estas operaciones cumplen las demás condiciones de anillo (inclusive cumplen las demás condiciones de dominio).
Entonces A sería una matriz cuyos elementos están en B, y se puede definir suma y producto de matrices usando la estructura de B. Luego el conjunto de matrices con entradas en B también resulta un semianillo.
A sería algo así como una "transformación multiplicativa" de Z53 a Z53.
Para estudiar el comportamiento de f basta estudiar el comportamiento de A.
¿Alguien sabe dónde se puede conseguir informacion de este tipo de estructuras? (especialmente de las matrices)
Gracias y saludos.
